（中考高分突破）数学（三）-2024年中考考前20天终极冲刺攻略（原卷版）

目录contents

（三）

图形的初步认识命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题01

三大几何变换命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题21

三角形命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题39

图形的相似命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题60

锐角三角函数命题预测知识导图应试必备真题回眸易错专练满分训练名师押题77

图形的初步认识

［中考命题预测

从题型来看，主要会以选择题和填空题的形式出现，毕竟这种基础知识点，考查的就是学生的掌握程度，

题目不会太难。当然，也不能掉以轻心，有时候也会出一些稍微灵活一点的题目，需要学生结合其他知识点进行

解答。

在内容上，可能会涉及到图形的性质、分类、以及基础的几何变换等等。

;思维导图

;‘应试必备

I、线段、射线、直线

一、线段

1.线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点.

2.线段的特征：有两个端点，有长度，无方向.

3.线段的表示方法:

（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA；

AB

图1图2

（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图2所示，记作：线段a.

4.线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短.简记为：两点之间，线段最短.

5.线段没有方向，但线段的延长线和反向延长线是有方向的，如“线段AB的延长线”和“线段BA的延长

线”表示的方向是不同的.（延长线一般用虚线）.

6.线段的中点：如图所示，点C把线段AB分成两条相等的线段AC和CB,点C就叫做线段AB的中点.

I_____I______|

ACB

（1）线段的中点只有一个，且线段的中点一定在这条线段上；

（2）若点C是线段AB的中点，则AC=BC,；反过来，若AC=BC,则点C不一定是线段AB的中点（点

C可能在线段AB外）.

二、射线

I.射线的概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点.

2.射线的特点：是宜的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长，可以向一个方向无限延伸.

3.射线的表示方法:

(1)可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点

写在前面，如图1所示，可记为射线AB；

a

AB,

图1图2

(2)也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，也可记为射线a.

在用两个大写字母表示射线时，两个字母的顺序不能写反了，首字母表示射线的端点；端点不同，所表

示的射线也不同.

若一条直线上有n个点，则有2n条射线，其中有(2n—2)条射线可以用表示这些点的字母表示出来.

三、直线

1.直线：把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线.

直线是最简单、最基本的匚何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常川”一根拉得紧的细线''、

“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述；

直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量.

2.直线的表示方法：

(1)可以用直线.上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)：

・・____________________

AB

图1图2

(2)直线也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线a.

3.直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单说成：两点确定一条直线.

J点与直线的位置关系

(1)点在直线上，如图1所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A；

___________

Amn

图1图2

(2)点在直线外，如图2,点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B.

5.线段、射线、直线的区别与联系

线段射线宜线

141

图形••a

ABABAB

表示方法线段AB或线段BA或线段a射线AB或射线a直线AB或直线BA或直线a

端点个数210

延伸情况不能延伸向一方无限延伸向两方无限延伸

度量情况能度量不能度量不能度量

射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成

联系

为了直线.射线向反方向无限延伸就成为直线

四、线段的画法及长短比较

1.尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.

2.画一条线段等于已知线段

（1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段;

（2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于己知线段.

3.线段长短的比较

（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短；

（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点

同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.

11、角

一、角

I.静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两

条边.如图1所示，角的顶点是点0,边是射线0A、0B.

图1图2

2.动态定义：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平

面部分是角的内部.如图2所示，射线0A绕它的端点0旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置

0A是角的始边，终止位置0B是角的终边.

3.平角与周角

-~~~-------------------------

BOA彳⑶

平角周角

图1困2

平角与周角：如图1所示射线0A绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置0A成一条直线时，所形成

的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角.

PS：平角的两边成一条直线，但不能说平角就是直线：

4.两条射线有公共端点，即角的顶点：角的边是射线：角的大小与角的两边的长短无关.

