2024-2025学年下学期高一数学北师大版同步经典题精练之任意角

第18页（共18页）2024-2025学年下学期高中数学北师大版（2019）高一同步经典题精练之任意角一．选择题（共5小题）1．（2024秋•上城区校级期末）已知点P（sinα，cosα）是第四象限的点，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2024秋•花都区期末）若θ＝2025°，则θ的终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2024秋•织金县期末）﹣1600°的终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2024秋•榆林期末）-55A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角5．（2024秋•哈尔滨校级期末）已知角α＝1370°，则角α的终边落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•喀什市期末）已知α是第四象限角，则α2A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角（多选）7．（2024秋•杜集区校级期末）下列四个选项，正确的有（）A．P（tanα，cosα）在第三象限，则α是第二象限角 B．若三角形的两内角A，B，满足sinAcosB＜0，则此三角形必为钝角三角形 C．sin145°cos（﹣210°）＞0 D．sin3•cos4•tan5＞0（多选）8．（2024秋•辛集市期末）下列说法正确的有（）A．θ为第三象限角的充要条件为sinθtanθ＜0 B．若θ为第二象限角，则θ2为第一或第三象限角C．1-D．sin（﹣1071°）sin99°+sin（﹣171°）sin（﹣261°）＝0（多选）9．（2024秋•江门期末）下列说法正确的是（）A．钝角都是第二象限角 B．第二象限角大于第一象限角 C．终边落在y轴上的角的集合可表示为{αD．若sinx﹣cosx＞0，则x三．填空题（共3小题）10．（2024秋•上海校级期末）已知α是第二象限角，则α2终边在第11．（2024秋•浦东新区校级期末）2024°角的终边在第象限．12．（2024秋•浦东新区校级期末）顶点在平面直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，2025°的角属于第象限．四．解答题（共3小题）13．（2024春•余干县校级月考）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：14．（2023秋•偃师区校级月考）如图，将圆O放在平面直角坐标系中，圆心与原点重合．（1）如何表示图中终边落在射线OB上的角？（2）如何表示终边落在图中阴影区域角φ的范围？（3）对顶区域的角如何表示？15．（2023春•浦北县校级月考）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角α的集合是．

2024-2025学年下学期高中数学北师大版（2019）高一同步经典题精练之任意角参考答案与试题解析题号12345答案BCCCD一．选择题（共5小题）1．（2024秋•上城区校级期末）已知点P（sinα，cosα）是第四象限的点，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】B【分析】先根据点P所在的象限，判断sinα，cosα的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角α终边所在的位置．【解答】解：由题意可知，sinα＞0且cosα＜0．所以角α的终边位于第二象限．故选：B．【点评】本题主要考查象限角，属于基础题．2．（2024秋•花都区期末）若θ＝2025°，则θ的终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算．【解答】解：因为2025°＝5×360°+225°，易知225°的终边在第三象限．故选：C．【点评】本题考查的知识点：象限角的定义，主要考查学生的运算能力，属于基础题．3．（2024秋•织金县期末）﹣1600°的终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】C【分析】根据已知条件，结合象限角的定义，即可求解．【解答】解：﹣1600°＝（﹣5）×360°+200°，故﹣1600°的终边在第三象限．故选：C．【点评】本题主要考查象限角的定义，属于基础题．4．（2024秋•榆林期末）-55A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【考点】象限角、轴线角．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】C【分析】根据终边判断角的象限即可．【解答】解：-55π12-55π12所以-55故选：C．【点评】本题考查终边相同角的判断，属于基础题．5．（2024秋•哈尔滨校级期末）已知角α＝1370°，则角α的终边落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】D【分析】求出α与290°的角终边相同，从而得到答案．【解答】解：因为α＝1370°＝360°×3+290°，又290°是第四象限角，故角α的终边落在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了象限角的判断，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•喀什市期末）已知α是第四象限角，则α2A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【考点】象限角、轴线角．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】BD【分析】根据象限角的性质即可求解．【解答】解：根据题意，α是第四象限角，故2kπ+3π2所以kπ+3π4＜若k是偶数，则α2为第二象限角，若k是奇数，则α则第二象限角，第四象限角符合题意．故选：BD．