2025年高考数学必刷题分类：第68讲、曲线的轨迹方程（学生版）

第68讲曲线的轨迹方程

知识梳理

一．直接法求动点的轨迹方程

利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：

（1）建系：建立适当的坐标系

（2）设点：设轨迹上的任一点Px,y

（3）列式：列出有限制关系的几何等式

（4）代换：将轨迹所满足的条件用含x,y的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将

其转化为x,y的方程式化简

（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应

另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．

注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．

二．定义法求动点的轨迹方程

回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点P和满足焦点标志的

定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）

圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满

足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．

三．相关点法求动点的轨迹方程

如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点

坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P(x,y)，用(x,y)表示出相关点P的坐标，然后把

P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程．

四．交轨法求动点的轨迹方程

在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先

解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数

法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．

五．参数方程法求动点的轨迹方程

动点M(x,y)的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个

xf()

参数表示动点的坐标，即，再消参.

yg()

六．点差法求动点的轨迹方程

圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点

的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，

A(x1,y1),B(x2,y2)x1x2y1y2x1x2y1y2

等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率

ABP(x,y)2xx1x22yy1y2AB

y2y1

为，由此可求得弦AB中点的轨迹方程．

x2x1

必考题型全归纳

题型一：直接法

例1．（2024·甘肃平凉·高三统考期中）动点P与定点A(1,0),B1,0的连线的斜率之积为1，

则点P的轨迹方程是.

例2．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆A：x2(y3)21，过动点P

作圆A的切线PB（B为切点），使得PB3，则动点P的轨迹方程为.

例3．（2024·全国·高三专题练习）已知两条直线l1:2x3y20和l2:3x2y30，有一

动圆与l1及l2都相交，并且l1、l2被截在圆内的两条弦长分别是26和24，则动圆圆心的轨迹

方程是．

变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系中有两点F12,0,F22,0，且曲

线C1上的任意一点P都满足PF1PF25．则曲线C1的轨迹方程为.

变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知平面上的动点P到点O(0,0)和A(2,0)的距离之比为

3

，则点P的轨迹方程为.

2

变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x=8，P为该平面上

11

一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PCPQ)·(PCPQ)=0．则动点P的轨迹方程

22

为；

题型二：定义法

例4．（2024·全国·高三专题练习）若F1(0,3)，F2(0,3)，点P到F1，F2的距离之和为10，

则点P的轨迹方程是

例5．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知圆M与圆O:x2y21内切，且圆M与直线

x2相切，则圆M的圆心的轨迹方程为．

2

例6．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）已知圆M:(x1)2y21，圆N:x1y225，

动圆P与圆M外切并与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为

变式4．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知△HMN的周长是18，

M，N是x轴上关于原点对称的两点，若MN6，动点G满足GMGNGH0.则动点

G的轨迹方程为；

2

变式5．（2024·全国·高三对口高考）已知动圆P过点N2,0，且与圆M:x2y28

外切，则动圆P圆心Px,y的轨迹方程为.

变式6．（2024·全国·高三专题练习）ABC中，A为动点，B2,0，C2,0且满足

sinCsinB2sinA，则A点的轨迹方程为．

22

变式7．（2024·全国·高三专题练习）一个动圆与圆C1:x(y3)1外切，与圆

2

C2:x(y3)81内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为．

2

112

变式8．（2024·全国·高三对口高考）已知A,0，B是圆F:xy4（F为圆心）

22

上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为.

变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知定点R(1,0)，圆S:x2y22x150，过R

点的直线L1交圆于M，N两点过R点作直线L2//SN交SM于Q点，求Q点的轨迹方程；

变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知圆O:x2y21，直线l:xy20，过l上的点

P作圆O的两条切线，切点分别为A,B，则弦AB中点M的轨迹方程为.

