江西省南昌市部分校联考2024-2025学年 七年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

2024—2025学年度七年级下学期阶段评估（一）数学（下册第七章）说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间120分钟．一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，错选、多选或未选均不得分）1.第12届世界运动会将于年8月在四川成都举行，其会徽灵感源于熊猫、芙蓉花、中国结，传达奥林匹克精神，凸显中国与成都特色及价值观．以下会徽能通过如图平移得到是（）A. B. C. D.2.如图，在下列选项条件中，不能判断的是（）A. B.C. D.3.下列命题是真命题的是（）A.同位角相等 B.相等的角是对顶角C.互为相反数的两个数的绝对值相等 D.过一点有且仅有一条直线与已知直线平行4.如图，直线，相交于点E，且平分，过点作，若，则的度数为（）A. B. C. D.5.如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从人口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（）A.62米 B.82米 C.88米 D.102米6.小明将2块含的直角三角板按如图所示的方式放置，使其中一块的长直角边与另一块的短直角边重合，以下结论：①；②；③平分．其中正确的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是______．8.在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为________．9.如图，在三角形中，P为上一动点，连接，的长大于或等于5，则点B到的距离是________．10.如图，，是上一点，，，则的度数为________．11.光线从空气射入水中会发生折射现象，如图1所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验．通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图3是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，若，，则________．12.如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯，，现激光绕点P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当∥时，t的值为__________________．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）如图，，．求证：．（2）如图，直线，点G，E分别在直线，上，平分且交于点F，若，求的度数．14如图，直线，相交于点，平分，平分．（1）与有何位置关系？请说明理由．（2）若，求的度数．15.如图，，．（1）求证：．（2）若平分，，求的度数．16.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写做法）．（1）在图1中，过点C作直线．（2）在图2中，画出将三角形先向下平移3格，再向右平移5格后得到的三角形（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为）．17.仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图是示意图，已知，，．（1）求的度数．（2）若，求度数．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，，，是上一点且平分．（1）请判断与的位置关系，并说明理由．（2）若，，求度数．19.如图，在四边形中，，延长至点E，使，连接，过点E作垂直且交的延长线于点F．（1）求证：平分．（2）若，，则与是否平行？请判断并说明理由．20.如图，这是一款手推车的平面示意图，其中．（1）若，，求的度数．（2）写出，，之间的数量关系，并说明理由．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.【追本溯源】前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”．类似地，你能由性质1（两直线平行，同位角相等）推出两条平行线被第三条直线所截得到的内错角之间的关系吗？请给出该定理的证明过程．（1）如图1，直线，直线c截线．求证：．【方法应用】（2）如图2，已知三角形，过点A作直线．求证：．【拓展应用】（3）如图3，直线与直线相交于点O，平分，平分且交直线于点G，若，请利用（2）中的结论，求的度数．22.如图，在三角形中，，，将此三角形向右平移得到三角形，此时边与边相交于点D，连接．（1）若，试求和的度数．（2）若落在边的中点处，且，求四边形的面积．（3）已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形的位置后，点P的对应点为点，连接．若三角形的周长为a，四边形的周长为，求的长度．六、解答题（本大题共12分）23.【综合实践】——折纸中的数学某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，P是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点P作的平行线的基本步骤如下．第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为Q，打开纸张铺平．第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）．（1）根据上述步骤可知，与的位置关系是________．【联系拓广】（2）①如图4，设直线与正方形上，下两边分别交于点M，N，试探究与的数量关系，并说明理由；②若，求的度数．【类别迁移】（3）如图5，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，G，E，在同一直线上．求证：．