【点评】本题考查了象限角，属于基础题．（多选）7．（2024秋•杜集区校级期末）下列四个选项，正确的有（）A．P（tanα，cosα）在第三象限，则α是第二象限角 B．若三角形的两内角A，B，满足sinAcosB＜0，则此三角形必为钝角三角形 C．sin145°cos（﹣210°）＞0 D．sin3•cos4•tan5＞0【考点】象限角、轴线角．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】ABD【分析】A．根据P（tanα，cosα）在第三象限，由tanα＜B．根据A，B是三角形的内角，且sinAcosB＜0判断；C．利用诱导公式判断；D．根据3∈【解答】解：A．因为P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0cosα＜0B．因为A，B是三角形的内角，且sinAcosB＜0，sinA＞0，cosB＜0，则B∈(πC．因为sin145°cos（﹣210°）＝﹣sin35°cos150°＜0，故C错误，D．因为3∈(π2，π)，4∈(π，故选：ABD．【点评】本题考查了诱导公式，属于基础题．（多选）8．（2024秋•辛集市期末）下列说法正确的有（）A．θ为第三象限角的充要条件为sinθtanθ＜0 B．若θ为第二象限角，则θ2为第一或第三象限角C．1-D．sin（﹣1071°）sin99°+sin（﹣171°）sin（﹣261°）＝0【考点】象限角、轴线角；三角函数值的符号；运用诱导公式化简求值；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】BCD【分析】利用三角函数角在各象限三角函数值的正负，以及角在各象限范围，诱导公式，同角三角函数基本关系，判断四个选项即可．【解答】解：对于A，当θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，所以sinθtanθ＜0，反之，当sinθtanθ＜0时，则有①当sinθ＜0，tanθ＞0，θ为第三象限角，②当sinθ＞0，tanθ＜0时，θ为第二象限角，故A错误；对于B，若θ为第二象限角，即π2+2kπ＜θ则π4+kπ＜θ＜π2+对于C，1-sin(对于D，sin（﹣1071°）sin99°+sin（﹣171°）sin（﹣261°）＝﹣sin1071°sin99°+sin171°sin261°＝﹣sin（1080°﹣9°）sin（90°+9°）+sin（180°﹣9°）sin（180°+81°）＝sin9°cos9°﹣sin9°sin81°＝sin9°cos9°﹣sin9°cos9°＝0，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查三角函数的诱导公式，同角三角函数基本关系，属于基础题．（多选）9．（2024秋•江门期末）下列说法正确的是（）A．钝角都是第二象限角 B．第二象限角大于第一象限角 C．终边落在y轴上的角的集合可表示为{αD．若sinx﹣cosx＞0，则x【考点】象限角、轴线角；正切函数的图象；任意角的概念；终边相同的角（弧度制）．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．【答案】ACD【分析】直接利用象限角的定义，轴线角的定义，三角不等式的解法判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：钝角都是第二象限角，故A正确；对于B：第二象限角指的是终边落在第二象限的角，第一象限角指的是终边落在第一象限的角，不能比较大小，故B错误；对于C：终边落在y轴上的角的集合为{α|α对于D：若sinx﹣cosx＞0，故2sin(x-π4)整理得：2kπ+π4＜x＜2kπ故选：ACD．【点评】本题考查的知识点：象限角的定义，轴线角的定义，三角不等式的解法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．三．填空题（共3小题）10．（2024秋•上海校级期末）已知α是第二象限角，则α2终边在第一或三【考点】象限角、轴线角．【专题】分类讨论；综合法；三角函数的求值；数学抽象．【答案】一或三．【分析】根据象限角的范围即可求出结果．【解答】解：由题意知π2则π4当k＝2n，n∈Z时，π4此时α2当k＝2n+1，n∈Z时，5π此时α2所以α2故答案为：一或三．【点评】本题主要考查了象限角的判断，属于基础题．11．（2024秋•浦东新区校级期末）2024°角的终边在第三象限．【考点】象限角、轴线角；终边相同的角．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学抽象．【答案】三．【分析】结合终边相同角的表示及象限角的定义即可判断．【解答】解：因为2024°＝5×360°+224°，因为224°为第三象限角，故2024°角的终边在第三象限角．故答案为：三．【点评】本题主要考查了终边相同角的表示及象限角的判断，属于基础题．12．（2024秋•浦东新区校级期末）顶点在平面直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，2025°的角属于第三象限．【考点】象限角、轴线角．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】三．【分析】利用终边相同角的定义即可判断．【解答】解：因为2025°＝5×360°+225°，且225°是第三象限角，所以2025°是第三象限角．故答案为：三．【点评】本题考查了象限角的判断，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024春•余干县校级月考）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：【考点】象限角、轴线角．【专题】集合思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【答案】（1）{α（2）{α【分析】首先找到对应边界的终边表示的角，再写成集合形式．【解答】解：（1）由图可知，边界对应射线所在终边的角分别为2kπ+π4，2kπ终边在阴影部分的角的集合为{α|2kπ+π4＜α≤2（2）边界对应射线所在终边的角分别为2kπ，2kπ+π6，2kπ+π，2kπ∴终边在阴影部分的角的集合为：{α={α【点评】本题考查角的范围的表示方法，考查角度制与弧度制的转化，是基础题．