高中数学讲义：向量的数量积

高中数学讲义：向量的数量积

目录

1.教学内容解析................................................................1

2.教学目标设置...............................................................2

3.学生学情分析...............................................................2

3.1.已具备的认知基础........................................................2

3.2.可能存在的认知困难......................................................3

4.教学策略分析...............................................................3

5.教学过程....................................................................3

5.1.类比加法运算，确定研究路径..............................................3

5.2.创设物理情境，抽象数量积概念...........................................4

5.3.借助投影向量，挖掘几何意义.............................................5

5.3.1.创设数学情境，发现投影向量........................................5

5.3.2.借助几何直观，探究投影向量表达.....................................7

5.3.3.结合几何意义，体会投影作用........................................7

5.4.设置开放问题，探究几何性质..............................................7

5.5.反思学习过程，发展理性思维..............................................8

6.目标检测设计.................................................................9

1.教学内容解析

本节课是人教A版必修第二册第六章《平面向量及其应用》第2节《平面

向量的运算》中《向量的数量积》的第一课时，是《普通高中数学课程标准

（2017年版2020年修订）》主题三“几何与代数”中的内容.数量积是从物理

模型中抽象的数学概念，在物理中有着明确的物理意义，在数学中，由于向量

既是代数研究对象，又是几何研究对象，所以研究向量运算我们都从代数和几

何两个方面研究.前面学生已经学习了向量的加法、减法和数乘运算，研究了这

些运算的运算法则（代数表示，几何意义）和运算性质（几何性质、运算

律），并且应用这些运算解决了一些具体问题.数量积运算我们也将研究这些内

容，本节最大的变化就是引入向量投影和投影向量的概念，分析原因，我觉得

有以下几点：1.投影向量与物理中位移方向上的分力密切相关，它的引入既符

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合知识发生发展过程，又符合学生的认知水平2.投影是构建高维和低维空间

联系的桥梁，体现数学本质.3.由于向量投影是正交投影，为以后研究点线距

离，点面距离等内容做铺垫.

由于数量积运算体系的建立凸显了数学与自然科学的联系，展示了我们是

如何从现实世界抽象数学概念，进而解决实际问题的过程，体现了数学的应用

价值，

因此，本节课的教学重点为：数量积的概念及其物理意义.

2.教学目标设置

结合课标要求，本节课制定如下教学目标：

1.通过回顾功的学习过程，抽象出向量数量积的概念,理解数量积的物理意

义，会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.

2.通过分析“位移方向上的分力”，发现投影向量，并能借助几何直观，探究

投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的

核心素养.

3.在解决具体问题中，结合数量积的定义和几何意义探究数量积的几何性质.

3.学生学情分析

3.1.已具备的认知基础

1.本节是6.2平面向量运算的最后一节，学生通过本单元学习向量线性

运算，了解了向量运算的研究内容，研究方法，研究路径，会从物理问题中抽

象向量的运算法则，会探究向量运算的几何性质，这些都为研究新的运算的提

供了研究基础，体现了单元教学的整体性、一致性.

2.初中学习的“功”等于力与物体在力的方向上移动的距离的乘积，当力

和位移成一定角度时，学生也会通过力的分解找到位移方向的分力，进而得到

功的计算公式，这些为抽象数量积的概念，投影向量的概念提供了物理背景.

3.数乘运算为表示投影向量提供了知识基础，任意的向量都可以用它的模

乘以与它同方向的单位向量，这为表达投影向量提供了知识储备.

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3.2.可能存在的认知困难

前面所学的线性运算的结果是向量，很容易得到它们的几何意义，数量积

的结果是数量，这个数量的几何意义是什么呢？学生很容易发现时cos6这个数

量的几何意义，但仅发现同cos。这个数量的几何意义还远远不够，因为向量投

影和投影向量在数量积以及以后的学习中起到重要作用，投影是构建高维空间

与低维空间之间联系的桥梁，投影向量的引入实现了把两个非零向量的数量积

转化为共线向量的数量积，那么学生如何发现投影向量，得出投影向量的表达

式，都会有一定的困难.

难点：投影向量的表达式、数量积的几何意义

4.教学策略分析

本节课贯彻以“知识为载体，思想方法为知识连线，核心素养为目标”的

理念，采用“设置问题序列”的方式，引导学生独立思考，主动探究，合作交

流，利用小组汇报，学生讲解，学生小结等多种方式，调动学生学习的积极

性.本节课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展

区”设置问题，通过创设物理情境，数学情境，落实重点，突破难点，倡导学

生主动参与，在师生互动、生生互动中，发现并抽象向量数量积定义，探究数

量积几何意义，探究数量积的性质，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知

过程.不断地提升学生学习能力，努力实现学会学习的目标.

问题1：前面我们学习了向量的加法，减法和数乘运算，积累了一些关于向

量运算的学习经验，你能以加法为例，总结一下我们是如何研究向量运算

的？

5.教学过程

5.1.类比加法运算，确定研究路径

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【设计意图】原有的学习经验为研究新的运算提供了研究方法，指明了研究方

问题2：物理学中有没有矢量与矢量相乘呢？

向，体现了单元教学的内容的整体性，方法的一致性，便于提高学生的学习能

力.

