2025年高考数学必刷题分类：第58讲、两条直线的位置关系（教师版）

第58讲两条直线的位置关系

知识梳理

知识点一：两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．

两直线方程平行垂直

且

l1:A1xB1yC10A1B2A2B10

A1A2B1B20

l2:A2xB2yC20B1C2B2C10

l:ykxb

111（斜率存在）

或

l2:yk2xb2k1k2,b1b2与

k1k21或k1k2中有一个

l1:xx1,xx,xx,xx为，另一个不存在．

（斜率不存在）12120

l2:xx2

知识点二：三种距离

1、两点间的距离

平面上两点的距离公式为22．

P1(x1,y1),P2(x2,y2)|P1P2|(x1x2)(y1y2)

特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离|OP|x2y2.

2、点到直线的距离

|AxByC|

点到直线的距离00

P0(x0,y0)l:AxByC0d

A2B2

特别地，若直线为：，则点到的距离；若直线为：，

lx=mP0(x0,y0)ld|mx0|ly=n

则点到的距离

P0(x0,y0)ld|ny0|

3、两条平行线间的距离

已知是两条平行线，求间距离的方法：

l1,l2l1,l2

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．

|CC|

（）设，则与之间的距离12

2l1:AxByC10,l2:AxByC20l1l2d

A2B2

注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．

4、双根式

双根式22型函数求解，首先想到两点间的距离，

f(x)a1xb1xc1a2xb2xc2

或者利用单调性求解．

【解题方法总结】

1、点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点，关于点，的对称点为

P(x1y1)Q(x0y0)

xx

12

x0

2

P(x，y)，则根据中点坐标公式，有

22yy

y12

02

可得对称点，的坐标为，

P(x2y2)(2x0x12y0y1)

2、点关于直线对称

点，关于直线对称的点为，，连接，交于点，

P(x1y1)l:AxByC0P(x2y2)PPlM

则l垂直平分PP，所以PPl，且M为PP中点，又因为M在直线l上，故可得

kk1

lPP

，解出(x，y)即可．

x1x2y1y222

ABC0

22

3、直线关于点对称

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，

再由两点式求出直线方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．

4、直线关于直线对称

求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线

l1:axbyc0l2:dxeyf0l3

第一步：联立，算出交点，

l1l2P(x0y0)

第二步：在上任找一点（非交点），，利用点关于直线对称的秒杀公式算出

l1Q(x1y1)

对称点，

Q(x2y2)

第三步：利用两点式写出方程

l3

5、常见的一些特殊的对称

点(x，y)关于x轴的对称点为(x，y)，关于y轴的对称点为(x，y)．

点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)，关于直线yx的对称点为(y，x)．

点(x，y)关于直线xa的对称点为(2ax，y)，关于直线yb的对称点为

(x，2by)．

点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax，2by)．

点(x，y)关于直线xyk的对称点为(ky，kx)，关于直线xy=k的对称点为

(ky，xk)．

6、过定点直线系

过已知点，的直线系方程（为参数）．

P(x0y0)yy0k(xx0)k

7、斜率为定值直线系

斜率为k的直线系方程ykxb（b是参数）．

8、平行直线系

与已知直线AxByC0平行的直线系方程AxBy0（为参数）．

9、垂直直线系

与已知直线AxByC0垂直的直线系方程BxAy0（为参数）．

10、过两直线交点的直线系

过直线与的交点的直线系方程：

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20

（为参数）．

A1xB1yC1(A2xB2yC2)0

必考题型全归纳

题型一：两直线位置关系的判定

例1．（2024·高二课时练习）直线2xy20与ax4y20互相垂直，则这两条直线的交

点坐标为（）

A．1,4B．0,2

1

C．1,0D．0,

2

【答案】C

【解析】易知直线2xy20的斜率为2，

a1

由两直线垂直条件得直线ax4y20的斜率，解得a2；

42

2xy20x1

联立，解得；

2x4y20y0

即交点为1,0

故选：C.

例2．（2024·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知过点A(2,m)和点B(m,4)的

11

直线为l1，l:y2x1,l:yx.若l//l,ll，则mn的值为（）

23nn1223

A．10B．2

C．0D．8

【答案】A

4m1

【解析】因为l1//l2，所以kAB2，解得m8，又l2l3，所以21，

m2n

解得n2.所以mn10.

