小学奥数之几何五大模型

一、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等;

其它常见的面积相等的情况

⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。

如上图&I?=a:b

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图=S,\BCD；

反之，如果S,sm=S“D，则可知直线平行于CDo

⑷正方形的面积等于对流线长度平方的一半；

<5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角二角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图，在AABC中，。,七分别是上的点（如图I）或。在84的延长线上，E在AC上（如

图2），则%

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:

①百：52=54：身或者S|XS3=S2

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不

规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例

关系。

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）

①55=/：//

22

②S[:S5:S2:S4=a:b:ab:ab；

③梯形S的对应份数为（〃+/，『。

2

四、相似模型

相似三角形性质:

金字塔模型沙漏模型

石、ADAEDEAF

①---=---=---=---

ABACBCAG

②S2DE：SAABC二人尸~:AG~。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它

们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型

S—:SziAg=：Sd匕5=BE:EC

S^BGA：S"BGC=S^AGF：S△尸GC=A"：FC

S&4GC：S&8CG=S^ADC：S&/XJB=A。：DB

典型例题精讲

例1，一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是

二一，21平方厘米。问：长方形的面积是平方厘米。

例1图

Q⑹专

如图，将三角形A3c的A4边延长1倍到。，3c边延长2倍到E,CA边延长3倍到几如果三角

ABC的面积等于1,那么三角形。£7"勺面积是o

例3图

例4如图，在△A8C中，已知例、N分别在边AC、8c上，8/W与AN相交于O,若△AOM、△A8O和

.'△80N的面积分别是3、2、1,则△MNC的面积是。

例4图

如图，四边形EFG”的面积是66平方米，EA=AB,CB=BF,DC=CG,HD=DA,求四边形A8CQ

©的面积。

例5图

例6如石图长方形ABCD中，EF=16,尸=9,求4G的长。

【铺垫】图中四边形ABC7）是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知

这个三角形在A8上截得的E尸长度为4cm,那么三角形GQC的面积是多少？

6

例7如图，长方形A8CQ中，E为AQ中点，AF与BE、BD分别I交于G?H,已知人”=5cm,〃尸=3cm,

求AG。

例8J如右图，三角形A8C中，BD：DC=4：9,CE：EA=4：3,求4/：尸8。

例8图

如右图，/XABC中，G是AC的中点，。、E、F是4c边上的四等分点，AD与BG交于M,人产与

8G交于N,已知△A8M的面积比四边形尸CGN的面积大7.2平方厘米，则△A8C的面积是多少平

©方厘米？

例9图

如图，在正方形ABCD中，E、尸分别在BC与CO上，且CE=2BE,CF=2