新高考2025版高考数学二轮复习第二部分讲重点选填题专练第9讲解析几何教学案理

PAGEPAGE1第9讲解析几何调研一直线与圆■备考工具——————————————一、直线方程的相关概念1．表示直线方向的两个量(1)直线的倾斜角：①定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准)，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角．②范围：0°≤α<180°.(2)直线的斜率：①定义：当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tanα；当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．②计算公式：给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直线方程的形式(1)点斜式：y－y0＝k·(x－x0)(2)斜截式：y＝kx＋b(3)两点式：eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(4)截距式：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)(6)参数式：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα,y＝y0＋tsinα))(t为参数)3．两条直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2平行k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A4．距离距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))二、圆的方程及相关概念1．圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程：名称圆的标准方程圆的一般方程方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F圆心(a，b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径req\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(3)参数方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ,y＝b＋rsinθ))(θ为参数)圆心(a，b)，半径为r.2．直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－a2＋y－b2＝r2，,Ax＋By＋C＝0，))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<03.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R>r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系外离外切相交内切内含同心圆几何特征d>R＋rd＝R＋rR－r<d<R＋rd＝R－r0<d<R－rd＝0代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解无实数解公切线条数432100三、重要公式1．中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点M(x，y)的坐标满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))若线段的中点为M(x0，y0)，一个端点坐标为(a，b)，则另一个端点坐标为(2x0－a,2y0－b)．2．弦心距公式和弦长公式(1)弦心距公式：直线截圆所得的弦长为2a，圆的半径为r，弦心距为d，则弦心距公式为d＝eq\r(r2－a2).(2)弦长公式：l＝2a＝2eq\r(r2－d2).3．切线长公式圆的方程为f(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，或f(x，y)＝(x－a)2＋(y－b)2－R2＝0，圆外有一点P(x0，y0)，由点P向圆引的切线的长为l＝eq\r(fx0，y0).■自测自评——————————————1．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是()A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直解析：由题意可得直线sinA·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－eq\f(sinA,a)，bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率k2＝eq\f(b,sinB)，故k1k2＝－eq\f(sinA,a)·eq\f(b,sinB)＝－1，所以直线sinA·x＋ay－c＝0与直线bx－sinB·y＋sinC＝0垂直，故选C.答案：C2．若直线l1：ax＋y－1＝0与l2：3x＋(a＋2)y＋1＝0平行，则a的值为()A．1 B．－3C．0或－eq\f(1,2) D．1或－3解析：由题设可得a(a＋2)＝3，解得a＝1或a＝－3.当a＝－3时两直线重合，应舍去，故选A.答案：A3．[2024·合肥调研]已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)相交所得的弦长为2eq\r(2)，则圆C的半径r＝()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4解析：解法一：依题意，圆C的圆心为(2,1)，圆心到直线的距离d＝eq\f(|2＋1－5|,\r(1＋1))＝eq\r(2)，又弦长为2eq\r(2)，所以2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2)，所以r＝2，故选B.解法二：联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－5＝0,x－22＋y－12＝r2))，整理得2x2－12x＋20－r2＝0，设直线与圆的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝6，x1·x2＝eq\f(20－r2,2)，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(2)，解得r＝2.答案：B4．[2024·河北九校联考]圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－4x＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0解析：由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则eq\f(|3m＋4|,\r(32＋42))＝2，解得m＝2或m＝－eq\f(14,3)(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.答案：C5．[2024·广州调研]若点P(1,1)为圆C：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0解析：由圆的方程易知圆心C的坐标为(3,0)，又P(1,1)，所以kPC＝eq\f(0－1,3－1)＝－eq\f(1,2).易知MN⊥PC，所以kMN·kPC＝－1，所以kMN＝2.依据弦MN所在的直线经过点P(1,1)得所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故选D.答案：D6．[2024·湖北重点中学]已知两点A(a,0)，B(－a,0)(a>0)，若圆(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1上存在点P，使得∠APB＝90°，则正实数a的取值范围为()A．(0,3] B．[1,3]C．[2,3] D．[1,2]解析：以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，则由题意知圆(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1与圆x2＋y2＝a2有公共点，则|a－1|≤eq\r(\r(3)2＋12)≤a＋1，解得1≤a≤3，故选B.