故选：A.

例3．（2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）设直线l1:x2ay50，

l2:3a1xay20，则a1是l1l2的（）

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】当a1时，直线l1:x2y50，l2:2xy20，

1

此时k=-,k=2，则k×k=-1，所以ll，故充分性成立；

1221212

1

当ll时，13a12aa0，解得a1或a，故必要性不成立；

122

所以“a1”是“l1l2”的充分不必要条件，

故选：C.

变式1．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）直线l1：mx2y20与直线l2：x(m1)y0

平行，则m（）

A．1或2B．2C．1D．2

【答案】A

【解析】因为直线l1：mx2y20与直线l2：x(m1)y0平行，

所以mm1210m2或m1，

当m1时，直线l1：x2y20，直线l2：x2y0，

此时直线l1与直线l2平行，满足题意，

当m2时，直线l1：xy10，直线l2：xy0，

此时直线l1与直线l2平行，满足题意，

故选：A.

变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l1：ax2y10，l2：3axya0，

则条件“a1”是“l1l2”的（）

A．充分必要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不必要也不充分条件

【答案】B

a

【解析】若l1l2，则3a1，

2

解得a1或a2.

故a1是l1l2的充分不必要条件.

故选：B

变式3．（2024·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知直线l1:xy0,l2:axby10，

若l1l2，则ab（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】B

【解析】因为直线l1:xy0,l2:axby10，且l1l2，则1a1b0，

所以ab0.

故选：B

变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，

AB∥CD，则点D的坐标为（）

945413

A．(,)B．(,)

7777

3813385

C．(,)D．(,)

3377

【答案】D

y23(2)

【解析】设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，

x110

38

x

y232x5y907

∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，

x1(1)x2y405

y

7

故选：D.

变式5．（2024·甘肃陇南·高三统考期中）已知ABC的顶点B2,1，C6,3，其垂心为

H3,2，则其顶点A的坐标为

A．19,62B．19,62C．19,62D．19,62

【答案】A

【解析】H为ABC的垂心AHBC，BHAC

311211

又k，k

BC624BH325

直线AH,AC斜率存在且kAH4，kAC5

y2

k4

AHx3x19

设Ax,y，则，解得：A19,62

y3y62

k5

ACx6

本题正确选项：A

1

变式6．（2024·全国·高三专题练习）直线l1:x1ay1aaR，直线l:yx，下

22

列说法正确的是（）

A．aR，使得l1∥l2B．aR，使得l1l2

C．aR，l1与l2都相交D．aR，使得原点到l1的距离为3

【答案】B

11

【解析】对A，要使l∥l，则k∥k，所以，解之得a1，此时l与l重合，

12121a212

选项A错误；

×=-113

对B，要使l1l2，k1k21，1，解之得a，所以B正确；

1a22

-

对C，l1:x1ay1a过定点(2,1)，该定点在l2上，但是当a1时，l1与l2重合，所

以C错误；

Ax0By0C1a

d32

对D，222，化简得8a20a170，此方程Δ0，a无

AB121a

实数解，所以D错误.

故选：B.

变式7．（2024·全国·高三对口高考）设a,b,c分别为ABC中A,B,C所对边的边长，则

直线sinAxayc0与直线bxsinBysinC0的位置关系是（）

A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．重合

【答案】B

【解析】由题意可知直线sinAxayc0与直线bxsinBysinC0的斜率均存在且不

为0，

sinA

直线sinAxayc0的斜率k，

1a

b

直线bxsinBysinC0的斜率k，

2sinB

sinAbab

由正弦定理可得kk1，

12asinBab

所以两直线垂直，

故选：B

【解题方法总结】

判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般

地，设l1:A1xB1yC10（A1,B1不全为0），l2:A2xB2yC20（A2,B2不全为0），则：

当A1B2A2B10时，直线l1,l2相交；

当A1B2A2B1时，l1,l2直线平行或重合，代回检验；

当A1A2B1B20时，l1,l2直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．

题型二：两直线的交点与距离问题

例4．（2024·全国·高三专题练习）若直线l:ykx3与直线2x3y60的交点位于第一

象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）

ππππ

A．,B．,

6362

ππππ

C．,D．,

3262

【答案】D

336

x

ykx323k

【解析】法一：联立两直线方程，得，解得，

2x3y606k23

y

23k

3366k23

所以两直线的交点坐标为(,).