2024—2025学年度七年级下学期阶段评估（一）数学（下册第七章）说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间120分钟．一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，错选、多选或未选均不得分）1.第12届世界运动会将于年8月在四川成都举行，其会徽灵感源于熊猫、芙蓉花、中国结，传达奥林匹克精神，凸显中国与成都特色及价值观．以下会徽能通过如图平移得到的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平移的定义，熟练掌握平移的概念是解题的关键，根据平移的定义即可得到答案．【详解】解：∵平移不改变图形的大小和方向，只改变图形的位置，∴A、B、D均不符合题意，故选：C．2.如图，在下列选项条件中，不能判断的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．【详解】解：A、∵，∴(内错角相等，两直线平行)，不符合题意；B、∵，∴(内错角相等，两直线平行)，不符合题意；C、∵，∴(同旁内角互补，两直线平行)，符合题意；D、∵，∴(同旁内角互补，两直线平行)，不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握判定定理．3.下列命题是真命题的是（）A.同位角相等 B.相等的角是对顶角C.互为相反数的两个数的绝对值相等 D.过一点有且仅有一条直线与已知直线平行【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质、垂直的定义、对顶角的概念、相反数的性质判断即可．本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；B、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意；C、互为相反数的两个数的绝对值相等，是真命题，符合题意；D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；故选：C．4.如图，直线，相交于点E，且平分，过点作，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的定义，求得，再由对顶角的性质可知，最后利用两直线平行，同旁内角互补即可得到的度数．【详解】解：平分，，，，，，．故选：A．5.如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从人口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（）A.62米 B.82米 C.88米 D.102米【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键．根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可．【详解】解：∵利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，又∵长米，宽米，∴小明沿着小路的中间出口到出口所走的路线（图中虚线）长为米，故选：B．6.小明将2块含的直角三角板按如图所示的方式放置，使其中一块的长直角边与另一块的短直角边重合，以下结论：①；②；③平分．其中正确的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．根据平行线的判定与性质即可判断①②，由三角形内角和定理求出，即可判断③．【详解】解：如图：由题意得，，∴，故①正确，符合题意；∵，∴，∴与不垂直，故②错误，不符合题意；∵，，∴，∴平分，故③正确，符合题意，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是______．【答案】同旁内角互补【解析】【分析】根据命题的概念解答即可．【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，故答案为：同旁内角互补．【点睛】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，即条件，“那么”后面解的部分是结论．8.在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为________．【答案】105【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解．【详解】解：如图所示，依题意，，，，．故答案为：105．9.如图，在三角形中，P为上一动点，连接，的长大于或等于5，则点B到的距离是________．【答案】5【解析】【分析】本题考查点到直线的距离的概念（直线外一点到这条直线的垂线段的长度），垂线的性质（垂线段最短），解题的关键是牢固掌握并灵活应用相关定义及性质．根据点到直线的距离的定义确定为垂线段的长度，结合垂线段最短，即可得到答案．【详解】解：点B到的距离为垂线段的长度，∵，当时，长度最短，此时即为点B到的距离，此时，∴点B到的距离为5；故答案为：5．10.如图，，是上一点，，，则的度数为________．【答案】##10度【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行线，同位角相等可知，然后就根据角的和差即可得到答案．【详解】解：，，，，．故答案为：．11.光线从空气射入水中会发生折射现象，如图1所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验．通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图3是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，若，，则________．【答案】【解析】【分析】本题考查了对顶角，角和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等得到，再由．【详解】解：由题意得，，∴，故答案为：．12.如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯，，现激光绕点P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当∥时，t的值为__________________．【答案】12或48或84【解析】【分析】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，根据时，分类讨论角度之间的关系列方程是解此题的关键．根据题意分情况讨论，然后分别利用平行线的性质列方程求解即可．【详解】解：设旋转时间为t秒后，，如图1，∴，，解得：．如图2，由图得：解得：如图3，∴解得：如图4，∴解得：(舍去）综上所述：12或48或84故答案为：12或48或84．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）如图，，．求证：．（2）如图，直线，点G，E分别在直线，上，平分且交于点F，若，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】此题考查了平行线的判定和性质、三角形内角和定理和角平分线等知识，熟练掌握角平分线的性质是关键．（1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到，由角平分线得到，由三角形内角和定理即可得到答案．【详解】（1）证明：∵，∴∵∴，∴．（2）∵直线，，∴，∵平分∴，∴14.如图，直线，相交于点，平分，平分．（1）与有何位置关系？请说明理由．（2）若，求的度数．【答案】（1），理由见详解（2）【解析】【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义，对顶角相等是关键．