浙江省杭州市西湖区J12共同体2023-2024学年初二下期中考初中数学试卷（含答案）

浙江省杭州市西湖区J12共同体2023-2024学年初二下期中考初中数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题：（本题有10小题，每题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的．不选、多选或错选均不得分．）1．下列图案是我国传统文化中的“福禄寿喜”图，其中中心对称图形是（）A． B．C． D．2．二次根式a−1中，字母a的取值范围是（）A．a<1 B．a≤1 C．a≥1 D．a>13．若方程x2+2x−k=0有实数根，则A．−2 B．−2 C．−1 D．4．一家鞋店在一段时间内销售了某种运动鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示：鞋的尺码(2323.52424.52525.526销售量(双)12511731若每双鞋的销售利润相同，下列统计量中店主最关注的是()A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数5．下列计算正确的是（）A．3+2=C．2−52=2−6．一元二次方程x2−4x+m=0可以通过配方转化为x−p2A．−1 B．1 C．5 D．97．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(−1,−2)，D(1,1)，C(5,2)，则顶点B的坐标为（）A．(−1,3) B．(4,−1) C．(3,−1) D．(3,−2)8．下列说法正确的是（）A．一组数据x1,x2,x3,...xB．已知一组数据的方差计算公式为s2C．方差反映的是一组数据的波动大小，方差的值一定是正数D．数据1，2，2，4，4，6的众数是49．已知关于x的一元二次方程a+cxA．1可能是方程ax2B．0一定不是方程ax2C．−1不可能是方程ax2D．1和−1都是方程ax210．已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为60°，M，N是平行四边形边上的两点，且MN将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段MN的长度取值范围是（）A．3≤MN≤15 B．32≤MN≤15 二、填空题：（本题有6小题，每题3分，共18分．）11．当x＝2时，二次根式6−x的值是.12．若关于x的一元二次方程x2+px−2=0的一个根为x=2，则p的值为13．若正n边形的每一个内角为144°，则n=．14．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步?若设宽为x步，则根据题意可列方程为．15．已知5个正数a1，a2，a3，a4，a16．如图，▱ABCD中，∠B=45°，AB=22，BC=6，点E为AB边上的中点，F，G为边AD上的两个动点，且FG=1，则五边形BCGFE三、解答题：（本题有8小题，共72分）17．计算：（1）12÷3−13×27； 18．解方程：（1）x2−4x+3=0； （2）19．某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表：本数（本）01234≥5人数（人）1921720（1）全班同学暑假读数学课外书本数的众数是，中位数是；（2）求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差．20．2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型．某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出400件．（1）求十一、十二这两个月的月平均增长率．（2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？21．如图，在▱ABCD中，M，N是对角线BD的三等分点．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）若AM⊥BD，AD=13，BD=18，求CD的长．22．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式x2−2x+3，由于x2−2x+3=x−12+2，所以当x−1=0时，多项式x2−2x+3有最小值；多项式−x2−2x+3，由于−x2−2x+3=−x+1（1）多项式x2+6x+5关于x=（2）若关于x的多项式x2−2ax+4关于x=4对称，则a=（3）关于x的多项式x2+ax+c关于x=−1对称，且最小值为3，求方程

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【分析】中心对称图形指把一个图形绕着某一个点旋转180°后能够完全重合的图形，这个点就是它的对称中心．2．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得，a−1≥0，解得a≥1．故选：C．【分析】由二次根式的被开方数为非负数可列出不等式，再解不等式即可．3．【答案】C【解析】【解答】解：∵方程x2∴Δ解得k≥−1ABCD四个选项，只有C选项符合k≥−1故答案为：C【分析】当一元二次方程根的判别式△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根，根据题意应该列不等式△≥0．4．【答案】D【解析】【解答】解：若每双鞋的销售利润相同，为销售额考虑，应该关注卖出最多的鞋子的尺码，