5.角的表示方法

表示方法图例记法适用范围

用三个大写字母表示ANAOB或NBOA任何情况下都适用，表示顶点的字母要

写在中间

用一个大写字母表示Z0当以某一字母表示的点为顶点的角只

有一个时，可用这个顶点的字母来表示

用数字表示Z1在角的内部靠近顶点处加上弧线，并标

/

上数字或希腊字母，任何情况下都适用

用希腊字母表示/

Za

PS：在初中阶段，若没有特殊说明，默认的角都是小于平角的角.

二、角的度量单位和换算

1.角的度量单位：度、分、秒是常用的的角的度量单位，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1。

的角，把1°的角60等分，每一份就是「的角，把「的角60等分，每一份就是1”的角.

2.角的换算：1周角=360。，1平角=180。，1。=60',「=60".

3.角的度量方法：最常用的度量角的工具是量角器，用量隹器度量角时要注意三点：

（I）对中：顶点对准量角器的中心；

（2）重合：一边与量角器的零刻度线重合；

（3）读数：读出另一边所在线对应的度数.

三、比较角的大小

1.度量法：先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小：

2.叠合法：把两个角的顶点和一条边分别叠合在一起，口使另一条边在重合边的同侧，然后通过观察另一

条边的位置来比较两个角的大小.

四、角的和、差

1.两个角的和或两个角的差，仍然是一个角；两个角的和或差的度数，就是它们度数的和或差；

2.在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位,

相减时要借1作60.

五、角的画法

1.用量角器画：用量角器可以画出大小在0°到180。之间的任何角.

画角时，先画一条射线，然后让射线与量角器的0°线重合，射线端点与量角器中心重合，在画角处画

一个点，再过射线端点和这个点画一条射线，即可得到所要的角.

2.用三角尺画：一副三角尺有30。，45。，60°,90。的角，能用三角尺画15。的整数倍的角.

3.用圆规和直尺作一个角等丁口知角

(1)如图1所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；

(2)画一条射线OS1以点0,为圆心，OC长为半径画弧，交于点C，；

(3)以点C为圆心，CD长为半径画弧，交前一个弧于点D，；

(4)过点D，画射线则NATTB，就是与NAOB相等的角.

六、角的平分线

如图所示，射线OC把NAOB分成两个相等的角，射线OC就叫做这个角的角平分线.

B

PS:角的平分线是一条射线，不是线段或直线.

如果一条射线是某一个角的平分线，那么这条射线必定在该角的内部：

六、方位角

在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线0A的方向是北偏东60。；射线OB

的方向是南偏西30。.这里的“北偏东60。”和“南偏西30。”表示方向的角，就叫做方位角.

1.正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；

2.方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60。”一般不说成“东偏北30。”；

3.在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正

东、E西、正南、正北的方向；

＜图中的点O是观测点，所有方向线（射线）都必须以O为端点.

I1K余角、补角、对顶角

一、余角和补角

1.余角：i般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一

个角的余角.

2.补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补

角.

互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个先只与它们的和有关，而与它们的位置无关.

与N2互为余角

/1+/2=90。=＞（N1是N2的余角,

[N2是N1的余角

与N2互为补角

/1+/2=180。=＞〈N1是N2的补角.

[/2是/I的补角

（1）互余、互补指的是两个角之间的数量关系，它们是成对出现的，单独一个角不能说互余或互补；

（2）若N1与N2互余，则Nl+N2=90。，若N1与N2互补，则Nl+N2=180。；

（3）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能是一个

锐角，另一个是钝角；

（4）钝角没有余角;

（5）一个角的余角（补角）可以有多个，且度数都是相等的.

二、余角和补角的性质

1.余角的性质：同角（等角）的余角相等；

2.补角的性质：同角（等角）的补角相等：

3.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角.

三、对顶角

1.一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.

如图所示，两条直线形成的四个角，N1和/3是对顶角，/2和N4是对顶角.

（1）对顶角形成的前提条件是两条直线相交，对顶角必须有公共顶点;

（2）对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角.

2.对顶角的性质：对顶角相等.

对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角.

IV、平行

平行的概念及表示

1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

2.表示方法：如图所示，两条直线平行，记作a〃b或AB〃CD,读作“a平行于b”或“AB平行于CD”.

