新高考数学二轮复习 专题05 解析几何 解答题 巩固练习三（教师版）

专题05解析几何解答题巩固练习三1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B分别是C的右、上顶点，且，D是C上一点，周长的最大值为8.(1)求C的方程；(2)C的弦过，直线，分别交直线于M，N两点，P是线段的中点，证明：以为直径的圆过定点.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】1）依题意，，周长，当且仅当三点共线时等号成立，故，

所以，所以的方程；（2）设，直线，代入，整理得，，，易知，令，得，同得，从而中点，以为直径的圆为，由对称性可知，定点必在轴上，令得，，，所以，即，因为，所以，即，解得，所以圆过定点.

2．（2023·广东梅州·统考三模）已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.(1)求双曲线的方程.(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，【解析】（1）设，所以，，，因为点在线段上，且满足，所以点，因为直线的斜率为1，所以，所以，因为，所以，解得，，.所以双曲线的方程为.（2）假设在轴上存在与不同的定点，使得恒成立，

当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有；当直线l的斜率存在且不为0时，设，直线l的方程为，直线与双曲线的右支相交于，两点，则且，设，，由，得，，，所以，，因为，即，所以平分，，有，即，得，所以，由，解得.综上所述，存在与不同的定点，使得恒成立，且.3.（2023·广东佛山·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，为线段上异于的一动点，点满足.(1)求点的轨迹的方程；(2)点是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值.【答案】(1)；(2)【解析】（1），，，，点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆方程为，则，，，点的轨迹的方程为：.（2）连接，延长交椭圆于点，连接，

由椭圆对称性可知：，又，四边形为平行四边形，，，且三点共线四边形的面积，设直线，，由得：，，，，又，点到直线的距离即为点到直线的距离，点到直线的距离，，设，则，，，又，当，即时，四边形面积取得最大值，最大值为.4．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆过点，且左焦点为．(1)求椭圆的方程；(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，证明：面积为定值，并求出该定值．【答案】(1)(2)证明见解析，定值为【解析】（1）由题意得，解得，所以椭圆C的方程为．（2）设点的坐标分别为，，．由题设知，，，均不为零，记，则且，又四点共线，从而，于是，，，从而①，②，又点在椭圆上，即③，④，①＋②×2并结合③、④得，即点总在定直线上．∴所在直线为上．由消去y得，，设，则，于是，又到的距离，∴∴面积定值为．

5．（2023·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为点、，的内切圆与直线相切于点，所以，因此根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，设点的轨迹C的方程为，焦距为，所以，，所以，，，所以点的轨迹方程C为（2）由题意，直线的斜率互为相反数，记，则，，，，，设，则直线，.联立直线和双曲线方程，整理