答案：B7．[2024·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋eq\f(4,x)(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．解析：通解：设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，x＋\f(4,x)))，x>0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f(|x＋x＋\f(4,x),eq\r(2))＝eq\f(2x＋\f(4,x),\r(2))≥eq\f(2\r(2x·\f(4,x)),\r(2))＝4，当且仅当2x＝eq\f(4,x)，即x＝eq\r(2)时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.优解：由y＝x＋eq\f(4,x)(x>0)得y′＝1－eq\f(4,x2)，令1－eq\f(4,x2)＝－1，得x＝eq\r(2)，则当点P的坐标为(eq\r(2)，3eq\r(2))时，点P到直线x＋y＝0的距离最小，最小值为eq\f(|\r(2)＋3\r(2)|,\r(2))＝4.答案：48．[2024·唐山摸底]已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．解析：直线l的方程为y－2＝k(x－1)，经过定点P(1,2)，由已知可得圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝8，可知圆心C(0,1)，半径r＝2eq\r(2)，由圆的性质可知当直线l与CP垂直时弦长最小，因为|CP|＝eq\r(1－02＋2－12)＝eq\r(2)，故|AB|min＝2eq\r(2\r(2)2－\r(2)2)＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)9．[2024·广东六校联考]已知点P(－1,2)及圆(x－3)2＋(y－4)2＝4，一光线从点P动身，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|的值为________．解析：点P关于x轴的对称点为P′(－1，－2)，如图，连接PP′，P′Q，由对称性可知，P′Q与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|＝|P′T|.圆(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为A(3,4)，半径r＝2，连接AP′，AT，则|AP′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT|＝r＝2，所以|PQ|＋|QT|＝|P′T|＝eq\r(|AP′|2－|AT|2)＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)10．[2024·浙江卷]已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.解析：解法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝eq\r(－2－02＋－1＋22)＝eq\r(5).解法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以eq\f(m＋1,0－－2)×2＝－1，所以m＝－2，r＝eq\r(－2－02＋－1＋22)＝eq\r(5).答案：－2eq\r(5)调研二椭圆、双曲线■备考工具——————————————一、定义1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c(3)当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当22．双曲线的定义及理解(1)定义：平面上到两定点F1，F2的距离之差的肯定值为非零常数(小于|F1F2(2)符号语言：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1(3)当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；当2a二、方程和性质1．椭圆的方程与性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c22.双曲线的方程与性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，虚轴：B1B2焦距|F1F2|＝离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x三、离心率e的作用(1)椭圆：e越大，图形越扁．(2)双曲线：e越大，开口越小．四、常见结论1．椭圆(1)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为eq\f(2b2,a)，通径是最短的焦点弦．(2)P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.(3)椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2如图所示，设∠F1PF2＝θ.①当P为短轴端点时，θ最大．②＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sinθ＝b2·eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，取最大值，最大值为bc.③焦点三角形的周长为2(a＋c)．(4)设F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，AB是过F1的弦，则|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a.(5)AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则①弦长l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(其中k为直线AB的斜率)；②直线AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).2．双曲线(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a)；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的随意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ＝∠F1PF2.(5)若P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的随意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.(6)设F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点，AB是过F1的弦，则|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a.(7)AB为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．则①弦长l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(其中k为直线AB的斜率)；②直线AB的斜率kAB＝eq\f(b2x0,a2y0).五、特别曲线1．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线．(2)性质：①a＝b；②e＝eq\r(2)；③渐近线相互垂直；④等轴双曲线上随意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．2．共轭双曲线(1)定义：假如一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.六、求椭圆、双曲线离心率的方法(1)定义法：干脆求出a，c的值来解e，通过已知条件列方程，解出a，c的值．(2)解方程法：由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过特别值或特别位置求离心率．此方法多用于选择题和填空题．