（1）根据角平分线的定义得到，由此即可求解；（2）根据角平分线的定义得到，再根据对顶角相等即可求解．【小问1详解】解：与的位置关系是，理由如下，∵，平分，平分，∴，∴，∴；小问2详解】解：∵平分，∴，∵，∴．15.如图，，．（1）求证：．（2）若平分，，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．（1）先由平行线的性质得，再根据，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论．（2）先由平行线的性质求得，再由角平分线的定义得出，然后根据平行线的性质求解即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴．【小问2详解】解：由（1）知，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．16.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写做法）．（1）在图1中，过点C作直线．（2）在图2中，画出将三角形先向下平移3格，再向右平移5格后得到的三角形（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为）．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查网格作图，图形的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键，（1）由题得到点到点的平移规律，将点按照点到点的平移规律得到点，连接，即可得到答案；（2）将三角形中的点、、根据题中给的平移规律，得到、、，依次连接、、，即可得到三角形，【小问1详解】解：从点到点，向右平移1个单位，再向下平移2个单位，∴将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点，连接，∴．如下图：【小问2详解】解：将三角形中的点、、先向下平移3格，再向右平移5格后得到、、，依次连接、、，即可得到三角形，如图所示：17.仰卧起坐是中考选考项目，是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动．如图，这是小玲同学做仰卧起坐时的一个状态，图是示意图，已知，，．（1）求的度数．（2）若，求的度数．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质和三角形外角的性质找到角之间的关系．因为，根据两直线平行，同位角相等，可得：，又因为，再次利用两直线平行，同位角相等，可得：；根据三角形的外角的性质可知，从而可得．【小问1详解】解：，，，，；【小问2详解】解：在中，，，，．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.如图，，，是上一点且平分．（1）请判断与的位置关系，并说明理由．（2）若，，求的度数．【答案】（1），理由见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．（1）根据角平分线的性质可得，根据内错角相等两直线平行即可证明；（2）根据同位角相等两直线平行得，再根据两直线平行同旁内角互补即可解答．【小问1详解】解：，理由如下，∵，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴．【小问2详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．19.如图，在四边形中，，延长至点E，使，连接，过点E作垂直且交的延长线于点F．（1）求证：平分．（2）若，，则与是否平行？请判断并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2），理由见解析【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、垂直等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．（1）先根据平行线的性质可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的定义即可得证；（2）先根据平行线的性质可得，再求出，然后根据角平分线的定义可得，，从而可得，最后根据平行线的判定即可得．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴平分．【小问2详解】解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由（1）已证：平分，∴，，又∵，∴，∴，∴．20.如图，这是一款手推车的平面示意图，其中．（1）若，，求度数．（2）写出，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）（2），理由见解析【解析】【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得；（2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得．【小问1详解】解：如图，过点作，∴，∵，，∴，∴，∴．【小问2详解】解：，理由如下：如图，过点作，∴，∵，，∴，∴，∴．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.【追本溯源】前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”．类似地，你能由性质1（两直线平行，同位角相等）推出两条平行线被第三条直线所截得到的内错角之间的关系吗？请给出该定理的证明过程．（1）如图1，直线，直线c是截线．求证：．【方法应用】（2）如图2，已知三角形，过点A作直线．求证：．拓展应用】（3）如图3，直线与直线相交于点O，平分，平分且交直线于点G，若，请利用（2）中的结论，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是牢固掌握并灵活应用相关性质定理．（1）根据平行线性质（两直线平行，同位角相等）可得，结合对顶角相等，即可得出结论．（2）根据平行线性质（两直线平行，内错角相等）可得，由于直线上角和为，即，等量代换即可得到结论．（3）根据角平分线定义，可知，，利用直线、上角和分别为及、内角和分别为，进行推导即可求得最后结果．【详解】（1）证明：∵（已知）∴（两直线平行，同位角相等）∵（对顶角相等）∴（等量代换）（2）证明：∵（已知）∴（两直线平行，内错角相等）∵直线上角和为，即∴（等量代换）（3）解：∵平分，平分∴，∵，即，则，则在中，，，即则在中，则22.如图，在三角形中，，，将此三角形向右平移得到三角形，此时边与边相交于点D，连接．（1）若，试求和的度数．（2）若落在边的中点处，且，求四边形的面积．（3）已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形的位置后，点P的对应点为点，连接．若三角形的周长为a，四边形的周长为，求的长度．【答案】