2025年高考数学必刷题分类：第64讲、椭圆及其性质（教师版）

第64讲椭圆及其性质

知识梳理

知识点一：椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a（2a|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表

示为：P||PF1||PF2|2a(2a|F1F2|2c0)

注意：当2a2c时，点的轨迹是线段；

当2a2c时，点的轨迹不存在．

知识点二：椭圆的方程、图形与性质

椭圆的方程、图形与性质所示．

焦点的位

焦点在x轴上焦点在y轴上

置

图形

x2y2y2x2

标准方程1ab01ab0

a2b2a2b2

统一方程mx2ny21(m0,n0,mn)

xacosxacos

参数方程,为参数（[0,2]）,为参数（[0,2]）

ybsinybsin

到两定点、的距离之和等于常数，即（）

第一定义F1F22a|MF1||MF2|2a2a|F1F2|

范围axa且bybbxb且aya

1a,0、2a,010,a、20,a

顶点

10,b、20,b1b,0、2b,0

轴长长轴长2a，短轴长2b长轴长2a，短轴长2b

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c

222

焦距F1F22c(cab)

cc2a2b2b2

离心率e1(0e1)

aa2a2a2

a2

准线方程x

c

点和椭圆1外1外

x2y2y2x2

00点在椭圆上00点在椭圆上

221(x0,y0)221(x0,y0)

abab

的关系1内1内

xxyyyyxx

001（(x,y)为切点）001（(x,y)为切点）

a2b200a2b200

切线方程对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中2换为，2换为

(x0,y0)xx0xy

y0y可得

切点弦所

xxyyyyxx

在的直线001(点(x,y)在椭圆外）001(点(x,y)在椭圆外）

a2b200a2b200

方程

2b2

①cos1,maxF1BF2，（B为短轴的端点）

r1r2

焦点在轴上

12c|y0|,x

焦点三角②Srrsinbtan(FPF)

PF1F212焦点在轴上12

22c|x0|,y

形面积

当点在长轴端点时,（）2

Pr1r2min=b

③

当点在短轴端点时,（）2

Pr1r2max=a

焦点三角形中一般要用到的关系是

（）

|MF1||MF2|2a2a2c

1

S|PF||PF|sinFPF)

PF1F21212

2

222

|F1F2||PF1||PF2|2|PF1||PF2|cosF1PF2

上焦半径：

左焦半径：MF1aex0MF1aey0

下焦半径：

焦半径又焦半径：MF1aex0MF1aey0

焦半径最大值ac，最小值ac

b2

通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2（最短的过焦点的弦）

a

设直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，kABk，

222

则弦长AB1kx1x21k(x1x2)4x1x2

弦长公式

1

1(yy)24yy1k2

k21212|a|

（其中a是消y后关于x的一元二次方程的x2的系数，是判别式）

【解题方法总结】

（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其

2

长为2b．

a

①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端

点．

②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．

距离的最大值为ac，距离的最小值为ac．

（2）椭圆的切线

x2y2xxyy

①椭圆1(ab0)上一点P(x，y)处的切线方程是001；

a2b200a2b2

x2y2

②过椭圆1(ab0)外一点P(x，y)，所引两条切线的切点弦方程是

a2b200

xxyy

001；

a2b2

x2y2

③椭圆1(ab0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2．

a2b2

必考题型全归纳

题型一：椭圆的定义与标准方程

例1．（2024·高二课时练习）已知椭圆C上任意一点Px,y都满足关系式

22

x1y2x1y24，则椭圆C的标准方程为.

x2y2

【答案】1

43

【解析】由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为1,0,1,0，2a4，

x2y2

故a2,c1，b23，所以椭圆C的标准方程为1.

43

x2y2

故答案为：1.

43

例2．（2024·山东青岛·统考三模）已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线

1

yx2的焦点重合，则椭圆C的标准方程为．

4

y2x2

【答案】1

43

【解析】抛物线方程化为标准方程得x24y，焦点坐标为F0,1，

∵抛物线焦点与椭圆C的一个焦点重合，∴椭圆焦点在y轴，

y2x2

设椭圆方程为1，（ab0），

a2b2

则由焦点坐标和长轴长知c1，2a4，∴a2，

∴b2a2c23，

y2x2

∴椭圆C的标准方程为1.

43

y2x2

故答案为：1.

43

x2y2

例3．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点为

a2b2

3

F1(1,0),F2(1,0)，且过点P1,,则椭圆标准方程为．

2

x2y2

【答案】1

43

【解析】由题知：c1，①

3

又椭圆经过点P1,，

2

9

所以1，②

41

a2b2

又a2b2c2，③

联立解得：a24,b23，

x2y2

故椭圆的标准方程为：1.

43

x2y2

故答案为：1.