同一平面内不想交的两条直线互相平行，空间里不想交的直线不一定是平行线.

3.平行线须满足的条件：①直线，②在同一平面内，③不想交.

4.同一个平面内，两条直线的位置关系有两种，平行或相交.

5.平行线的一个基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

由基本事实可以推出下面的结论成'九如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

二、利用直尺和三角尺画平行线

过直线外一点画已知直线的平行线的步骤：

1.落：将三角尺一边落在已知直线上：

2.靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺：

推：将三角尺沿直尺的边推到原来与已知直线重合的边恰好经过已知点的位置;

4.画：沿三角尺的这一边画直线.

PS：推动三角尺时，必须保持三角尺紧贴直尺，且直尺不能移动，否则画出的图形不准确.

V、垂直

一、垂线的概念及表示

1.垂线：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直.线互相垂直，其中的一条更线

叫做另一条直线的垂线.（垂线是直线，不是线段）

2.垂足：互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.

3.表示方法：如图所示，两条直线互相垂直，记作aJ_b或AB_LCD,0是垂足.

b

C

—A•—OB一°

D

4.两条直线互相垂直时，常在垂足处写一个宜角标志“1

5.线段与线段、线段与射线、射线与射线垂直，指的都是它们所在的直线互相垂直.

二、垂线的画法

如图所示，过•点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的•条直角边和

已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为己知

直线的垂线.

三、垂线的结论

1.基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

2.垂线段及其性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.

3.点到直线的距离

A

——,

如图所示，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，上图中，线段AB的长度就是

点A到直线1的距离.

4.已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条.

5.连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，月.垂线段是最短的.

6.点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，并不是垂线段.

VI、直线平行的条件与性质

一、认识同位角、内错角、同旁内角

两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，如图所示:

1.同位角：如图所示，像N1与N2这样的一对角称为同位角，

位置特征：在两条被截直线同•方，在截线同侧；

图形结构特征：形如字母"F”（或倒置、反置、旋转）.

2.内错角：如图所示，像N7与N2这样的一对角称为内错角；

位置特征：在被截的两条直线之间，在截线两旁（交错）；

图形结构特征：形如字母“Z”（或倒置、反置、旋转）.

3.同旁内角：如图所示，像与N6这样的一对角称为同旁内角;

位置特征：在被截的两条直线之间，在截线同侧；

图形结构特征：形如字母“U”（或倒置.、反置、旋转）.

PS：（1）同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，它们之间的大小关系

是不确定的;

（2）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，都没有公共顶点，“三线八角”中共有4对同位角，2对

内错角，2对同旁内角.

二、两条直线平行的条件

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

'：Z3=Z2

ABZ/CD（同位角相等，两直线平行）；

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

;Z1=Z2

:.AB〃CD（内错角相等，两直线平行）；

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言:

Z4+Z2=I8O°

••・AB/7CD（同旁内角互补，两直线平行）.

除了三个判定方法外，我们还可以通过平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线）,

平行的传递性（平行于同一条直线的两条直线互相平行）来进行判定.

三、平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

PS：只有当两直线平行时，才会有同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补.

四、平行线的判定与性质的区别

条件结论作用

同位角相等两直线平行

判定内错角相等两直线平行由角的数量关系确定直线的位置关系

同旁内角互补两直线平行

两直线平行同位角相等

性质两直线平行内错角相等由直线位置关系得到角的数量关系

两直线平行同旁内角互补

从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.