即店主最关注的是众数.故答案为：D.【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合实际情况即可判断得出答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：A.3+B.9=3C.2−5D.2÷故答案为：D．【分析】二次根式进行加减运算时，必须先化为最简二次根式，当最简二次根式的被开方数相同时才可以合并，方法类似于合并同类项；二次根式的乘除法运算要按照法则进行，即被开方数的积（商）等于积（商）的被开方数；另由于二次根式具有双重非负性，即a≥06．【答案】A【解析】【解答】解：x∴x2即x−22∴4−m=5，解得：m=−1．故答案为：A【分析】当一元二次方程的二次项系数为1时，常考虑使用配方法求解，而配方法解一元二次方程的一般步骤是，先把常数项移到等号的右边，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，再直接开方．7．【答案】C【解析】【解答】解：设点B(x,y)，∵四边形ABCD是平行四边形，点A(−1,−2)，点D(1,1)，点C(5,2)，∴x+12=∴x=3，y=−1，∴点B(3,−1)，故答案为：C．【分析】由于平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点，因此可先利用中点公式求出A、C两点的对称中心，则B点坐标可求.8．【答案】A【解析】【解答】解：A．一组数据x1,x2,x3,...xnB．设平均数为a，则方差为s===1∵s∴5a∴a=±2，故本选项错误，不符合题意；C．方差反映的是一组数据的波动大小，方差的值一定是非负数，故本选项错误，不符合题意；D．数据1，2，2，4，4，6的众数是4和2，故本选项错误，不符合题意；故答案为：A【分析】平均数是指一组数据中所有数据的和除以数据的个数，反映数据集中趋势的核心指标；方差是指数据值与平均数的离差平方的平均数，衡量数据的离散程度，特点是方差值越大，数据波动性越强；众数是指一组数据中出现次数最多的数据，有可能是一个，也可能是多个，反映出数据分布的“最频繁值”.9．【答案】C【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程a+cx∴2b2−4∴b=a+c或b=−a−c，∴a−b+c=0或a+b+c=0，当x=1时，a+b+c=0，当x=−1时，a−b+c=0，此时a+c=0，∴1就是方程ax2−1不是方程ax2把x=0代入ax2+bx+c=0即0可能是方程ax2故答案为：C【分析】由于关于x的一元二次方程a+cx2+2bx+a+c=0有两个相等的实数根，则a+c≠0且△=0，可得出了a−b+c=010．【答案】C【解析】【解答】解：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°,AD=3,AB=2，根据题意得：当MN和CD边垂直时，MN最小，过点A作AE⊥BC于点N，则MN=AE，∴∠BAE=30°，∴BE=1∴AE=A∴MN=3当MN与对角线BD重合时，MN最大，过点D作DF⊥BC交BC于点F，则DF=AE=∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,BC=AD=3,CD=AB=2，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=1∴BF=BC+CF=4，∴BD=B综上所述，线段MN的长度取值范围为3≤MN≤故答案为：C【分析】由于平行四边形是中心对称图形，则过对称中心的任一条直线平分其面积，显然当线段MN垂直AD时最小，与BD重合时最大．11．【答案】2【解析】【解答】解：将x=2代入6−x可得：6−2=故答案为2.

【分析】将x=2代入计算即可.12．【答案】-1【解析】【解答】解：根据题意得，22+2p−2=0，解得，p=−1，故答案为：−1．

【分析】根据方程解的概念，把此时未知数的值代入方程中可得到关于13．【答案】10【解析】【解答】解：∵正n边形的每一个内角为144°，则正n边形的每一个外角为180°-144°＝36°，∴n=360÷36=10，

故答案为：10．

【分析】由于正多边形的每一个内角相等，则它的每一个外角也相等，而且任意多边形的外角和总是360度，可先求出它一个外角的度数，再除360度即可。14．【答案】x（60-x）＝86415．【答案】5a6；【解析】【解答】解：∵5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，

即a1+a2+a3+a4+a5故答案为：5a6；a【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数可算出第一空的答案；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数进行计算即可求解.16．【答案】12+【解析】【解答】解：如图，过点E作关于AD的对称点E'，过E'作E'H∥FG且使E'H=FG，连接CH交AD于点G'，在G'A上截取G'F'=FG，连接CG'、EF'。