变式11．（2024·吉林白山·高三抚松县第一中学校考阶段练习）设O为坐标原点，F2,0，

点A是直线x2上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l

于点P，则点P的轨迹方程为．

22

变式12．（2024·云南·高三校联考阶段练习）已知圆A1:x1y16，直线l1过点A21,0

且与圆A1交于点B，C，线段BC的中点为D，过A2C的中点E且平行于A1D的直线交A1C于

点P．

(1)求动点P的轨迹方程；

题型三：相关点法

x2y2

例7．（2024·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆1上的任意一点，O为原点，M

2516

1

满足OMOP，则点M的轨迹方程为．

2

例8．（2024·福建泉州·高三校考开学考试）M是圆C:x2y21上的动点，点N2,0，则

线段MN的中点P的轨迹方程是.

例9．（2024·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知定点A(4,2)和曲线

x2y24上的动点B，则线段AB的中点P的轨迹方程为．

x2

变式13．（2024·全国·高考真题）设P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为

4

线段OP的中点，则点M的轨迹方程为．

变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC的顶点B3,0，C1,0，顶点A在抛物

线y=x2上运动，则ABC的重心G的轨迹方程为．

变式15．（2024·全国·高三专题练习）设过点Px,y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正

半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若BP2PA，且OQAB1，

则点P的轨迹方程是．

变式16．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，

ABAC

，GPGA，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，

GAGBGC0

ABAC

存在非零实数，使得GIAB，则顶点C的轨迹方程为．

题型四：交轨法

例10．（2024·贵州铜仁·高三统考期末）已知直线l1:ym(x2)，l2:xmym20，

当任意的实数m变化时，直线l1与l2的交点的轨迹方程是．

例11．（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线C:x22py(p0)的焦点F到准线的距离

为2，直线l:ykx4与抛物线C交于P,Q两点，过点P,Q作抛物线C的切线l1,l2，若l1,l2

交于点M，则点M的轨迹方程为.

x2y2

例12．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知A，B分别为椭圆1的左

43

､右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴垂直，则直线MA与NB交

点的轨迹方程为.

x2y2

变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知MN是椭圆1ab0中垂直于长轴的

a2b2

动弦，A,B是椭圆长轴的两个端点，则直线AM和NB的交点P的轨迹方程为．

变式18．（2024·全国·高三专题练习）直线l在x轴上的截距为aa0且交抛物线

2

y2pxp0于A、B两点，点O为抛物线的顶点，过点A、B分别作抛物线对称轴的平

行线与直线xa交于C、D两点．分别过点A、B作抛物线的切线，则两条切线的交点的

轨迹方程为．

变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C：x28y，焦点为F，过F的直线l交

C于A，B两点，分别作抛物线C在A，B处的切线，且两切线交于点P，则点P的轨迹方

程为：．

变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN

切于点B，分别过点M,N且与圆C相切的两条直线相交于点P，则点P的轨迹方程

为.

变式21．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，两根杆分别绕着定点A和B（AB＝2a）在

平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是.

变式22．（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴

上，且经过A4,0､B4,0､C2,3三点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若过右焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆E交于M､N两点，求直线AM与直线BN的

交点的轨迹方程.

x2y23

变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：1ab0的离心率为，

a2b22

3

且经过M1,，经过定点T1,0斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭

2

圆C的左，右两顶点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.

变式24．（2024·山西阳泉·高三统考期末）已知过点H8,0的直线交抛物线E:y28x于A,B

两点，O为坐标原点．

(1)证明：OAOB；

(2)设F为抛物线的焦点，直线AB与直线x4交于点M，直线MF交抛物线与C,D两点

（A,C在x轴的同侧），求直线AC与直线BD交点的轨迹方程．

变式25．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）直线l在x轴上的截距

为aa0且交抛物线y22pxp0于A，B两点，点O为抛物线的顶点，过点A，B分

别作抛物线对称轴的平行线与直线xa交于C，D两点．

(1)当a2p时，求AOB的大小；

(2)试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请

说明理由；

(3)分别过点A，B作抛物线的切线，求两条切线的交点的轨迹方程．

变式26．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y22px(p0)过点(1,2)，直线

l:xmy20与抛物线C交于A，B两点.