23k23k

336

0

23k3

因为两直线的交点在第一象限，所以，解得k，

6k233

0

23k

3ππ

设直线l的倾斜角为θ，则tan，又[0,π)，所以(,).

362

法二：由题意，直线l过定点P(0,3)，

设直线2x3y60与x轴、y轴的交点分别为B(3,0),A(0,2).

3

如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知k，

PB3

ππ

∴l的倾斜角为，l的倾斜角为.

PB6PA2

ππ

∴直线l的倾斜角的取值范围是(,).

62

故选：D

例5．（2024·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知三条直线l1:x2y20，l2:x20，

l3:xky0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

【答案】C

【解析】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，

x2

联立l1:x2y20与l2:x20，解得，

y2

x2

则将代入l3:xky0中，2k20，解得k1，

y2

当l3:xky0与l1:x2y20平行时，满足要求，此时k2，

当l3:xky0与l2:x20平行时，满足要求，此时k0，

综上，满足条件的k的值共有3个.

故选：C

例6．（2024·全国·高三专题练习）若三条直线l1:4xy3,l2:mxy0,l3:xmy2不能围

成三角形，则实数m的取值最多有（）

A．2个B．3个

C．4个D．6个

【答案】C

【解析】三条直线不能构成三角形至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.

1

若l∥l，则m4；若l∥l，则4m1m；

12134

2

若l2∥l3，则m1m的值不存在；

若三条直线相交于同一点，

3

x

4xy34m33m

直线l1和l2联立：，直线l1和l2交点为P,;

mxy03m4mm4

y

m4

3m2

x

4xy314m3m25

直线l1和l3联立：，直线l1和l3交点为Q,;

xmy2514m14m

y

14m

33m2

4m14m5

三条直线相交于同一点P、Q两点重合m1或.

3m53

=

m414m

故实数m的取值最多有4个.

故选:C

变式8．（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）若点P(x,y)在直线

2xy50上，O是原点，则OP的最小值为（）

A．22B．2C．5D．4

【答案】C

【解析】由题意可知，OP的最小值即为原点O到直线2xy50的距离，

5

则d5.

2212

故选：C

变式9．（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知点Px0,y0在直线3x4y100

上，则22的最小值为（）

x0y0

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】22就是Px,y到原点距离，

x0y000

10

Px0,y0到原点距离的最小值为d2

5

则22的最小值为，

x0y02

故选：B.

变式10．（2024·高二课时练习）已知点Pa,2、A2,3、B1,1，且PAPB，则

a.

9

【答案】

2

【解析】已知点Pa,2、A2,3、B1,1，且PAPB，

22229

则a223a121，解得a.

2

9

故答案为：.

2

变式11．（2024·全国·高二专题练习）已知点Mx,4与点N2,3间的距离为72，则

x．

【答案】9或5

【解析】由MN72，

得MN(x2)2(43)272，

即x24x450，解得x9或5．

故答案为：9或5.

变式12．（2024·全国·高二课堂例题）已知点A2,1，B3,4，C2,1，则ABC的面积

为．

【答案】5

【解析】设AB边上的高为h，则h就是点C到AB所在直线的距离．

22

易知AB324110．

y1x2

由两点式可得AB边所在直线的方程为，即3xy50．

4132

3215

点到直线的距离h10，

C2,13xy502

321

11

所以ABC的面积为S△ABCABh10105．

22

故答案为：5

变式13．（2024·江苏淮安·高二统考期中）已知平面上点P3,3和直线l:2y30，点P到

直线l的距离为d，则d.

9

【答案】/4.5

2

3

【解析】依题意，直线l:y，而点P3,3，

2

39

所以d3().