(4)求离心率的最值(或范围)，往往借助图形的性质、曲线的范围、正余弦函数的有界性、基本不等式等来构造关于a，b，c的不等式，从而达到求解的目的．■自测自评——————————————1．[2024·北京卷]已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，则()A．a2＝2b2 B．3a2＝4bC．a＝2b D．3a＝4解析：由题意得，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,4)，又a2＝b2＋c2，∴eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴4b2＝3a2.故选B.答案：B2．[2024·全国卷Ⅲ]双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为()A.eq\f(3\r(2),4) B.eq\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2) D．3eq\r(2)解析：不妨设点P在第一象限，依据题意可知c2＝6，所以|OF|＝eq\r(6).又tan∠POF＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以等腰三角形POF的高h＝eq\f(\r(6),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以S△PFO＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(2),4).答案：A3．[2024·全国卷Ⅰ]已知双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A.eq\f(3,2) B．3C．2eq\r(3) D．4解析：因为双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝eq\f(\r(3),3)x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－eq\r(3)(x－2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－2，,y＝\f(\r(3),3)x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，所以|OM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\r(3)，所以|MN|＝eq\r(3)|OM|＝3.答案：B4．[2024·洛阳统考]已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，eq\r(3))在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程为()A．x2－y2＝1 B.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1解析：通解：∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴|PF1|＋|PF2|＝4c，∵点P位于第一象限，∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a，∴cos∠PF2F1＝eq\f(4c2＋2c－a2－2c＋a2,4c2c－a)＝eq\f(c－2a,2c－a)，又点P的坐标为(2，eq\r(3))，∴sin∠PF2F1＝eq\f(\r(3),2c－a)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c－2a,2c－a)))2＋eq\f(3,2c－a2)＝1，化简得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，c2－a2＝b2＝1，又eq\f(4,a2)－eq\f(3,b2)＝1，∴a2＝1，∴双曲线的方程为x2－y2＝1，故选A.优解：|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴|PF1|＋|PF2|＝4c，∵点P位于第一象限，∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a，∴cos∠PF2F1＝eq\f(4c2＋2c－a2－2c＋a2,4c2c－a)＝eq\f(c－2a,2c－a)，又点P的坐标为(2，eq\r(3))，∴sin∠PF2F1＝eq\f(\r(3),2c－a)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c－2a,2c－a)))2＋eq\f(3,2c－a2)＝1，化简得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，c2－a2＝b2＝1，此时可以解除选项B，C，D，故选A.答案：A5．[2024·石家庄一模]已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，则椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(\r(3),2)解析：∵FP的斜率为－eq\f(b,c)，FP∥l，∴直线l的斜率为－eq\f(b,c).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1))得eq\f(y\o\al(2,1),b2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)－\f(x\o\al(2,2),a2)))，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2).∵AB的中点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，∴－eq\f(b,c)＝－eq\f(2b2,a2)，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc，∴b＝c，∴a＝eq\r(2)c，∴椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，故选B.答案：B6．[2024·郑州质量预料二]已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P使eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(2a,c)，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(17),2)，\f(3＋\r(17),2)))B．(1,2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3＋\r(7),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3＋\r(7),2)))D．(1,2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3＋\r(17),2)))解析：通解：因为eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(2a,c)，所以点P不行能在双曲线的左、右两个顶点处，(1)当点P在双曲线的右支上(不包括双曲线的右顶点)时，依据双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，因为eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(2a,c)，所以由正弦定理得eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(2a,c)，解得|PF1|＝eq\f(2ac,c－2a)，|PF2|＝eq\f(4a2,c－2a)，所以c－2a＞0，所以e＞2.在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，即eq\f(2ac,c－2a)＋eq\f(4a2,c－2a)＞2c，整理得2a2＋3ac－c2＞0，所以e2－3e－2＜0，解得eq\f(3－\r(17),2)＜e＜eq\f(3＋\r(17),2).综上，2＜e＜eq\f(3＋\r(17),2).