(1)若|AB|46，求直线l的方程；

(2)过点(2,0)作直线l1和l2，其中l1交C于M，N两点，l2交C于P，Q两点，M，P位于x

轴的同侧，Q，N位于x轴的同侧，求直线MP与直线QN交点的轨迹方程.

变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y22pxp0的内接等边三角形AOB

的面积为33（其中O为坐标原点）．

（1）试求抛物线C的方程；

（2）已知点M1,1,P,Q两点在抛物线C上，MPQ是以点M为直角顶点的直角三角形．

①求证：直线PQ恒过定点；

②过点M作直线PQ的垂线交PQ于点N，试求点N的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．

题型五：参数法

例13．（2024·全国·高三专题练习）方程x2y24tx2ty3t240(t为参数)所表示的圆

的圆心轨迹方程是(结果化为普通方程)

例14．（2024·全国·高三专题练习）已知A2cos,4sin，B2sin,4cos，当R时，

线段AB的中点轨迹方程为．

例15．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知O为坐标原点，

2222

O1:xy4,O2:xy1，A是O1上的动点，连接OA，线段OA交O2于点B，

过A作x轴的垂线交x轴于点C，过B作AC的垂线交AC于点D，则点D的轨迹方程

为．

变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知在PAB中，AB＝8，以AB的中点为原点O，AB

所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设PAB，PBA，若

2222

cos()cossinsincos，则点P的轨迹方程

2222

为．

题型六：点差法

x2

例16．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆y21．

2

(1)过椭圆的左焦点F引椭圆的割线，求截得的弦的中点P的轨迹方程；

(2)求斜率为2的平行弦的中点Q的轨迹方程；

11

(3)求过点M,且被M平分的弦所在直线的方程．

22

x2

例17．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆y21，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方

2

程.