22

9

故答案为：

2

变式14．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）点0,1到直线ykx2

的距离的最大值是．

【答案】5

【解析】因为直线ykx2恒过点A2,0，

记B0,1，直线ykx2为直线l，

则当ABl时，此时点B0,1到直线ykx1的距离最大，

∴点0,1到直线ykx1距离的最大值为：

22

AB02105.

故答案为：5.

变式15．（2024·高二课时练习）过直线l1:x2y30与直线l2:2x3y80的交点，且

到点P0,4的距离为1的直线l的方程为．

【答案】3x4y110或x1

x2y30x1

【解析】解析：由解得

2x3y80y2

所以l1，l2的交点为1,2.

显然，直线x1满足条件；

当直线斜率存在时，设直线方程为y2kx1，

即kxy2k0，

2k3

依题意有1，解得k.

1k24

所以所求直线方程为3x4y110或x1．

故答案为：3x4y110或x1．

变式16．（2024·江西新余·高二校考开学考试）若点P3,1到直线l:3x4ya0a0的

距离为3，则a.

【答案】2

【解析】因为点P3,1到直线l:3x4ya0的距离为3，

3341a

可得3，即a1315，解得a2或a28，

3242

又因为a0，所以a2.

故答案为：2.

变式17．（2024·全国·高三专题练习）点0,0，3,4到直线l的距离分别为1和4，写出一

个满足条件的直线l的方程：.

【答案】x=1或7x24y250或3x4y50（填其中一个即可）

【解析】设M0,0，N3,4，连接MN，则MN5.

以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，则两圆外切，

所以两圆有3条公切线，即符合条件的直线l有3条.

当公切线的斜率不存在时，显然公切线的方程为x=1.

b

1①

1k2

当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为ykxb，则有，

3kb4

4②

2

1k

由①②得3kb44b，所以3k3b4或3k5b4.

73

kk

244

由①及3k3b4得，由①及3k5b4得，

255

bb

244

所以公切线方程为7x24y250或3x4y50.

综上，直线l的方程为x=1或7x24y250或3x4y50.

故答案为：x=1或7x24y250或3x4y50

变式18．（2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）若两条直线l1:x2y60与

l2:xay50平行，则l1与l2间的距离是.

51

【答案】/5

55

【解析】两条直线l1:x2y60与l2:xay50平行,

a210解得a2，

经检验a2时，l2:x2y50,两直线不重合；

所以a2，

655

则l1与l2间的距离,

145

5

故答案为：.

5

变式19．（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）平行直线

l1:3x4y60与l2:6x8y90之间的距离为．

3

【答案】/0.3

10

9

【解析】由题意得l:6x8y90即l:3x4y0

222

9

|6|

则平行直线与之间的距离为3，

l1:3x4y60l2:6x8y902

32（4）210

3

故答案为：

10

变式20．（2024·新疆·高二校联考期末）已知不过原点的直线l1与直线l2:xy20平行，

且直线l1与l2的距离为1，则直线l1的一般式方程为．

【答案】xy220

【解析】直线l1不过原点且与l2平行，可设直线l1:xya0a0，

a2

l1与l2之间的距离d1，解得：a22或a0（舍），

2

直线l1的一般式方程为：xy220.

故答案为：xy220.

【解题方法总结】

两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距

离公式的结构．

题型三：有关距离的最值问题

例7．（2024·北京·高三强基计划）(x9)24x2y2(y3)29的最小值所属区间

为（）

A．[10,11]B．(11,12]

C．(12,13]D．前三个答案都不对

【答案】C

【解析】如图，设P(x,0),Q(0,y),A(9,2),B(3,3)．

根据题意，设题中代数式为M，则M|AP||PQ||QB||AB|1225213，

等号当P，Q分别为直线AB与x轴，y轴交点时取得．

因此所求最小值为13．

故选：C.