〈厂真题回眸

1.（2023•北京）如图，ZAOC=ZBOD=90°,NAOD=126。，则NBOC的大小为（）

B

A

A.36°B.44°C.54°D.63°

2.（2023・重庆）如图，AB//CD,AD±AC,若Nl=55。，则N2的度数为（）

A.35°B.45°C.50°D.55°

3.（2023•河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70。的方向，则淇淇

家位于西柏坡的（）

北

牛►东

A.南偏西70。方向B.南偏东20。方向

C.北偏西20。方向D.北偏东70。方向

J（2023•山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线

相交于点P，点F为焦点.若Nl=155。，Z2=30°,则N3的度数为（)

A.45°B.50°C.55°D,60°

5.（2023•苏州）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A,B,C,D四个

格点，下面四个结论中，正确的是（）

A.连接AB,则AB〃PQB.连接BC,贝I」BC〃PQ

C.连接BD,则BD_LPQD.连接AD,则AD_LPQ

6.（2023•乐山）如图，点O在直线AB上，OD是NBOC的平分线，若NAOC=140。，则NBOD的度数

为

7.（2023・阜新）将一个三角尺（NA=30。）按如图所示的位置摆放，直线a〃b,若NABD=20。，则Na

的度数是

8.（2023•威海）某些灯具的设计原理与抛物线有关.如图，从点O照射到抛物线上的光线OA,OB等反

射后都沿着与POQ平行的方向射出.若NAOB=150。，NOBD=9（）。，则/OAC=

1.（2023•香洲区校级一模）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，哪种摆放方式中Na与相等（）

2.（2023•涟源市一模）如图，OA是北偏东30。方向的一条射线,若NBOA=90。，则OB的方位角是（)

A.西北方向B.北偏西30。C.北偏西60。D.西偏北60。

3.（2023•兰溪市模拟）“直角”在几何学习中无处不在，如图图中的NAOB一定是直角的是（）

A.①②B.②③C.①®③D.①②④

J（2024•霍邱县模拟）将一副三角板ADE和ABC（其中NC=30。）按如图所示的方式摆放，一直角顶点

D落在BC上.若AE〃BC,则NBAD的度数是（）

A.72°B.75°C.60°D.65°

5.（2023•凤凰县模拟）如图，直线AB〃CD,ZC=45°,AE1CE,则Nl=

6.（2023•涪城区模拟）如图1,△ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿着BD翻折，使点A落在点

A，处，且AD〃BC,AB交AC于点E（如图2）,又将△BCE沿着AB翻折，使点C落在点C处，若点C恰

好落在BD上（如图3）,且NCEB=75。，则NC=

7.（2023•前郭县二模）如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在直线折叠，得到△BCD,CD与AB交于

点E,若N1=25。，则N2的度数为

8.（2023•本溪二模）如图，正方形ABCD的边长为8,点E在边AD上，且DE=3AE,点F是边AB上

的一动点，连接CF,以CF为斜边在CF的上方作等腰直角△CFG,连接EG,则线段EG的最小俏

为

AED

F

1.（2024•南宁模拟）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，若Nl=70。，则N2的度数是（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

（2024•冠县一模）汽车经过两次拐弯后仍按原来的方向前进，这两次拐弯的方向和角度可能是（）

A.第一次左拐45。,第二次右拐135°

B.第一次左拐45。,第二次左拐135。

C.第一次左拐45。,第二次左拐45。

D.第一次左拐45。,第二次右拐45。

3.（2024•武汉模拟）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直

于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角.如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成NAOB

形状，ZAOB=36°,在OB上有一点E,从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线DC刚

好与0B平行，则NDEB的度数为（）

A.71°B.72°C.54°D.53°

4.（2023•雨山区校级二模）如图，在^ABC中，NACB=90。，AC=BC=4,点D是BC边的中点，点P

是AC边上一个动点，连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最小值是（）

Q

V53

A.—B.IC.D.-

22

5.（2024•南山区一模）将正方体的一种展开图，按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长

为1,则BC=

6.（2024•金平区校级一模）如图，把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠，己知NADB=26。，AE〃BD,

贝|JNBAF=

（2023•柯城区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC

及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标是I,贝广猫”爪尖F的坐标

8.（2023•洞头区二校）图1是一种双层电脑支架实物图，图2是其示意图，B,F,H为固定点，支杠CF,

HG可分别绕着点F,H旋转，点C,G分别在AB,BD上移动.AB=BD=25cm,CF=BF=10cm,HG=16cm,

当支点C与点A的距离为9cm时，则点D到AB的距离为cm,此时，再移动支点G,当点F与点G

重合时，D、E两点的水平距离是垂直距离的两倍，则DH=cm.