(2)当点P在双曲线的左支上(不包括双曲线的左顶点)时，依据双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝－2a，因为eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(2a,c)，所以由正弦定理得eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(2a,c)，解得|PF1|＝eq\f(2ac,2a－c)，|PF2|＝eq\f(4a2,2a－c)，所以2a－c＞0，所以e＜2.在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，即eq\f(2ac,2a－c)＋eq\f(4a2,2a－c)＞2c，整理得2a2－ac＋c2＞0，所以e2－e＋2＞0，又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e－\f(1,2)))2＋eq\f(3,2)＞0恒成立，由e＞1，所以1＜e＜2.综上所述，该双曲线的离心率e的取值范围为(1,2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3＋\r(17),2))).优解：因为eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(2a,c)，所以点P不行能在双曲线的左、右两个顶点处，(1)当点P在双曲线的右支上(不包括双曲线的右顶点)时，e＝eq\f(c,a)＝2×eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝2×eq\f(|PF1|,|PF2|)＝2×eq\f(2a＋|PF2|,|PF2|)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,|PF2|)＋1))＞2，因为|PF2|＞c－a，所以e＜2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,c－a)＋1))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,e－1)＋1))，所以e2－3e－2＜0，解得eq\f(3－\r(17),2)＜e＜eq\f(3＋\r(17),2)，所以2＜e＜eq\f(3＋\r(17),2).(2)当点P在双曲线的左支上(不包括双曲线的左顶点)时，e＝eq\f(c,a)＝2×eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝2×eq\f(|PF1|,|PF2|)＝2×eq\f(－2a＋|PF2|,|PF2|)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2a,|PF2|)))＜2，因为|PF2|＞a＋c，所以e＞2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2a,a＋c)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,1＋e)))，所以e2－e＋2＞0，又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e－\f(1,2)))2＋eq\f(3,2)＞0恒成立，e＞1，所以1＜e＜2.综上所述，该双曲线的离心率e的取值范围为(1,2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3＋\r(17),2))).答案：D7．[2024·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：因为双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－eq\f(16,b2)＝1，得b＝eq\r(2)，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±bx＝±eq\r(2)x.答案：y＝±eq\r(2)x8．[2024·全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，依据题意可知c＝eq\r(36－20)＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,|F1M|2＝x＋42＋y2＝64，,x＞0，,y＞0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝\r(15)，))所以M的坐标为(3，eq\r(15))．答案：(3，eq\r(15))9．[2024·全国卷Ⅰ]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，则C的离心率为__________．解析：通解：因为eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，如图.所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝eq\f(a,b)，tan∠BOF2＝eq\f(b,a).因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(2×\f(a,b),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2)，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝2.优解：因为eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c,0)可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，因为点B在直线y＝eq\f(b,a)x上，所以eq\f(\r(3),2)c＝eq\f(b,a)·eq\f(c,2)，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2.答案：210．[2024·浙江卷]已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．解析：通解：依题意，设点P(m，n)(n>0)，由题意知F(－2,0)，所以线段FP的中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋m,2)，\f(n,2)))在圆x2＋y2＝4上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋m,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)))2＝4，又点P(m，n)在椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1上，所以eq\f(m2,9)＋eq\f(n2,5)＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－eq\f(3,2)或m＝eq\f(21,2)(舍去)，n＝eq\f(\r(15),2)，所以kPF＝eq\f(\f(\r(15),2)－0,－\f(3,2)－－2)＝eq\r(15).优解：如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|＝|OF|＝2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2.因为M为PF的中点，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF于点H，所以|OH|＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(15),2)，所以kPF＝tan∠HFO＝eq\f(\f(\r(15),2),\f(1,2))＝eq\r(15).答案：eq\r(15)调研三抛物线■备考工具——————————————1．抛物线的定义平面内与肯定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线定义的理解抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．假如问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．3．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形顶点(0,0)对称轴x轴y轴焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)4.