2222

例8．（2024·全国·高三专题练习）已知实数x1,x2,y1,y2，满足x1y14，x2y29，

x1x2y1y20，则x1y19x2y29的最小值是．

【答案】1826/2618

2222

【解析】依题意，方程x1y14、x2y29分别表示以原点O为圆心，2、3为半径的圆，

2222

令B(x1,y1),A(x2,y2)，即点B,A分别在xy4、xy9上，如图，

显然OB(x1,y1),OA(x2,y2)，OBOAx1x2y1y20，即有OBOA，

113

|AB||OA|2|OB|213，取线段AB中点P，连接OP，则|OP||AB|，

22

13

因此点P在以原点为圆心，为半径的圆上，

2

x1y19x2y29

而x1y19x2y292()，

22

即x1y19x2y29表示点A,B到直线l:xy90的距离和的2倍，

过A,B分别作直线l的垂线，垂足分别为M,N，过P作PD垂直于直线l于点D，

于是AM//PD//BN，|AM||BN|2|PD|，

9

xy9xy92(|AM||BN|)22|PD|，原点O到直线l的距离d，

11222

913

显然|PD|d|OP|，当且仅当点O,P,D共线，且点P在线段OD上时取等号，

22

所以913

(x1y19x2y29)min22|PD|min22()1826.

22

故答案为：1826

例9．（2024·全国·高三专题练习）如图，平面上两点P(0,1),Q(3,6)，在直线yx上取两点

M,N使MN2，且使PM+MN+NQ的值取最小，则N的坐标为．

骣99

【答案】ç,÷

桫ç44÷

''

【解析】P关于直线yx的对称点为P1,0，则有PMMNNQPMMNNQ.

过Q3,6作平行于yx的直线为yxb，由63b得b3，即此时直线为y=x+3.过

M作MQ'//NQ，则MQ'NQ,QQ'MN2，则

P'MMNNQP'MMNMQ'.由于MN是常数，要使PM+MN+NQ的值取最

小，则P'MMQ'的值取最小，即P',M,Q'三点共线时最小.设Q'a,a3a3，由

'222

QQMN2得a36a32，即2a32，解得a2（a4舍去.），

'x0505555

即Q2,5.设Mx,x，则5，解得x，即M,，设Nb,b，b.

x1214444

222

55591

由MN2得bb2，得2b2，解得b或b（舍去），故

44444

99

N,.

44

骣99÷

故答案为：ç,÷.

桫ç44÷

变式21．（2024·全国·高二专题练习）已知点P,Q分别在直线l1:xy20与直线

l2:xy10上，且PQl1，点A3,3，B3,0，则APPQQB的最小值为.

【答案】31032

2

【解析】易知l1//l2，作出图象如下，过B点作直线ll1，则PQ//l，

直线l:yx3，过P作直线PC//QB，与直线l交于点C，易知四边形PCBQ为平行四边

形，

故PCQB，且B到直线l2的距离等于C到l1的距离，

tt323013133

设C(t,t3)，则，解得t或t（舍)，所以C,，

222222

2(1)332

而APPQQBAPPQPC，且PQ（定值），

222

故只需求出|AP||PC|的最小值即可，显然

22

33310

APPCAC33，

222

故APPQQB的最小值为31032．

2

故答案为：31032．

2

变式22．（2024·全国·高二课堂例题）已知直线l:kxy2k0过定点M，点Px,y在直

线2xy10上，则MP的最小值是（）

355

A．5B．5C．D．

55

【答案】B

【解析】由kxy2k0得y2k1x，所以直线l过定点M1,2，

依题意可知MP的最小值就是点M到直线2xy10的距离，

221

由点到直线的距离公式可得MP5．

min41

故选:B.

变式23．（2024·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分

22

家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：xayb

可以转化为点x,y到点a,b的距离，则x21x24x8的最小值为（）．

A．3B．221C．23D．13

【答案】D

2222

【解析】x21x24x8x001x202,

可以看作点Px,0到点A0,1,B2,2的距离之和，

作点A关于x轴的对称点A0,1，显然当B,P,A三点共线时，取到最小值，

最小值为B,A间的距离223213.

故选：D.

变式24．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知x,yR，满足2xy2，则xx2y2的最

小值为（）

4812

A．B．C．1D．

553

【答案】B

【解析】

如图，过点O作点O关于线段2xy2的对称点C，则POPC.

y8

021

x0

x0584

设Cx0,y0，则有，解得，所以C,.

x0y0455

22y0

225

设Px,y，则POx2y2，所以x2y2POPC，

又x,yR，所以点P到y轴的距离为x，