14．（2023秋•偃师区校级月考）如图，将圆O放在平面直角坐标系中，圆心与原点重合．（1）如何表示图中终边落在射线OB上的角？（2）如何表示终边落在图中阴影区域角φ的范围？（3）对顶区域的角如何表示？【考点】象限角、轴线角．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．【答案】答案见解析．【分析】（1）先求∠xOB＝90°+40°＝130°，再写终边落在射线OB上的角；（2）用射线OB，OA上的角可表示；（3）根据对顶区域的对应角相差k•180°（k∈Z）可得到．【解答】解：（1）k•360°+130°，k∈Z．（2）由题图可知k•360°+130°≤φ≤k•360°+180°，k∈Z．（3）对顶区域，先写出在0°～180°范围内始边、终边对应的角，再加上k•180°（k∈Z），即得对顶区域角的范围．【点评】本题考查了用不等式表示区域角，关键是用区域的边界上的角表示，属于基础题．15．（2023春•浦北县校级月考）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角α的集合是{α|﹣50°+k•360°≤α≤40°+k•360°，k∈Z}．【考点】象限角、轴线角．【专题】数形结合；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】{α|﹣50°+k•360°≤α≤40°+k•360°，k∈Z}．【分析】根据终边相同的角的集合得出分别与角40°，﹣50°终边相同的角即可．【解答】解：分别与角40°，﹣50°终边相同的角为40°+k•360°，﹣50°+k•360°（k∈Z）．因此终边落在阴影区域（包括边界）的角的集合是{α|﹣50°+k•360°≤α≤40°+k•360°，k∈Z}．故答案为：{α|﹣50°+k•360°≤α≤40°+k•360°，k∈Z}．【点评】本题考查了终边相同的角的集合，属于基础题．

考点卡片1．任意角的概念【知识点的认识】一、角的有关概念1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ+α（k∈Z）．【解题方法点拨】角的概念注意的问题注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．【命题方向】下列各命题正确的是（）A．终边相同的角一定相等B．第一象限角都是锐角C．锐角都是第一象限角D．小于90度的角都是锐角分析：明确终边相同的角、锐角、第一象限角、小于90°的角的定义，通过举反例排除某些选项，从而选出答案．解：∵30°和390°是终边相同的角，但30°≠390°，故可排除A．第一象限角390°不是锐角，故可排除B．﹣30°是小于90°的角，但它不是锐角，故可排除D．锐角是第一象限角是正确的，故选C．点评：本题考查终边相同的角、锐角、第一象限角、小于90°的角的定义，通过举反例说明某个命题不成立，是一种简单有效的方法．2．终边相同的角【知识点的认识】终边相同的角：k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z}【解题方法点拨】终边相同的角的应用（1）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．【命题方向】下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．﹣30°C．630°D．﹣630°分析：直接利用终边相同的角判断即可．解：因为330°的终边与﹣30°的终边相同，所以B满足题意．故选B．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，考查基本知识的熟练程度．3．终边相同的角（弧度制）【知识点的认识】终边相同的角：2kπ+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是2π的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．【解题方法点拨】利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和．﹣利用终边相同的角的性质，设定角度θ和θ+2πk（其中﹣确定具体问题中角度的表达形式，求解相关角度值．【命题方向】常见题型包括弧度制下终边相同的角的计算，结合具体问题求解相关角度值．在[0，2π）上与-11π6解：∵与-11π6终边相同的角是2kπ-11π∴令k＝1，可得在[0，2π）上与-11π6故答案为：π64．象限角、轴线角【知识点的认识】在直角坐标系内讨论角（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}．【解题方法点拨】（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．（2）角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．（3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．【命题方向】已知α是第二象限角，那么α2A．第一象限角B．第二象限角C．第二或第四象限角D．第一或第三象限角分析：用不等式表示α是第二象限角，将不等式两边同时除以2，即得α2的取值范围（用不等式表示的），分别讨论当k取偶数、奇数时，α解：∵α是第二象限角，∴2kπ+π2＜α＜2kπ+π，k∴kπ+π4＜α2＜kπ当k取偶数（如0）时，α2是第一象限角，当k取奇数（如1）时，α故选D．点评：本题考查象限角的表示方式，利用了不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．5．三角函数值的符号【知识点的认识】三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．6．运用诱导公式化简求值【知识点的认识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．7．正切函数的图象【知识