1.已知NAOB=60。，自/AOB的顶点0引射线OC,若NAOC：NAOB=1：4,那么NBOC的度数是（）

A.48°B.45°C.48°或75cD.45°或75。

2.如图，某海域中有A,B,C三个小岛，其中A在B的南偏西40。方向，C在B的南偏东35。方向，且B,

A

A.北偏东70。B.北偏东75。C.南偏西70。D.南偏西20。

3.如图，一束光线AB先后经平面镜OM,ON反射后，反射光线CD与AB平行，当/ABM=35。时，ZDCB

的度数是（)

M

BA

N

A.55°B.70°C.60°D.35°

J如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑三台CD平行.若Nl=30。，Z3=15O°,则N2

的度数为()

工作篮刘题

支撑平台宅有“上匕二」

OO

A.60°B.50°C.40°D.30°

5.若Na与NB的两边分别平行，且Na=(2x+10)°,Zp=(3x-20)°,则/a的度数为.

6.如图，m〃n,Zl=110°,Z2=100°,则/3=

工

7.共享单车为市民的绿色出行提供了方便.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意

图，其中AB,CD都与地面1平行，NBCD=a,ZBAC=p,AM〃CB,则NMAC是.（用

含a,0的式子表示）

8.如图1,AB〃CD,E为AB与CD之间的一点，连接BE,过点E作EF_1_BE,与CD相交于点F.

图1图2图3

(1)求证：Z1+Z2-900.

如图2,E为AB上方的一点，其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明;

如果不成立，请写出正确结论并证明.

（3）如图3,E为AB下方的一点，其他条件不变,（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明;

如果不成立，请直接写出正确结论.

三大几何变换

，中考命题预测

平移变换：可能会给出一些简亘的图形，要求考生判断这些图形是否经过平移得到。

考察平移的两大要素：平移的方向和平移的距离。可能会给出i个图形平移前后的位置，要求考生计算平

移的方向和距离。

结合其他知识点，比如结合相似图形、全等图形等，进行综合考查。

旋转变换：可能会要求考生判断一个图形是否经过旋转得到，以及旋转的中心、方向和角度。

考察旋转的性质，比如对应点到旋转中心的距离相等、对应角度相等等。

可能会结合特殊图形（如正方形、等腰直角三角形等）进行旋转变换的考查。

轴对称变换：可能会给出一些图形，要求考生判断这些图形是否是轴对称的，以及找出对称轴。

考察轴对称的性质，比如对应点到对称轴的距离相等、对应线段相等且平行于对称轴等。

可能会结合其他知识点，如相似图形、全等图形等，进行综合考查。

此外，三大几何变换之间也可能会进行交叉考查，比如给出一个图形经过平移和旋转后得到的图形，要求

考生找出原图形等。

总的来说，中考数学对三大几何变换的考杳会比较全面和深入，需要考生掌握这些变换的定义、性质和应

用方法。

思维导图

;‘应试必备

I、图形的平移

一、平移的概念

1、平移的定义：在平面内，把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一•个位置，这种图形的平行移动

简称为平移。

2、平移的两个要素：

（I）平移方向；（2）平移距离。

3、对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重

合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应先。

4、平移方向和距离的确定

（I）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么怎

样确定这两点呢？

A.若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也

有时另给平移距离的长度。

B.若给出由小正方形组成的方格纸：在方格中的平移，从方向上看往往是要求用横纵两次平

移来完成（有特殊要求例外），而移动距离是由最终要达到的位置确定的。

C.具体给出从某点P到另一点P，的方向为平移方向，线段PP'的长度为平移距离。

D.给出具体方位（如向东或者西北等）和移动长度（如10cm）

（2）图形平移后，平移方向与平移距离的确定。图形平移后.原图形与新图形中的任意一对前后对应点的

射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离

二、平移的性质

图形平移的实质足图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。平移后的图形与原图形

①对应线段平行（或在同条一直线上）且相等；

②对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等；

③图形的形状与大小都不变（全等）；

④图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。

三、平移作图

平移作图的步骤:

1.定：根据题目要求，确定平移的方向和距离；

2.找：找出确定图形形状的关键点；

3.移：按平移的方向和距离确定各关键点平移后的对应点；

4.连：按原图顺序依次连接各对应点.