43

x2y2

变式1．（2024·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）已知椭圆E：1（ab0），

a2b2

F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为3，△ABF

3

的面积为，则E的标准方程为.

13

x2y2

1

【答案】11

416

【解析】设O为坐标原点，直线AB交x轴于点C，如图所示：

由题意知：ABAF，直线AB的斜率为3，即kAB3，

所以ACF60，AFC30.

a3a

由椭圆的性质知：OAb，OFc，则AFa，所以OA，OF，

22

aa

则A0,，故直线AB的方程为y3x.

22

x2y2

1

a2b243a

x0x

a13

联立y3x，解得：a或，

2y11a

2y

a26

b

2

22

43a11a43aa11a83a

所以B,，故，

AB0

1183a321

则SAFABa，解得：a.

△ABF2213134

x2y2

1a11

又a0，所以a，即b，则E的标准方程为11.

224

416

x2y2

1

故答案为：11.

416

x2y2

变式2．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆焦点在x轴，它与椭圆1有相同离心

43

率且经过点2,3，则椭圆标准方程为.

x2y2

【答案】=1

86

x2y2ca2b2b231

【解析】椭圆1的离心率为e11，

43aaa242

x2y2

设所求椭圆方程为1mn0，

m2n2

22

n1n3n3

则1，从而，，

m4m4m2

43

又1，∴m28,n26，

m2n2

x2y2

∴所求椭圆的标准方程为=1.

86

x2y2

故答案为：=1.

86

变式3．（2024·北京·高二北大附中校考期末）与双曲线4y23x212有相同焦点，且长轴长

为6的椭圆标准方程为.

x2y2

【答案】1

29

y2x2

【解析】4y23x212即1，焦点为0,7，

34

2x2y2

椭圆长轴2a6，即a3，故短半轴b3272，故椭圆方程为1.

29

x2y2

故答案为：1.

29

变式4．（2024·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）已知椭圆E：

x2y2

1ab0的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，

a2b2

12

且PF2F2Q，且Sa，PF2F2Q8，则E的标准方程为.

PF2Q2

x2y2

【答案】1

168

【解析】连接PF1,QF1，因为OPOQ,OF1OF2，

所以四边形PF1QF2是平行四边形，

所以PF1F2Q，PF2QF1，

又PF2F2Q，所以四边形PF1QF2为矩形，

设PF1m,PF2n

mn2a8

a4

则由题意得m2n24c2，解得，

c22

11

mna2

22

x2y2

则b2a2c28，则标准方程为1，

168

x2y2

故答案为：1.

168

x2y2

变式5．（2024·山东青岛·高二青岛二中校考期中）过点5,3，且与椭圆1有

259

相同的焦点的椭圆标准方程是．

x2y2

【答案】1

204

x2y2

【解析】由题意设椭圆的方程为1，09，

259

53

将点5,3代入，1，

259

整理可得：2261050，

解得5或21（舍)，

x2y2

所以椭圆的方程为：1，

204

x2y2

故答案为：1．

204

变式6．（2024·浙江丽水·高三校考期中）我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭

x2y2

圆叫做“相似椭圆”.若椭圆E:1，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方

1612

程为.

x2y2

【答案】1

43

16121

【解析】∵椭圆E的离心率为e，

162

x2y2

且设椭圆F的标准方程为1ab0，则a=1612=2，

a2b2

x2y2

∴椭圆F的c1,b2a2c23，即椭圆F的标准方程为1.

43

x2y2

故答案为：1.

43

x2y2

变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为

a2b2

△

F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点（异于M、N），AF1B

2

的周长为43，且直线AM与AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程

3

为.

x2y2

【答案】1

32

△

【解析】由AF1B的周长为43,可知AF1AF2BF1BF24a43,解得a3,

2b22

由直线AM与AN的斜率之积为,可得b22，

3a23

x2y2

所以椭圆C的标准方程为1，

32

x2y2

故答案为：1

32

变式8．（2024·高二课时练习）已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(3，2)和B(23，1)

两点，则椭圆C的标准方程为.

x2y2

【答案】1

155

【解析】设所求椭圆方程为：mx2ny21(m0，n0，mn)将A和B的坐标代入方程

得：

1

m

3m4n115

，解得，

12mn11

n

5

x2y2

所求椭圆的标准方程为：1.

155

x2y2

故答案为：1.

155

【解题方法总结】

（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2,b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.

（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然

后根据条件列出a,b,c的方程组，解出a2,b2，从而求得标准方程.

