高中数学必考立体几何知识点附8大解题技巧

高中数学必考立体几何知识点汇总，附8大解题技巧

立体几何必考知识汇总一空间几何体结构

L空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑

其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。

2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个

四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。（图如下）

底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。底面是几边

形就叫做几棱柱。

侧面：棱柱中除底面的各个面

侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱

顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点

棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。如：六棱柱表示为ABCDEF-

A'B'C'D'E'F'

3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三

角形有一个公共定点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。（图如下）

4.圆柱的结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面

所围成的旋转体叫做圆柱。

圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴

圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面

圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的

母线。

圆柱用表示它的轴的字母表示，如：圆柱o'0

注：棱柱与圆柱统称为柱体

5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,两余边

旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。

轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴

底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面

侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面

顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点

母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。

圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥so

注：棱锥与圆锥统称为锥体

6.棱台和圆台的结构特征

(1)棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面

之间的部分是棱台。

下底面和上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。

侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面(截后剩余部分)

侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱(截后剩余部分)

顶点：上底面和侧面，下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。

棱台的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。如：棱台ABCD-A，B，C'D，

底面是三角形，四边形，五边形--一的棱台分别叫三棱台，四棱台，五棱台

(2)圆台的结构特征：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面

之间的部分是圆台。

圆台的轴，底面，侧面，母线与圆锥相似

注：棱台与圆台统称为台体。

7.球的结构特征：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成

的几何体叫做球体。

球心：半圆的圆心叫做球的球心。

半径：半圆的半径叫做球的半径。

直径：半圆的直径叫做球的直径。

球的表示：用球心字母表示。如：球0

注：

1.多面体：若干个平面多边形围成的几何体

2.旋转体：由一个平面绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几

何体

二几何体的三视图和直观图

1.空间几何体的三视图：

定义：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）;

俯视图（从上向下）。

注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽带；侧

视图反映了物体的高度和宽带。

球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形。

2.空间几何体的直观图一一斜二测画法

（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相较于点Oo画直观图

时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴交于点0',且使〈x'。'y'=45度

（或135度），它们确定的平面表示水平面。〈span="〉〈/x'o'y'=45度（或

135度），它们确定的平面表示水平面。◊

（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画呈平行于x'

轴或y'轴的线段。

（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于

y轴的线段，长度为原来的一半。

(4)z轴方向的长度不变

三几何的表面积和体积

1.表面积

圆柱：S=2ra-2+27rrl=27rr(r+l)(r是底面半径，1是母线长)

圆锥：S=nr2+nrl=7rr(r+1)

圆台：S=7t(r,2+r2+r'l+rl)(r,T分别表示上下两底面的半径)

2.体积

柱体(棱柱)：V=Sh(S为低面面积，h为高)

圆锥(棱锥)：V=-Sh

3

圆台(棱台)：V=1(s,+Vsjs+S)xh(S\S分别为上、下地面面积)