5.2.创设物理情境，抽象数量积概念

【设计意图】实数与向量有乘法运算，向量与向量是否可以相乘呢？线性运算

有着丰富的物理背景，我们从位移的合成和力的合成中得到了加法的三角形法

问题3：当力F与运动方向成某一角度时，力F对物体所做的功等于多少

呢？你是如何得到的呢？

则和平行四边形法则.物理中有没有矢量与矢量相乘呢？通过物理中功的概念

的回顾提出研究两个向量乘法的必要性.

【设计意图】回顾初中“功”的概念，功是

W=Fs.

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通过创设现实情境马拉爬犁，研究当力和位移存在夹角时，如何研究力对物体

所做的功，通过力的分解，由于垂直位移方向上的分力对物体不做功，最终力

对物体所做的功等于位移方向上的分力对物体所做的功，W=|F||s|cos0,回

顾功的计算公式的得出过程为后面引出投影向量和数量积的几何意义作铺垫，

问题4：力和位移都是向量，大家能否从功的计算公式中抽象出两个非零向量

数量积的定义呢？

同时初中到高中功的学习过程也是一个特殊与一般的转化过程.

【设计意图】力和位移都是向量的原型，从功的计算公式中定义矢量与矢量的

乘法，进而抽象出向量与向量的数量积运算.体会从特殊到一般的抽象过程，提

升数学抽象的核心素养.

【设计意图】物理中很容易找到力和位移的夹角，因为它们是共起点的矢量，

任意两个非零向量a,方如何定义它们的夹角呢？由于向量是自由的，所以我们

可以将两个向量平行移动为共起点的两个向量，由于夹角刻画两个向量的相对

位置关系，夹角范围由于数量积的很多性质都受夹角的影响，所以在此

展示不同位置关系下的两个向量的夹角.

5.3.借助投影向量，挖掘几何意义

5.3.1.创设数学情境，发现投影向量

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在等边三角形A6c中，AB=2,CZ＞为AA6c的高线，尸为线段CZ＞上一点.

(1)若尸与C重合时，求4P•45.

(2)若44B=45。，求4尸Sb.

(3)若尸索蒙段CZ＞上靠近O的三等分点，求4P•45.

【设计意图】刚刚学习了数量积的概念，通过创设数学情境，应用数量积的概

念解决数学问题，在问题解决过程中学生发现三个问题结果一样，引导学生探

究三个问题的共性，发现

APAB=|A£)||Afi|=ADAB,探究向量AP,4。的关系，从而将其与物理

“功”的计算公式的得出过程联系在一起，发现若将AP看成力F,AB看成

位移s,AZ)就是位移方向上的分力大，从而抽象数学概念：向量投影，投影

向量.在此过程中突出几何直观与代数运算之间的融合，体会投影向量引入的

合理性.提升学生直观想象，数学抽象，数学运算的核心素养.

问题6:已知两个非零向量?人如何得到向量。在向量。上的投影向量？

【设计意图】通过物理中位移上分力的得出过程，抽象投影向量的得出过程,

体会这种变换实际上是一种垂直投影，从而在“形”上体会如何得到投影向

量,提升学生直观想象的核心

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素养.

5.3.2.借助几何直观，探究投影向量表达

【设计意图】引导学生得到投影向量的数学符号表示，这个表达式既体现向量

的大小又体现向量的方向，并且在夹角不同的情况下检验结论是否具有一致

性，在此过程中，体会数形结合，分类与整合的思想，提升直观想象、逻辑推

理的数学素养.

5.3.3.结合几何意义，体会投影作用

【设计意图】数量积计算公式的形成过程中，力F对物体所做的功等于位移上

分力《所做的功，那么向量。与向量方的数量积等于0在方上投影向量。必与

。的数量积.体会投影是构建高维空间与低维空间之间联系的桥梁，从而实现

了把两个向量的数量积转化为两个共线向量的数量积，在此过程中体会特殊与

一般之间的相互转化.

5.4.设置开放问题，探究几何性质

正六边形A6CD即的边长为1,在边上取点，形成向量a,方，求出你所选的两

个向量的数量积，并在此过程中探究数量积的性质.

DP

【设计意图】此问题既可以利用数量积的定义和几何意义计算数量积，同时在

此图形中构造的向量a,》具有丰富的位置关系（共线向量，垂直向量，相等向

量，相反向量…），由于正六边形边长为L这里也可以构造出很多单位向

量，这些为探究性质提供很好的素材.小组合作，在问题解决中探究数量积的性

质，体会从一般到特殊的思想，提高逻辑推理的核心素养.借助GGB软件，希沃

传屏信息技术手段，在此过程中提高学生利用信息技术探究数学规律的能力，

激发学生的学习兴趣.

5.5.反思学习过程，发展理性思维

本节课我们研究了哪些内容？在学习过程中有哪些收获？

ab=\a\\b\cosO

Fs=F±sab=0Ml•b

线性运算数量积运算

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物理(生数学

代数几何

一般特殊

二维一维

【设计意图】师生共同总结，可以从所学内容、研究问题的方法、蕴含的思想

方法、数学与生活以及数学与其他学科的联系等多角度进行总结.引导学生用

数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，数学语言表达世界.

课后思考：类比数的乘法运算，猜想并证明数量积的运算律，并思考它与数的

乘法的运算律有哪些区别？

6.目标检测设计

1.(1)已知加|=8,,|=6,p和q的夹角为60。，求

(2)已知加|=8,|q|=6,pq=-24,求向量p,q的夹角.

【设计意