《管理统计学》课件-6 第六章 概率及其分布

第六章

概率及其分布1案例导入2案例导入3由上表，有50.57%的人口集中在20-49岁这一年龄区间内，而在20岁以下，49岁以上人口所占比例分别为24.11%和25.31%，显然，年龄分布呈现两头小中间大的趋势，这样的分布是什么分布？它还有哪些特点？学习这样的分布给我们实际生活带来哪些不同?通过本章的学习，我们将走进概率分布的世界。进一步感受正态分布，二项分布，泊松分布的魅力所在。学习目标4本章要掌握:数据与概率的关系;从概率分布上把握统计的特点;正态分布及其概率计算方法（学习的重点)。6.1事件与概率6.1.1什么是概率？概率的定义概率是衡量某一特定事件的机会或可能性的数量指标。概率的大小与事件有关。在自然界和社会经济中发生的事件通常是随机事件。在管理决策中经常遇到的是随机现象，要解决的通常是随机事件问题。在管理中我们会遇到许多不确定性的决策。例如，提高产品价格可能会导致销售量下降，但我们想知道这种可能性(“机会”)到底有多大？又例如，新投资赢利的“几率”有多大？等等。解决这些不确定性问题的基本前提是要掌握概率知识。56.1事件与概率6.1.1什么是概率？概率的定义概率是衡量某一特定事件的机会或可能性的数量指标。概率的大小与事件有关。在自然界和社会经济中发生的事件通常是随机事件。在管理决策中经常遇到的是随机现象，要解决的通常是随机事件问题。在管理中我们会遇到许多不确定性的决策。例如，提高产品价格可能会导致销售量下降，但我们想知道这种可能性(“机会”)到底有多大？又例如，新投资赢利的“几率”有多大？等等。解决这些不确定性问题的基本前提是要掌握概率知识。76.1事件与概率6.1.2概率的统计定义举例:历史上曾有数学家们记录抛掷硬币的情况，观察硬币出现正面朝上次数的试验数据。当抛掷硬币4040次时，正面向上次数为2048，其频率是0.5069。当抛掷硬币的试验次数分别增加到12000次和24000次时，其频率分别为0.5016和0.5005，趋近于0.5。概率的统计定义于是，我们对概率的统计定义表述如下：在相同条件下，重复做n次试验，事件A出现了m次，当n很大时，频率m/n稳定在某个数值p的附近，当n趋近于∞时，频率m/n趋近于p值，则称p为事件A的概率，记为P（A）=p。86.2概率分布6.2.1数据波动与统计规律如何观察数据波动的规律性？我们可以通过进一步了解数据的变异性特征来理解数据波动与概率的统计意义之间的关系。在一次试验中，试验数据之间的差别就是数据的变异性。同一规格的两个零件在加工尺寸、性能上毫无偏差是不可能的。数据的变异性是普遍存在的。例如，一个生产电发火管产品的工厂，为了检验合格率，共收集了10个班次100个爆破压力的试验数据:下表:表示电发火管产品爆破压力值的频数分布情况。96.2概率分布6.2.1数据波动与统计规律组界频率%累积75.05-78.0522.00%78.05-81.0535.00%81.05-84.05813.00%84.05-87.051831.00%87.05-90.053061.00%90.05-93.052384.00%93.05-96.051296.00%96.05-99.05399.00%99.05-102.051100.00%合计100——6.2概率分布6.2.1数据波动与统计规律依据频数分布情况进行的统计分析如下：（1）电发火管的爆破压力值最大不超过102.05，最小不低于75.05；（2）有约30%集中在87—90之间；（3）有约70%大于84并小于93；（4）小于84的约占13%，大于93的约占16%。频数分布只是概率分布的具体表现形式，要了解概率分布的一般规律，要从数学原理角度寻找概率分布曲线。6.2概率分布6.2.2概率分布频率分布与概率分布是怎样的关系呢？把产品质量频率分布的抽样误差和测量误差排除后，就转化为概率分布曲线，其分布就能完全反映产品质量的波动规律。该曲线称为分布密度曲线。概率分布是一种数学模型，它反映变量取值与其发生的概率之间的关系。其特点是：变量取值的精确度越高，相应的概率越小；变量取值的误差越大，相应的概率也越大。概率分布可以分为两种类型：离散型分布和连续型分布。正态分布是最常见的、应用最广泛的一种分布。当产品质量受到众多因素影响，但无哪个因素起主要作用，质量特征值的变异分布，一般都属于正态分布。概率分布与直方图的关系是：概率分布所描述的是总体特征值的分布；而直方图所描述的是样本特征值的分布。6.3正态分布6.3.1正态分布的特点（1）在均值的概率密度最大。（2）对称性。（3）数学模式式中：X为随机变量，理论取值范围为-∞<X<∞。e自然对数底2.7183。π为圆周率3.1416。σ总体标准差。μ总体均值。6.3正态分布6.3.1正态分布的特点（4）两个重要参数µ和σ。参数不同分布也不同。如图所示:

见分布1和分布2；见分布１和分布３。（5）曲线对横轴是渐近的，区间与概率的关系（常用结论）(t—概率度)6.3

正态分布6.3.1正态分布的特点总体落在总体平均数1倍标准差周围的概率为68.26%。即当t=1时，则有

总体落在总体平均数2倍标准差周围的概率为95.45%。即当t=2时，则有

总体落在总体平均数3倍标准差周围的概率为99.73%。即当t=3时，则有

6.3

正态分布6.3.1正态分布的特点总体落在总体平均数1倍标准差周围的概率为68.26%。即当t=1时，则有

总体落在总体平均数2倍标准差周围的概率为95.45%。即当t=2时，则有

总体落在总体平均数3倍标准差周围的概率为99.73%。即当t=3时，则有

6.3

正态分布6.3.2标准正态分布标准正态分布是对变量X进行标准化处理的结果，即计算如下统计量变量Z服从均值为0和标准差为1的标准正态分布，记作Z～N（0，1），其标准正态分布的密度函数可表示为当给定C，求时，求所对应的统计量Z的概率计算公式为或6.3正态分布

6.3.2标准正态分布当Z取值范围为1，2，3时，由图６-4可知，标准正态分布下的概率分别为：6.3正态分布

6.3.3概率的计算方法在应用中，当给定C，求时，所对应的统计量Z的概率计算公式为查《标准正态分布表》（本书附录２表３），找到的概率。6.3正态分布

6.3.3概率的计算方法例题:已知均值为89，标准差为4.6，求的概率。解：从图６-６确定的位置。6.4二项分布和泊松分布

6.4.1二项分布二项分布主要用来描述只可能出现两种结果的事件的分布。这两种结果分别用“是”和“非”来区别。“是”与“非”出现的概率的情况，可通过以下例子说明。例如，产品总数有N个，不合格品为“是”，记为“1”，有个，合格品为“非”，记为“0”，有个。不合格率记为p，则有，合格率记为q，则有。的展开式等于1。n为重复检验的次数，x为产品是不合格品出现的次数。对产品检验n次，出现x次不合格品的概率为（x=1，2，…n）式中，表示n个产品取x个不合格品的组合数。6.4二项分布和泊松分布

6.4.1二项分布例题:已知产品合格率为0.9，对产品检验100次，出现2次不合格品的概率。

解:二项分布的均值为标准差为由于概率P的取值不同，二项分布的形状有差异。当P=0.25时，均值偏向中心值以下的小值一方；当P=0.5时，均值处于中心位置；当P=0.75时，均值偏向中心值以上的大值一方。所以，二项分布图形随着不合格率P的变化而变化，当P=0.5时基本对称。6.4二项分布和泊松分布

6.4.1二项分布由于概率P的取值不同，二项分布的形状有差异。当P=0.25时，均值偏向中心值以下的小值一方；当P=0.5时，均值处于中心位置；当P=0.75时，均值偏向中心值以上的大值一方。所以，二项分布图形随着不合格率P的变化而变化，当P=0.5时基本对称。二项分布与正态分布之间存在如下关系：当n充分大时，二项分布直线顶部的连线图形趋于对称，近似于正态分布。

6.4二项分布和泊松分布

6.4.1二项分布二项分布的累积概率：在一批产品中，当不合格品超过c时，则拒绝接收。因此，接收的概率

（x=1、2、3、…、c）例题:在一批不合格品率P=0.05的精密铸件中（P是长期统计的稳定值），按规定每一工作班，抽取5件，被抽的5件铸件中不允许有不合格品才可接受，否则，需分析原因。试计算，这种情况下，铸件被接收的概率，并查表验证。解：求在抽出的5次检验中，不出现不合格品的概率。查表结果完全一样。6.4二项分布和泊松分布6.4.2泊松分布泊松分布是描述主要稀有事件发生的分布。例如，在单位时间内电话交换台收到电话呼叫的次数、来到公共汽车站的乘客人数、布上的疵点等，也称为计点分布或疵点分布。泊松分布在取值范围上，只取正整数和零（x=0、1，2，3，…），在疵点x处的概率为：（x=0、1，2，3，…）泊松分布的均值和标准差为：

式中，λ常用样本的缺陷数的平均值估计。6.4二项分布和泊松分布6.4.2泊松分布泊松分布与二项分布的关系：可以证明，当P很小（小于0.1），n较大（大于总体0.1），可用泊松分布作为二项分布的近似。泊松分布与正态分布的关系：当n充分大时，泊松分布在每一点上的概率线条顶点的连线图形趋于对称，近似于正态分布。泊松分布的累积概率：已知P和n，则有np=λ。不合格品x少于c的概率为在实际应用中，通常用估计，即令。6.4二项分布和泊松分布6.4.2泊松分布例题:已知产品不合格品率，样本数，合格判定数，由二项分布和泊松分布求出结果。解：（1）二项分布（2）泊松分布

（3）结果：泊松分布计算出的概率较小

本章小结统计数据都具有随机性，并服从某种概率分布。概率论是统计学的数理基础，概率的正态分布、二项分布和泊松分布及其均值和标准差特征值是统计方法应用的理论依据。本章练习:1、在正态分析下，已知均值为