3.球表面积：S=47tR

4,

球体积：V=—延？

3

立体几何八大解题技巧

熟练掌握了立体几何的知识点，就要灵活运用在做题上，只有这样，才能轻

松应对千变万化的题目，有了这样的技巧助攻，还怕考试考不好吗！

一平行垂直位置关系的论证策略

(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时

应优先考虑。

二空间角的计算方法与技巧

主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算。

(1)两条异面直线所成的角

①平移法：②补形法：③向量法：

(2)直线和平面所成的角

①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计

算，或用向量计算。

②用公式计算。

（3）二面角

①平面角的作法：（i）定义法；（ii）三垂线定理及其逆定理法；（iii）垂面法。

②平面角的计算法：

（i）找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算；（ii）射影

面积法；（iii）向量夹角公式。

三空间距离的计算方法与技巧

（1）求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在

相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

（2）求两条异面直线间距离:一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。

在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解（这种情况高考不做要

求）O

（3）求点到平面的距离：一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，

利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体

积法”直接求距离；有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平

面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的

距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离

来求解。

四熟记一些常用的小结论

诸如：正四面体的体积公式是；面积射影公式；“立平斜关系式”；最小角

定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可

能是快速解答某些问题的前提。

五几平面图形的翻折、立体图形的展开等一系列问题

要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。

六与球有关的题型

只能应用“老方法”，求出球的半径即可。

七立体几何读题

（1）弄清楚图形是什么，几何体，规则的、不规则的、组合体等。

（2）弄清楚几何体结构特征，面面、线面、线线之间有哪些关系（平行、垂直、

相等）。

(3)重点留意有哪些面面垂直、线面垂直，线线平行、线面平行等。

八解题程序划分为四个过程

①弄清问题。也就是明白“求证题”的已知是什么？条件是什么？未知是什

么？结论是什么？也就是我们常说的审题。

②拟定计划。找出已知与未知的直接或者间接的联系。在弄清题意的基础上,

从中捕捉有用的信息，并及时提取记忆网络中的有关信息，再将两组信息资源作

出合乎逻辑的有效组合,从而构思出一个成功的计划。即是我们常说的思考。

③执行计划。以简明、准确、有序的数学语言和数学符号将解题思路表述出

来，同时验证解答的合理性。即我们所说的解答。

④回顾。对所得的结论进行验证,对解题方法进行总结。

立体几何常见大题解法

以上立体几何八大常用的答题技巧中，前两者一般会作为考卷中的第二大题

出现，是很多同学能够争取拿到大部分分数或满分的题目，但往往却拿不全分数,

甚至部分基础薄弱但坚持学习的同学拿不了几分，对学习积极性来说是很大的挫

败。所以，小星着重给大家总结了这两种常见大题的一般求法：

一平行与垂直的证明

立体几何方面的大题，出现相对较多的是平行和垂直的证明，当然垂直证明

一般难度大于平行的证明。对于这一块内容，我们简单介绍下，大家可以看一下。

平行判定，性质定理线不在多，相交则灵

平行证明

垂直判定，性质定理

线不在多QQ2

相交则灵bua

aP\b=pl±a

l]_a

lib

线综

11a

/la

aua

aLa

bl.a

垂直证明

平行与垂直的证明，我们放在下一块求空间角时，分析大题目时一起分析。

二求空间角

立体几何第二个经常出现的大题类型，基本都以求空间角的形式出现。求空

间角主要分为三块内容:异面直线所成的角（线线角），线与面所成的角（线面角）,

面与面所成的角（二面角）。

首先，我们看一下考纲里面对空间角的要求：

A.理解直线与平面所成角的概念，了解二面角及其平面角的概念.

B.了解求两直线夹角、直线与平面所成角、二面角的向量方法。

接下来我们分三点来分析空间角的求法：

1）异面直线所成的角（线线角）

定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的

选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）。

异面直线所成的角

求异面直线所成的角的方法:

1:平移，平移后使两条直线相交，求角;

2：向量法：建立坐标系，请求两条直线的坐标，利用公式。

cos<a9=।--A-B-.-C-D-,

\AB|CD

异面直线所成的角向量公式

典例分析•

例1.在正三棱锥s—ABC中，E为SA的中点，F为AABC的中心，SA=BC=2,

则异面直线EF与AB所成的角是()

(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°

分析：设M是SB的中点，连结EM,则EM〃AB.NMEF是异面直线EF。AB

所成的角.连AF和MF,由］'F是△ABC的中心，故SF是近二棱锥SABC的普.在

Eh=—SA=1

RtASAF11'，E是斜边SA的中点,因此2，同理FM=1,

EM=—AB=—BC-1

乂22.故△EFM是等边三角形，ZMEF=60'.

答案：C

例1答案

例2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1,平面ABCD,且AB=AD=2,

AA1=根号3,NBAD=120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

例2图

答案C：解：在平面ABCD内，过点A作AE1AD,交BC于点E.

因为AAi_L平面ABCD,

所以AA」AE,MilAD.

如图，以而，石i｝为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.

因为AB-AD-2,AALJi,ZBAD=nO0.

则月(0,0,0),5(6,-1,0),50,2,0),颐状,0,0),4(0,0,

(1)募=(、瓦-1,-肉,恋=("1,扬,

则cos“IA,Acj=¥M_-----------------------=——

''\AXB'\AQ77

因此异面直线A,B与AC）所成角的余弦值为工.

7

2）线与面所成的角（线面角）

1.线面角的定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条

斜线和这个平面所成的角

2.求线面角的一般步骤：

（1）先找斜足

（2）经过斜线上一点作面的垂线（一般都是另一个端点），即作出垂足，连接

斜足和垂足，找出线面角。

注意：做垂线时都是做线的垂线，然后证明是面的垂线。

3.向量法：

设直线。'j'F而。所成角为/直浅。的方向向储L而4的法向信分别是叽”，

则＜＞的余'或其补角的余角即为a与a所成的.0,

sin0=Icos＜嬴

rrl

线面角

例3.

如图，己知四棱锥P-qBCD,△P.1D是以40为斜边的等腰直角三角形，BCIL4D,

CD±AD,PC=AD=2DC=2CH,正为尸7）的中点.

(I)证明：CE//平面P.48；

(II)求直线CE与平面P8C所成角的正弦值.

《II〉连结8尸，过尸作EI/LP8于Af,连结"，

'：PA=PD,：.PF±AD,

易知四边形BCD尸为矩形，

，3_L平面P8F,又AD;5C,：.5CJ■平面PBF,二_8。_1尸5,

设DC=C5=1,则AD=PC=2,；.PB=g,BF=PF=\,

：.AZF=-,又BCJ■平面P8F,，5C_LA1F,

J7b

：.MF平面PBC,即点F到平面PBC的距离为-,

12

也即点Q到平面PBC的距高为工，

为PD的中点、，...点E到平面尸5C的距离为白，

4

在△尸8中，PC=2,CD=\,PD=C,由余弦定理可得CE=,

1

设直线CE与平面产BC所成的角为6,贝人也6=左=半.

方法二：解析法，建系困难

(1)略；构造平行四边形，或用空间向量;

(II)过P作PH_LCD,交CD的延长线于点”,设。H=x,

在RtAPDH及RtZiPCH1中，易知(0)'-1+(1+^=2，，解得DH=W,

o

过H作BC的平行线，取OH=BC=1,如图建立坐标系，

由题易得风"。：。)，。(;上。)，C(1LO),P(OO,

:r斗士，务

则CE=(-：,一匕一9PB=(-：0,—,BC=(0,L0),

42422

_nPB=lx-Jlz=o广

设平面PBC的法向量为”=(匕乂2),则《22，令x=l,则r=J5,

nBC=y=0

故G=(L0,后)，设直线CE与平面尸5c所成的角为(9,

则sin。=cos(C£.n)l=

再IHT访二'

V16416

故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为正

8

3)面与面所成的角(二面角)

(1)过二面角的棱上的一点0分别在两个半平面内作棱的两条垂线0A,0B,

角A0B则叫做二面角的平面角。

二面角的平面角的特点：

1.角的顶点在棱上2.角