确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离.

II、轴对称与轴对称图形

一、轴对称

把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称,

也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.

1.轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合.成轴对称的两个图形

一定全等；

2.对称轴是一条直线，而不是线段或射线；

3.成轴对称的两个图形的位置固定后，其对称轴只有一条；

4.对称点通常在对称轴的两侧，对称轴上的点的对称点是它本身.

二、轴对称图形

把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就

是对称轴.

常见的轴对称图形如下（）:

图形名称图形表示对称轴含对称轴的图形对称轴的条数

角/角平分线所在的直线二1

等腰三角形（底和

底边上的高所在的直线1

腰不相等）A4

三条边上的而所在的直

等边三角形3

△线

各个对边中点连线所在

矩形（长方形）2

的直线

对角线所在的直线和各

正方形4

□对边中点的连线二E

过圆心的直线（直径所

圆1无数

O在的直线）

三、轴对称与轴对称图形的异同

1.轴对称与轴对称图形的不同点

（1）对象不同：轴对称的对象是两个图形，而轴对称图形的对象是一个图形;

（2）对称点位置不同：轴对称的对称点分别在两个图形上，而轴对称图形的对称点在同一个图形上;

（3）对称轴位置不同：轴对称的对称轴可能在两个图形的外部，也可能在两个图形的内部，或经过两个图

形的公共边（点），而轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部；

（4）对称轴的条数不同：轴对称的对称轴只有一条，而轴对称图形的对称轴可以有多条.

2.轴对称与轴对称图形的相同点

（I）都能沿某条直线折叠后完全重合；

（2）若把成轴对称的两个图形看成一个整体，则它是一个轴对称图形，若把轴对称图形沿对称轴分成两部

分，则这两部分关于这条直线成轴对称.

01、轴对称的性质

一、线段的垂直平分线

1.垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

线段的垂直平分线是一条直线，可向两端无限延伸，线段的垂直平分线有且只有一条.

2.线段的垂直平分线满足的条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段.

二、轴对称的性质

成轴对称的两个图形全等;

2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分;

3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称.

三、画已知图形的轴对称图形

1.找：找出原图形的关键点；

2.作：作出关键点关于对称轲的对称点；

3.连：按原图顺序依次连接相应的对称点；

4.若原图关键点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，且重合.

四、画对称轴

如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平分

画对称轴的步骤：

1.找：找出任意一对对应点；

2.连：连接这对对应点；

3.画：画出对应点所连线段的垂直平分线

IV、图形的旋转

一、旋转的概念

1.旋转的概念：将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转

中心，旋转的角度称为旋转角.

旋转与平移一样，都是图形的基本变换，旋转只改变图形在平面中的位置，不会改变图形的形状和大小，

旋转中心的位置在旋转过程中保持不变.

2.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中

心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某个点：旋转方向有顺时针和逆时针两种.

3.将某个图形绕着旋转中心按某一方向旋转，则这个图形上的每个点同时绕旋转中心按照比方向旋转相同

的角度.

4.旋转形成的条件：一个定点、一个方向、一个角度.

二、旋转的性质

1.旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等：两组对应点分别

与旋转中心连线所成的角相等.

2.确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂

直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.

三、旋转作图

在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定

的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.

作图的步骤：

（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心：

（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；

（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

（4）连接所得到的各对应点.

V、中心对称与中心对称图形

一、中心对称

1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形

关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.

中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△关于点O对称.