x2y2

例18．（2024·全国·高三专题练习）已知：椭圆1，求：

164

（1）以P2,1为中点的弦所在直线的方程；

（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．

变式29．（2024·全国·高三专题练习）斜率为2的平行直线截双曲线x2y21所得弦的中点

的轨迹方程是．

x2y23

变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆1，一组平行直线的斜率是，当

492

它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是．

x2

变式31．（2024·全国·高三专题练习）直线l与椭圆y21交于A，B两点，已知直线l的

4

斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是．

2

x1

变式32．（2024·全国·高三专题练习）椭圆y21，则该椭圆所有斜率为的弦的中点

42

的轨迹方程为．

题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹

例19．（2024·北京·高三强基计划）在正方体ABCDA1B1C1D1中，动点M在底面ABCD内

运动且满足DD1ADD1M，则动点M在底面ABCD内的轨迹为（）

A．圆的一部分B．椭圆的一部分

C．双曲线一支的一部分D．前三个答案都不对

例20．（2024·全国·高三对口高考）如图，定点A和B都在平面内，定点P,PB，

C是内异于A和B的动点，且PCAC．那么，动点C在平面内的轨迹是（）

A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点

C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点

例21．（2024·云南保山·统考二模）已知正方体ABCDA1B1C1D1，Q为上底面A1B1C1D1所在

平面内的动点，当直线DQ与DA1的所成角为45°时，点Q的轨迹为（）

A．圆B．直线C．抛物线D．椭圆

变式33．（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，

，，为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨

AB1AA14EDD1PC1PB1EP

迹的长为（）

A．52B．222C．252D．132

变式34．（2024·全国·学军中学校联考模拟预测）已知空间中两条直线l1、l2异面且垂直，平

面∥l1且l2，若点P到l1、l2距离相等，则点P在平面内的轨迹为（）

A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线

变式35．（2024·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P满足

AA14AP，E，F分别为棱BC，CD的中点，点Q在正方体ABCDA1B1C1D1的表面上运

动，满足A1Q//面EFP，则点Q的轨迹所构成的周长为（）

537737837

A．B．237C．D．

333

题型八：复数与圆锥曲线的轨迹

例22．（2024·辽宁朝阳·统考二模）已知z5iz5i6，则复数z在复平面内所对应

点Px,y的轨迹方程为．

例23．（2024·全国·高三专题练习）设复数z满足zizi4，z在复平面内对应的点为

x,y，则z在复平面内的轨迹方程为．

例24．（2024·辽宁锦州·统考模拟预测）已知复数zabi(a,bR,i为虚数单位),z2为纯虚

数，则在复平面内，z对应的点Z的轨迹为（）

A．圆B．一条线段C．两条直线D．不含端点的4条射

线

变式36．（2024·全国·高三专题练习）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足|z3||zi|，

则动点Z的轨迹为（）

A．直线B．线段C．两条射线D．圆

变式37．（2024·全国·高三专题练习）已知复数z满足zizi2，则z的轨迹为（）

A．线段B．直线

C．椭圆D．椭圆的一部分

变式38．（2024·全国·高三专题练习）若复数z满足z1i3，则复数z对应的点的轨迹围

成图形的面积等于（）

A．3B．9C．6πD．9π

变式39．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）满足条件z134i的复数z

在复平面上对应点的轨迹是（）

A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线

变式40．（2024·辽宁抚顺·高三校联考期末）若复数z满足zi1.则复数z在复平面内的点

的轨迹为（）

A．直线B．椭圆C．圆D．抛物线

题型九：向量与圆锥曲线的轨迹

例25．（2024·全国·高三专题练习）已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个

点，动点P满足OP=OA+(AB+AC)，(0，)，则P的轨迹一定通过ABC的（）

A．重心B．外心C．内心D．垂心

例26．（2024·全国·高三对口高考）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动

点P满足OP=OA+(AB+AC)，[0,)，则P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心B．垂心C．内心D．重心

22

例27．（2024·全国·高三专题练习）在ABC中，设ACAB2AMACAB，那么动

点M的轨迹必通过ABC的（）

A．垂心B．内心C．重心D．外心

变式41．（2024·江苏·高三统考期末）ABC中，AH为BC边上的高且BH3HC，动点P满

12

足APBCBC，则点P的轨迹一定过ABC的（）

4

A．外心B．内心C．垂心D．重心

变式42．（2024·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面内，A,B是两个定点，C是

动点，若CACBAB，则点C的轨迹为（）

A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线

变式43．（2024·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）在ABC中，AB=1，AC3，

33

S△，角A是锐角，O为ABC的外心．若OPmOBnOC，其中m,n0,1，

ABC4

则点P的轨迹所对应图形的面积是（）

737377

A．B．C．D．

612612

变式44．（2024·全国·高三专题练习）正三角形OAB的边长为1，动点C满足OCOAOB，

且221，则点C的轨迹是（）

A．线段B．直线C．射线D．圆

变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线

OBOCABAC

的三个点，动点P满足OP，(0，)，则动点P的

2

ABcosBACcosC

轨迹一定通过ABC的（）

A．重心B．外心C．内心D．垂心

题型十：利用韦达定理求轨迹方程

x2y22

例28．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，点

a2b22

A0,1在C上．过C的右焦点F的直线交C于M，N两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若动点P满足kPMkPN2kPF，求动点P的轨迹方程．

例29．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点F3,0的直线交双曲

x2y2

线C:1(a,b0)于M,N两点，曲线C的左右顶点分别为A1,A2，虚轴长与实轴长的

a2b2

比值为5．

2

(1)求曲线C的方程；

(2)如图，点M关于原点O的对称点为点P，直线A1P与直线A2N交于点S，直线OS与直线

MN交于点T，求T的轨迹方程．

y2

例30．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆方程为x21，过点M(0,1)的直线l交椭圆于

4

1

点A，B，O是坐标原点，点P满足OP(OAOB)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨

2

迹方