高中数学第四章函数应用2实际问题的函数建模

§2实际问题函数建模1/46学习目标

1.会利用已知函数模型处理实际问题(重点)；2.能建立函数模型处理实际问题(重、难点)．2/46知识点一常见函数模型3/46【预习评价】1．(1)斜率k取值是怎样影响一次函数图像和性质？

(2)在幂函数模型解析式中，α正负怎样影响函数单调性？

提醒(1)k>0时直线必经过一、三象限，y随x增大而增大；k<0时直线必经过二、四象限，y随x增大而减小．(2)当x>0，α>0时，函数图像在第一象限内是上升，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，α<0时，函数图像在第一象限内是下降，在(0，＋∞)上为减函数．4/462．(1)依据散点图选择函数模型时主要依据函数什么性质？

(2)数据拟合时，得到函数为何需要检验？

提醒(1)主要依据函数单调性及函数值增加速度快慢．(2)因为依据已给数据，作出散点图，依据散点图 选择我们比较熟悉、最简单函数进行拟合，但用得到函数进行预计时，可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其它函数模型．5/46知识点二处理函数应用问题基本步骤 利用函数知识和函数观点处理实际问题时，普通按以下几个步骤进行：

(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图：6/46

解析显然该函数是减函数，B正确，C，D变形或求值错误．

答案B7/462．某物体一天内温度T是时间t函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则早晨8：00时温度为________℃．

解析因为t＝0时表示中午12：00，则早晨8：00时t＝

－4，代入函数T(t)＝t3－3t＋60中，可得T(－4)＝8．

答案88/46【例1】某商场以每件30元价格购进一个商品，试销中发觉，这种商品天天销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要天天取得最大销售利润，每件商品售价应定为(

) A．30元 B．42元

C．54元 D．越高越好题型一一次函数、二次函数模型9/46

解析设天天取得利润为y元，则

y＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432， ∴当x＝42时，取得利润最大，应定价为42元．

答案B

规律方法一次函数、二次函数均是主要函数模型，尤其是二次函数模型在函数建模中占有主要地位．利用二次函数求最值时要注意取得最值时自变量与实际意义是否相符．10/46【训练1】某企业市场营销人员个人月收入与其每个月销售量成一次函数关系，如图所表示，由图中给出信息可知，营销人员没有销售量时收入是(

) A．310元 B．300元

C．290元 D．280元11/46

解析由题意可知，收入y是销售量x一次函数，设y＝ax＋b(a≠0)，将(1,800)，(2,1300)代入，得a＝500，b＝300.当销售量为x＝0时，y＝300．

答案B12/46题型二指数型函数、对数型函数模型13/4614/4615/46【训练2】某城市年底人口总数为100万人，假如年平均增加率为1.2%，试解答以下问题：

(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)函数关系；

(2)计算10年后该城市人口总数(准确到0.1万人)；

(3)计算经过多少年以后，该城市人口将到达120万人(准确到1年)．

(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005)．16/4617/4618/46【例3】如图所表示，等腰梯形ABCD两底分别为AD＝2，BC＝1，∠BAD＝45°，直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM＝x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧面积y表示为x函数，并写出函数定义域和值域．题型三分段函数模型19/46

解如图，过B，C分别作AD垂线，垂足分别为H和G，20/4621/46

规律方法1.分段函数模型是日常生活中常见函数模型．对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段定义域表示方法，对于中间各个分点，普通是“一边闭，一边开”，以确保在各分点“不重不漏”．

2．处理分段函数问题需注意几个问题：(1)全部分段区间并集就是分段函数定义域．(2)求分段函数函数值时，先要搞清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上解析式来计算函数值．(3)普通地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段自变量取值范围．22/46【训练3】经过研究学生学习行为，心理学家发觉，学生接收能力依赖于老师引入概念和描述问题所用时间．讲座开始时，学生兴趣激增，中间有一段不太长时间，学生兴趣保持较理想状态，随即学生注意力开始分散，分析结果和试验表明，用f(x)表示学生掌握和接收概念能力(f(x)值越大，表示接收能力越强)，x表示提出和讲授概念时间(单位：min)，可有以下公式：23/4624/4625/4626/46【探究1】图中一组函数图像，它们分别与其后所列一个现实情境相匹配：互动探究题型四拟合函数模型应用27/4628/46

解析对于A，加热时升温快，然后再变凉，易知为①；对于B，这时物品价值先下降，直到收藏后价值才会升值，所以显然为③；对于C，因为洗澡普通是间歇性用水，所以易知水高度函数图像有多重折线，所以显然为④；对于D，乘客人数越多，利润越大，显然是②．

答案①③④②29/46【探究2】环境污染已经严重危害人们健康，某工厂因排污比较严重，决定着手整改，一个月时污染度为60，整改后前四个月污染度下表：月数1234…污染度6031130…30/46

解用h(x)模拟比较．理由：因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5． 由此可得h(x)更靠近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．

31/46【探究3】为了预计山上积雪融化后对下游浇灌影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度xcm与当年浇灌面积yhm2.现有连续10年实测资料，以下表所表示.年序最大积雪深度x/cm浇灌面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.932/46 (1)描点画出浇灌面积y(hm2)随积雪深度x(cm)改变图像；

(2)建立一个能基本反应浇灌面积改变函数模型y＝f(x)，并画出图像；

(3)依据所建立函数模型，求最大积雪深度为25cm时，能够浇灌土地数量．33/46

解(1)描点作图如图甲．34/4635/46

规律方法对于这类实际应用问题，关键是建立适当函数关系式，再处理数学问题，最终验证并结合问题实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测普通步骤：

(1)依据原始数据，绘出散点图；

(2)经过考查散点图，画出“最贴近”直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；

(3)依据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线函数关系式；

(4)利用函数关系式，依据条件对所给问题进行预测，为决议和管理提供依据．36/461．某商场在销售空调旺季4天内利润以下表所表示.

现构建一个销售这种空调函数模型，应是以下函数中(

) A．y＝log2x B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝2x

解析逐一检验可得答案为B．

答案B课堂达标时间1234利润(千元)23.988.0115.9937/462．一辆匀速行驶汽车90min行驶路为180km，则这辆汽车行驶旅程y(km)与时间t(h)之间函数关系式是(

)

A．y＝2t B．y＝120t C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)

答案D38/463．里氏震级M计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪统计地震曲线最大振幅，A0是对应标准地震振幅．假设在一次地震中．测震仪统计最大振幅是1000，此时标准地震振幅为0.001，则此次地震震级为________级；9级地震最大振幅是5级地震最大振幅________倍．39/46

答案6

1000040/464．用一根长为12m铁丝弯成一个矩形铁框架，则能弯成框架最大面积是________m2．

答案941/465．我国1999年至年国内生产总值(单位：万亿元)以下表所表示：

(1)画出函数图形，猜测它们之间函数关系，近似地写出一个函数关系式；

(2)利用得出关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．年份1999x/年0123生产总值8.20678.94429.593310.239842/46

解(1)画出函数图形，如图．从函数图形能够看出，画出点近似地落在一条直线上．43/4644/461．函数模型应用实例主要包含三个方面：

(1)利用给