A

B'

3.中心对称与轴对称的区别与联系:

中心对称轴对称

有一个对称中心有一条对称轴

区别

图形绕对称中心旋转180°图形沿对称轴翻折

旋转后与另一个图形重合鼠折后与另一个图形重合

联系都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等

二、中心对称的性质

1.中心对称的性质:

中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过

对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形.

2.确定对称中心的方法：

（1）连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心；

（2）连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心

三、中心对称作图

1.连接原图形的关键点与对称中心；

2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称

中心的距离相等;

3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形.

四、中心对称图形

1.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180%如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么

这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

2.中心对称与中心对称图形的区别与联系:

中心对称中心对称图形

针对两个图形针对一个图形

两个图形位置上的关系具有某种性质的一个图形

区别

对称点在两个图形上对称点在一个图形上

对称中心在两个图形之间对称中心在图形上或图形内部

如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图

联系

形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称.

真题回眸

1.（2023•绍兴）在平面直角坐标系中，将点（m,n）先向右平移2个单位，再向上平移I个单位，最后

所得点的坐标是（）

A.（m-2,n-1）B.（m-2,n+1）C.（m+2»n-1）D.（m+2,n+1）

2.（2023•常州）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2,1）,则点P关于y轴对称的点的坐标为（）

A.(-2,-1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(2,I)

3.（2023•广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（)

4.（2023•宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响.下列图形“杨辉三角”“中国七

巧板皿刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）

O

OO

OOO

OOOO

OOOOO

OOOOOO

A.OOOOOOO

5.(2023・无锡)如图,△ABC中,NBAC=55°,将△ABC逆时针旋转a(0°<a<550)，得到△ADE,

DE交AC于F.当a=40。时，点D恰好落在BC上，此时ZAFE等于（）

A

BDC

A.80。B.85。C.90°D.95°

6.（2023•天津）如图，把^ABC以点A为中心逆时针旋转得到^ADE,点B,C的对应点分别是点D,E,

同点E在BC的延长线上,连接BD,则下列结论一定正确的是（）

A.ZCAE=ZBEDB.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

7.（2023•黄石）如图，有一张矩形纸片ABCD.先对折矩形ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,

把纸片展平.再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN,MN.观

察所得的线段，若AE=1,则MN=（）

8.（2023•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB和线段CD的端点均

在小正方形的顶点上.

（1）在方格纸中画出△ABE,且AB=BE,NABE为钝角（点E在小正方形的顶点上）；

（2）在方格纸中将线段CD向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段MN（点C的对

应点是点M,点D的对应点是点N）.连接EN,请直接写出线段EN的长.

:"易错专综

1.（2024•龙湖区校级一模）在平面直角坐标系中，点P（-5,-2）关于y轴对称的点的坐标是（）

A.(-5,2)B.(-2,5)C.(2,-5)D.(5,-2)

2.（2024•越秀区校级一模）如图图形中，既是轴对•称图形又是中心对称图形的是（）

3.（2024•太原一-模）图1是一张菱形纸片ABCD,点E,F是边AB,CD上的点.将该菱形纸片沿EF折

叠得到图2,BC的对应边恰好落在直线AD上.已知NB=6。。，AB=6,则四边形AEFC的周长为（）

BD

B

图1图2

A.24B.21C.15D.12

乙.（2023•越秀区校级一模）如图，有一块长为44m、宽为24m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分

为六块，则分成的六块草坪的总面积是m2.

5.（2023•高新区模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于线段EF与等腰直角△ABC给出如下定义：线段

EF的中点为点M,平移线段EF得到线段EF（点E,F,M的对应点分别为点E-F,Mf）,若线段EF的两

端点同时落在△ABC边上，线段MM，长度的最小值称为线段EF到三角形ABC的“位移”.如图，△ABC为等腰

直角三角形，AB=AC=2,BC在x轴上，点A在y轴正半轴上，线段EF的长为2,线段EF中点M的坐标为

（3,3）.若线段EF到△ABC的“位移”为d,则d的取值范围是

6.（2024•新安县一