2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质练习含解析新人教A版选修2-1

PAGEPAGE12.4.2抛物线的简洁几何性质课时过关·实力提升基础巩固1抛物线2y=3x2的准线方程为()A.y=-C.y=-解析:∵抛物线的标准方程为x2=∴准线方程为y=-答案:A2以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点,且与x轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为()A.y2=8x B.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y解析:∵抛物线的通径为2p=8,且以x轴为对称轴,∴其方程为y2=8x或y2=-8x.答案:C3顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A.x2=±3y B.y2=±6xC.x2=±12y D.x2=±6y答案:C4如图,已知点Q(22A.2 B.3C.4 D.2解析:如图所示,过点P作PM垂直抛物线的准线于点M,则由抛物线的定义可知y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,当且仅当P,F,Q三点共线时,|PF|+|PQ|最小,由F(0,1),Q(22,0),得最小值为故y+|PQ|的最小值为3-1=2.答案:A5过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条直线,交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则yA.4 B.-4 C.p2 D.-p2解析:(方法一)特例法:当直线垂直于x轴时,A(方法二)由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得y1y2=-p2,则答案:B6设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=C.y=D.y=答案:C7过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为.

解析:抛物线的焦点为(1,0),准线方程为x=-1,p=2.由抛物线的定义,知|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,即于是弦AB的中点M的横坐标为因此点M到抛物线准线的距离为答案:78设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是.

解析:设直线l方程为y=k(x+2),当k=0时,直线l与抛物线有一个交点;当k≠0时,与抛物线联立方程组,整理得ky2-8y+16k=0.由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1,且k≠0,所以-1≤k≤1.答案:[-1,1]9求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.解:抛物线y=x2上一点P(x0,y0)到直线l:x-y-2=0的距离为d,则d=当x0=12时,10过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此直线方程.解:为当k不存在时,直线方程为x=-3与抛物线无交点,所以直线斜率k存在,设直线方程为y-2=k(x+3),由y-ky2-4y+8+12k=0.①(1)当k=0时,方程①化为-4y+8=0,即y=2,此时过点(-3,2)的直线方程为y=2,满意条件.(2)当k≠0时,方程①应有两个相等的实根,所以解得k=13或则直线方程为y-2=13(x+3)或即x-3y+9=0或x+y+1=0.由(1)(2)可知所求直线有三条,其方程分别为y=2或x-3y+9=0或x+y+1=0.实力提升1已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析:∵直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过点(1,0).又∵点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.答案:C2直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+1A.解析:直线4kx-4y-k=0,即y=kx-14,即直线4kx-4y-k=设A(x1,y2),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+12=4,即x1+x2=72,则弦答案:C3已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上,且|AK|=2|AF|,则△AFKA.4 B.8 C.16 D.32解析:∵抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,∴K(-2,0).设A(x0,y0),如图所示,过点A向准线作垂线,垂足为B,则B(-2,y0).∵|AK|=且|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,∴由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得即8x0=(x0+2)2,解得x0=2,∴y0=±4.∴△AFK的面积为12|KF|·答案:B4过抛物线y=1A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1)解析:y=14x2可化为x2=4y,则抛物线的准线方程为y=-1.取准线上的特别点(0,-1),并设过点(0,-1)与抛物线相切的切线方程为y+1=kx,代入到x2=4y中并消去y,得x2-4kx+4=0.令Δ=(-4k)2-16=0,则k=±1.求得M,N的坐标分别为(2,1),(-2,1)答案:D5若抛物线过点(1,2),则抛物线的标准方程为.

解析:当焦点在x轴正半轴时,设其方程为y2=2p1x(p1>0),则4=2p1,即p1=2,故抛物线的标准方程为y2=4x.当焦点在y轴正半轴时,设其方程为x2=2p2y(p2>0),则1=4p2,即p2=14,故抛物线的标准方程为答案:y2=4x或x2=6设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为.

解析:如图所示,由已知可得点Bp4,1在抛物线即1=2p·p4,故故B24,1,答案:37抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q,若|PF|=4解析:过点Q作QQ1⊥l,垂足为Q1,设准线与x轴交点为M,则△PMF∽△PQ1Q,所以又|MF|=4,所以|QF|=|Q1Q|=5.答案:58过点A(-2,-4)作倾斜角为π解:M(x1,y1),N(x2,y2),则由题意知MN的方程为y=x-2.由y=x-2,y2=2px故y1+y2=2p,y1y2=-4p.又依据|AM|·|AN|=|MN|2,可得(y1+4)(y2+4)=(y1-y2)2,即5y1y2+4(y1+y2)+16=(y1+y2)2,即p2+3p-4=0,解得p=1或p=-4(舍去).故所求抛物线的方程为y2=2x.9已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OA⊥OB.(2)当△OAB的面积等于(1)证明如图所示,由消去x得,ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1y2=-1,y1+y2=-因为A,B在抛物线y2=-x上,所以所以因为kOA·kOB=所以OA⊥OB.(2)解设直线与x轴交于点N,明显k≠0.令y=0,得x=-1,即N(-1,0).因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=12|ON||y1|+12所以S△OAB=12·1因为S△OAB=所以10=10★已知A,B是抛物线x2=2py(p>0)上的两个动点,O为坐标原点,非零向量OA(1)求证:直线AB经过肯定点;(2)当线段AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为(1)证明∵|OA+OB设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则经过AB两点的直线方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),由y1=x122p,y2=x∵x1≠x2,∴y-y1=令x=0得