注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为Ax2By21(A0,B0,AB).

x2y2x2y2

②与椭圆1共焦点的椭圆可设为1(km,kn,mn).

mnmknk

x2y2x2y2

③与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆，可设为k（k0，焦点

a2b2a2b211

x2y2

在x轴上）或k（k0，焦点在y轴上）.

a2b222

题型二：椭圆方程的充要条件

例4．（2024·全国·高三对口高考）若是任意实数，方程x2siny2cos5表示的曲线不

可能是（）

A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线

【答案】B

222

【解析】对于A，当cossin时，由xsinycos5得x2y252，方程表

2

示圆，故A正确；

对于B，当是第一象限角时，cos0,sin0，x2siny2cos5不会是抛物线方程；

当是第二象限角时，cos0,sin0，x2siny2cos5不会是抛物线方程；

当是第三象限角时，cos0,sin0，x2siny2cos5不成立，不会是抛物线方程；

当是第四象限角时，cos0,sin0，x2siny2cos5不会是抛物线方程；

当的角的终边落在x轴正半轴上时，cos1，sin0，得y25，不是抛物线方程；

当的角的终边落在y轴正半轴上时，cos0，sin1，得x25，不是抛物线方程；

当的角的终边落在x轴负半轴上时，cos1，sin0，得y25不成立；

当的角的终边落在y轴负半轴上时，cos0，sin1，得x25不成立；故B错误；

x2y2

π221

对于C，当时，由xsinycos5，得232，方程表示焦点在y轴上的

3

3

椭圆，故C正确；

x2y2

2π221

对于D，当时，由xsinycos5，得232，方程表示焦点在x轴上的

3

3

双曲线，故D正确；

故选：B.

例5．（2024·上海徐汇·位育中学校考三模）已知mR，则方程2mx2m1y21所表

示的曲线为C，则以下命题中正确的是（）

1

A．当m,2时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆

2

B．当曲线C表示双曲线时，m的取值范围是2,

C．当m2时，曲线C表示一条直线

D．存在mR，使得曲线C为等轴双曲线

【答案】A

13311

【解析】对于A，当m,2时，02m，m13，0，

222m12m

x2y2

1

11表示焦点在x轴上的椭圆，即曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，A正确；

2mm1

对于B，若曲线C表示双曲线，则2mm10，解得：m1或m>2，

即实数m的取值范围为,12,，B错误；

23

对于C，当m2时，曲线C:3y1，即y，

3

即曲线C表示两条直线，C错误；

2mm10

对于D，若曲线C为等轴双曲线，则，解集为，

2mm1

不存在mR，使得曲线C为等轴双曲线，D错误.

故选：A.

例6．（2024·全国·高三专题练习）已知方程Ax2By2CxyDxEyF0，其中

ABCDEF．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：

甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；

丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．

其中，真命题有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】因为方程Ax2By2CxyDxEyF0，其中ABCDEF，

所以当AB1CDE0F1时，方程为x2y210，即x2y21是圆的方

程，故方程可以是圆的方程；

当A1BCD0E1F2时，方程为x2y20，即yx22是抛物线的

方程，故方程可以是抛物线的方程；

x2

y21

当A2B1CDE0F1时，方程为2x2y210，即1是椭圆的标

2

准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；

若方程为双曲线的标准方程，则有AB0,CDE0,F0，这与ABCDEF矛

盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；

所以真命题有3个.

故选：C.

变式9．（2024·全国·高三专题练习）“0a1，0b1”是“方程ax21by2表示的曲线为

椭圆”的（）

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】[解法一]

方程ax21by2即方程ax2by21，表示椭圆的充分必要条件是a0,b0,ab,

显然“0a1，0b1”是“a0,b0,ab”既不充分也不必要条件，

故“0a1，0b1”是“方程ax21by2表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，

[解法二]

1

当ab时，满足“0a1，0b1”，此时题中方程可化为：x2y24,表示的曲线是

4

圆而不是椭圆，当a1,b4时，不满足“0a1，0b1”，只是题中方程可化为：

x2y2

2211

11,表示中心在原点，半长轴为1，半短轴为的椭圆，

2

2

故：“0a1，0b1”是“方程ax21by2表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，

故选：D

x2y2

变式10．（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知曲线C:1，则“a0”是“曲线C

4a3a2

是椭圆”的（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

4a0

【解析】若曲线C是椭圆，则有：3a20

4a3a2

解得：a0，且a2

故“a0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件

故选：C

y2

变式11．（2024·全国·高三专题练习）设a为实数，则曲线C：x21不可能是（）

1a2

A．抛物线B．双曲线C．圆D．椭圆

【答案】A

【解析】对A：因为曲线C的方程中x,y都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线

C不可能是抛物线，故选项A正确；

对B：当1a20时，曲线C为双曲线，故选项B错误；

对C：当1a21时，曲线C为圆，故选项C错误；

对D：当1a20且1a21时，曲线C为椭圆，故选项D错误；

故选：A.

x2y2

变式12．（2024·广西钦州·高三校考阶段练习）“1k5”是方程“1表示椭圆”

k15k

的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条

【答案】B

k10,

【解析】若方程表示椭圆，则有5k0,

k15k,

因此1k5且k3，

x2y2

故“1k5”是“方程1表示椭圆”的必要不充分条件．

k15k

故选：B

【解题方法总结】

x2y2

1表示椭圆的充要条件为：m0,n0,mn；

mn

x2y2

1表示双曲线方程的充要条件为：mn0；

mn

x2y2

1表示圆方程的充要条件为：mn0.

mn

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题

x2y2

例7．（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点A，B是椭圆C:1上关于原点

94

对称的两点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若AF12，则BF1（）

A．1B．2C．4D．5

【答案】C

【解析】因为|OA||OB|,|OF1||OF2|,

所以四边形AF1BF2是平行四边形.