则四边形E'HG'F'为平行四边形，所以HG'=E'F'；因为E、E'关于AD对称，所以EF'=E'F'；因为五边形BCGFE中BE、BC和FG长是定值，此时EF+CG≥EF'+CG'＝E'F'+CG'＝HG'+CG'=CH，因此当FG与F'G'重合时，五边形BCGFE的周长最小。分别连接AH、EE'，其中EE'交DA延长线于点M，过A作AN⊥BC于点N，∵平行四边形ABCD中AD∥BC，∠B＝45°∴∠EAM＝45°∴△AEM为等腰直角三角形，且AM＝AE∵E为AB中点，且AB＝22∴AM＝AE＝1∴E'M＝1则四边形AHE'M为正方形又Rt△ABN中，∠ANB＝90°、∠B＝45°、AB＝22∴BN＝AN＝2∴CN＝BC-BN＝6-2＝4、HN＝HA+AN＝1+2＝3∴Rt△HCN中，CH＝5∴五边形的周长最小值＝BE+BC+CG'+F'G'+EF'＝BE+BC+F'G'+CH＝17．【答案】（1）解：12==2−3=−1（2）解：2=2−2=3−2=1−2【解析】【分析】（1）二次根式的混合运算顺序是先乘除、后加减，注意乘除运算的结果必须化为最简二次根式，如果被开方数相同，可按照合并同类项的方法进行合并．（2）实数的混合运算可灵活利用乘法公式进行简化运算．（1）解：12==2−3=−1；（2）解：2=2−2=3−2=1−218．【答案】（1）解：∵x2−4x+3=0，

∴x−1x−3=0

∴x−1=0或x−3=0（2）解：∵2x2−3x−1=0

∴a=2,b=−3,c=−1

∴Δ=b2−4ac=−32−4×2×−1=17>0【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解方法是解题关键；（1）当一元二次方程的二次项系数为1，常数项能分解成两个因数的乘积，且这两个因数的和恰好等于一次项系数时，可直接使用十字相乘法快速求解；（2）当一元二次方程的二次项系数为整数且其它各项系数也比较简单时，可利用公式法求解，步骤为先分别写出各项系数，再计算根的判别式∆的值，当∆≥0时，可按照求根公式直接写出方程的根．（1）∵x2∴x−1∴x−1=0或x−3=0，∴x（2）2x2∴Δ=∴方程有两不等实数根，∴x1,2∴x119．【答案】（1）2；2（2）解：平均数为140全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为S=【解析】【解答】解：根据题意得：所读数学课外书的本数为2本的人数最多，∴全班同学暑假读数学课外书本数的众数是2；

∵全班40位同学，

∴由表格可知，按从小到大排列后中间第20和21位同学的本数都是2，

∴中位数也是2．

故答案为：2；2．

【分析】（1）众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多外；中位数需要对数据进行大小排序，再取最中间的数据或最中间两个数据的平均数；（2）注意标准差是方差的算术平方根，不能是负数．（1）解：根据题意得：所读数学课外书的本数为2本的人数最多，∴全班同学暑假读数学课外书本数的众数是2；∵全班40位同学，∴由表格可知，按从小到大排列后中间第20和21位同学的本数都是2，∴中位数也是2．故答案为：2；2．（2）解：平均数为140全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为S=120．【答案】（1）解：设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，由题意得，2561+x解得x=25%或x=−2.25答：十一、十二这两个月的月平均增长率为25（2）解；设每件模型应降价m元，由题意得，70−40−m400+5m整理得：m2解得m=10或m=−60（舍去），答：每件模型应降价10元【解析】【分析】（1）平均增长率常用公式a1+x2=b求解，其中a（2）利润＝售价－成本，本题中先设出降价钱数，则可表示出单件利润和销售总额，然后利用公式列出方程即可．（1）解：设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，由题意得，2561+x解得x=25%或x=−2.25答：十一、十二这两个月的月平均增长率为25%（2）解；设每件模型应降价m元，由题意得，70−40−m400+5m整理得：m2解得m=10或m=−60（舍去），答：每件模型应降价10元．21．【答案】（1）证明：∵M，N是对角线BD的三等分点，∴BM=DN=13BD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，BC=AD，

∴∠MBC=∠NDA，

在△MBC和△NDA中，

BC=AD∠MBC=∠NDABM=DN，

∴△MBC≌△NDA，

∴CM=AN，

同理可得：△MBA≌△NDC，

∴AM=CN，（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB．

∵M，N是对角线BD的三等分点，BD=18，

∴DM=12，BM=6，∵AM⊥BD，

∴△ADN和△ABM是直角三角形，

∵AD=13，∴AM=A∴AB=AM2+BM2【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，BC=AD，进而求得∠MBC=∠NDA，再根据M，N是对角线BD的三等分点得到BM=DN，可以证明△MBC≌△NDA，△MBA≌△NDC，进而利用平行四边形的判定即可得出结论；（2）利用M，N是对角线BD的三等分点得出DM、BM，根据AM⊥BD，得出△ADN和△ABM是直角三角形，再根据勾股定理进而得出AM，同理可以得出AB.．（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=O