抛物线焦点弦的性质焦点弦：线段AB为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)y1y2＝－p2；(3)焦半径|AF|＝x1＋eq\f(p,2)；(4)弦长l＝x1＋x2＋p.当弦AB⊥x轴时，弦长最短为2p，此时的弦又叫通径；(5)弦长l＝eq\f(2p,sin2θ)(θ为AB的倾斜角)．5．直线与圆锥曲线的位置关系推断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元二次方程．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0，))消去y得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．6．重要结论(1)以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆与y轴相切(开口向右或向左)．(2)过抛物线焦点弦的两个端点作抛物线的两条切线，则切线相互垂直，且交点在抛物线准线上．■自测自评——————————————1．[2024·安徽五校质检二]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,2)))在C上，且|PF|＝eq\f(3,4)，则p＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．1解析：抛物线的准线方程为y＝－eq\f(p,2)，因为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,2)))在抛物线上，所以点P到准线的距离d＝eq\f(1,2)＋eq\f(p,2)＝|PF|＝eq\f(3,4)，则p＝eq\f(1,2)，故选B.答案：B2．[2024·全国卷Ⅱ]若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝()A．2 B．3C．4 D．8解析：由题意知，抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，椭圆的焦点坐标为(±eq\r(2p)，0)，所以eq\f(p,2)＝eq\r(2p)，解得p＝8，故选D.答案：D3．[2024·天津卷]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析：由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.将x＝－1代入y＝±eq\f(b,a)x，得y＝±eq\f(b,a)，所以点A，B的纵坐标的肯定值均为eq\f(b,a).由|AB|＝4|OF|可得eq\f(2b,a)＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(5).答案：D4．[2024·江西五校联考]过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线相交于点M，若|MN|＝|AB|，则直线l的倾斜角为()A．15° B．30°C．45° D．60°解析：分别过A，B，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A′，B′，N′，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)＝eq\f(1,2)|AB|，因为|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝eq\f(1,2)|MN|，所以∠MNN′＝60°，即直线MN的倾斜角为120°，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30°，故选B.答案：B5．[2024·广东六校联考]抛物线y＝2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M的纵坐标的最小值为()A.eq\f(11,8) B.eq\f(5,4)C.eq\f(3,2) D．1解析：通解：由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的方程为y＝kx＋b.由题意知y0≥b>0.联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y＝2x2，))整理得2x2－kx－b＝0，Δ＝k2＋8b>0，x1＋x2＝eq\f(k,2)，x1x2＝－eq\f(b,2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\r(\f(k2,4)＋2b)，点M的纵坐标y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝eq\f(k2,4)＋b.因为弦AB的长为3，所以eq\r(1＋k2)eq\r(\f(k2,4)＋2b)＝3，即(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2,4)＋2b))＝9，故(1＋4y0－4b)(y0＋b)＝9，即(1＋4y0－4b)(4y0＋4b)＝36.由基本不等式得，(1＋4y0－4b)＋(4y0＋4b)≥2eq\r(1＋4y0－4b4y0＋4b)＝12，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(1,8)，,y0＝\f(11,8)))时取等号，即1＋8y0≥12，y0≥eq\f(11,8)，点M的纵坐标的最小值为eq\f(11,8).故选A.优解：由题意得，焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，准线y＝－eq\f(1,8).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则y0＝eq\f(1,2)(y1＋y2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1＋\f(1,8)＋y2＋\f(1,8)－\f(1,4)))＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)－eq\f(1,8)≥eq\f(1,2)|AB|－eq\f(1,8)＝eq\f(11,8).(当且仅当A，B，F三点共线时，取等号)．答案：A6．[2024·安徽示范中学联考]设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的焦点到准线的距离为()A．4或8 B．2或4C．2或8 D．4或16解析：抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq\f(p,2).如图，设准线与x轴的交点为K，则|KF|＝p.过M作MP平行于x轴交准线于P，则|MP|＝|MF|＝5.取MF的中点为N，过N作NQ平行于x轴交准线于Q，交y轴于A，则|NQ|＝eq\f(|MP|＋|FK|,2)＝eq\f(5,2)＋eq\f(p,2)，|AN|＝|NQ|－eq\f(p,2)＝eq\f(5,2)＝eq\f(|MF|,2)，∴以MF为直径的圆与y轴相切，A为切点，即A(0,2)，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，2))，故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)，4))，∴16＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)))，p2－10p＋16＝0，∴p＝2或p＝8，故选C.答案：C7．[2024·湖南四校调研]已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝()A．4 B．6C．8 D．10解析：通解：如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l：x＝－2与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A，则|AN|＝2，|FF′|＝4.在直角梯形ANFF′中，由中位线定理，知|BM|＝eq\f(|AN|＋|FF′|,2)＝3.由抛物线的定义，知|MF|＝|MB|＝3，结合题意，有|MN|＝|MF|＝3，所以|FN|＝|FM|＋|MN|＝6，故选B.优解：设N(0，a)，由题意知F(2,0)，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1