所以|BF1||AF2|.

由椭圆的定义得|AF2|23|AF1|624.

所以BF14.

故选：C

x2y2

例8．（2024·北京·高三强基计划）如图，过椭圆1的右焦点F2作一条直线，交椭圆

43

于A，B两点，则F1AB的内切圆面积可能是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【解析】记F1AB的周长为l，面积为S，内切圆半径为r．易知l8,0S3．

13

由于lrS，故0r．

24

9

设F1AB的内切圆面积为S，则0S1.7，

16

于是选项A符合题意．

故选：A.

x2

例9．（2024·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆C:y21(a1),F,F为两个焦点，P为

a212

△

椭圆C上一点，若PF1F2的周长为4，则a（）

35

A．2B．3C．D．

24

【答案】D

【解析】设椭圆C的焦距为2c，则c21a2，

35

△PFF的周长为2a2c4，解得c,a，

1244

故选：D

x2y2

变式13．（2024·河南·高三阶段练习）已知F1,F2分别为椭圆C:1(a23)的两个

a212

1△

焦点，且C的离心率为,P为椭圆C上的一点，则PF1F2的周长为（）

2

A．6B．9C．12D．15

【答案】C

2

1a121

【解析】因为C的离心率为，且a23，所以e2，解得a4，则

2a24

2△

ca122，所以PF1F2的周长为2a2c12.

故选：C

x2y2

变式14．（2024·全国·校联考模拟预测）已知椭圆E:1(ab0)的左顶点为A，上

a2b2

顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，延长BF2交椭圆E于点P．若点A到直线BF2的距离

162△

为，PF1F2的周长为16，则椭圆E的标准方程为（）

3

x2y2x2y2

A．1B．1

25163632

x2y2x2y2

C．1D．1

494810064

【答案】B

【解析】由题意，得A(a,0)，B(0,b)，F2(c,0)，则直线BF2的方程为bxcybc0，

|abbc|b162

所以点A到直线BF2的距离d(ac)①．

b2c2a3

△

由PF1F2的周长为16，得PF1PF2F1F22a2c16，即a+c=8②，

22

联立①②，解得ba③．

3

1

因为b2a2c2，所以ca④．

3

联立②④，解得a=6，c=2，所以b42，

x2y2

故椭圆E的标准方程为是1.

3632

故选：B．

x2y2

变式15．（2024·广东梅州·统考三模）已知椭圆C:1的左、右焦点分别为F1，F2，

95

△

过点F2的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF24，则AF1F2的面积为（）

A．23B．13C．4D．15

【答案】D

x2y2

【解析】椭圆C:1中，|FF|2954，由AF24及椭圆定义得AF12，

9512

△21222

因此AF1F2为等腰三角形，底边上的高h|AF|(|AF|)4115，

221

△1

所以AF1F2的面积为S|AF|h15.

AF1F221

故选：D

x2y2

变式16．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆E:1(ab0)的

43

，

两焦点分别为F1F2，A是椭圆E上一点，当F1AF2的面积取得最大值时，F1AF2（）

2

A．B．C．D．

6233

【答案】C

【解析】c431，所以F1F22c2，

1

所以FAF2yy，则当y最大时，FAF面积最大，

122AAA12

此时点A位于椭圆的上下端点，

则13，因为，所以，

F1AOF1AO0,F1AO

3326

所以FAF.

123

故选：C.

x2y2

变式17．（2024·河南开封·统考三模）已知点P是椭圆1上一点，椭圆的左、右焦

259

1

点分别为F、F，且cosFPF，则△PFF的面积为（）

1212312

92

A．6B．12C．D．22

2

【答案】C

x2y2

【解析】由椭圆1，得a5，b3，c4.

259

设PF1m，PF2n，

△

∴mn10，在PF1F2中，由余弦定理可得：

1

(2c)2m2n22mncosFPF(mn)22mn2mn，

123

827

可得64100mn，得mn，

32

2

故1127192

S△FPFmnsinF1PF21.

1222232

故选：C.

2

x2

变式18．（2024·全国·高三专题练习）设F1,F2为椭圆C:y1的两个焦点，点P在C上，