山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2025届高三下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

2025届高三年级3月月考数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B.C.或 D.2.命题的否定是（）A. B.C. D.3.已知复数，则“”是“复数的实部大于0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图，已知，，，，则（）A B. C. D.5.已知，则（）A. B. C. D.6.已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列前5项之和为（）A.62 B.66 C.56 D.467.已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B. C. D.8.设定义在R上的偶函数满足：，且当时.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.的图像可由的图象向左平移个单位得到C.的对称轴为D.在区间上的最大值为10.已知定义在上函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（）A. B.C. D.11.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则（）A.若以为直径的圆经过点，则的离心率为2B.若以为直径的圆经过点，则的离心率为C.若，则的渐近线方程为D.若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于1三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知幂函数的图象经过点，则_______．13.在中，内角的对边分别为，且满足．若，则的最大值为_____．14.四棱锥的底面为正方形，平面，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，，则该四棱锥外接球半径为______；直线l与平面所成夹角的范围为______．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在数列中，，.（1）证明：数列是等差数列.（2）求的通项公式.（3）若，求数列的前项和.16.已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，．（1）若F是PE中点，证明：平面．（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．17.中国数学交通大会暨博览会将于9月在北京新国展举办.为做好本次博览会服务工作，需从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的60名学生进行综合素质考核，将得到的分数分成3段：，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求m的值并估计这60名学生成绩的中位数（中位数保留一位小数）；（2）从报名的60名学生中，根据考核情况利用比例分配的分层抽样法抽取6名学生，再从这6名学生中选取2人进行座谈会，求这2人考核成绩来自同一分数段的概率.18.已知椭圆的焦距为2，点在上．（1）求标准方程；（2）若点与关于坐标原点对称，点在上，求面积的最大值及此时的坐标．19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若函数在上的最大值为0，求实数的取值范围.

2025届高三年级3月月考数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B.C.或 D.【答案】A【解析】【分析】先求集合，再求.【详解】由题意或，所以.故选：A【点睛】本题考查集合的交集，解一元二次不等式，属于基础题型.2.命题的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可.【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以所求否定是.故选：A3.已知复数，则“”是“复数的实部大于0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先求出的实部大于0的充要条件，再结合集合关系进行判断即可.【详解】因，若其实部大于0，则，即，易知，则是的必要不充分条件，即是的必要不充分条件，则“”是“复数的实部大于0”的必要不充分条件，故选：B.4.如图，已知，，，，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出．【详解】由，得，而，所以.故选：B5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦二倍角公式和弦化切思想即可求解.【详解】因为，所以，所以，故选：B.6.已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（）A.62 B.66 C.56 D.46【答案】D【解析】【分析】先求出数列的通项公式，再由分组求和法求解即可.【详解】数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以，所以数列的前5项之和为.故选：D.7.已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的图象可得是函数的极小值点，求出值，再解不等式.【详解】观察图象知，是函数的极小值点，求导得，则，解得，当时，；当时，，则是函数的极小值点，，，不等式，解得，所以不等式的解集为.故选：B8.设定义在R上的偶函数满足：，且当时.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知得出函数是周期函数且4是一个周期，然后利用周期性，奇偶性得出，，，利用导数确定时函数的单调性，从而可比较大小．【详解】∵，是偶函数，∴，即，所以是周期函数，4是其一个周期，，，，时，，，是减函数，∴，∴，故选：B．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.的图像可由的图象向左平移个单位得到C.的对称轴为D.在区间上的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式．再根据的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：根据函数的部分图象，可得，.再根据五点法作图可得，，因为，，又最大值为，∴.的最小正周期为，故A正确；的图像可由的图象向左平移个单位得到，故B正确；令，则，所以的对称轴为，故C不正确；时，，在区间上单调递增，故当时，，故D正确，故选：ABD．10.已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，构造新函数，利用导数判断函数的单调性逐一检查每个选项是否正确.【详解】设，则，所以在上单调递减，对于A，由，即，即，故A正确；对于B，由，即，又，则，故B错误；对于C，由，即，即，故C正确；对于D，由，即，即，故D正确.故选：ACD.11.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则（）A.若以为直径的圆经过点，则的离心率为2B.若以为直径的圆经过点，则的离心率为C.若，则的渐近线方程为D.若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于1【答案】ACD【解析】【分析】由题意写出直线的方程，与渐近线方程联立求出点的坐标,对于A，由圆的性质得，结合向量数量积坐标运算求得间的等量关系，结合离心率定义求出离心率，；对于B，由三角函数求出，，结合双曲线定义求得的值，由此可求离心率，对于C，由知为线段的中点，求出点的坐标，代入双曲线方程求得的值，由此可求渐近线方程；对于D，由双曲线的定义及余弦定理的推论求出，由条件建立不等式可求的取值范围，再求的取值范围.【详解】如图，连接，由题意知直线的方程为，即，直线与双曲线的渐近线平行，所以，则，，联立方程，解得，即，对于A，因为以为直径的圆经过点，则，因为，，所以，解得，则的离心率，所以A正确；对于B，因为以为直径的圆经过点，则，则，，所以由双曲线的定义知，可得，所以的离心率，所以B不正确；对于C，若，则为线段的中点，所以，于是由在双曲线上，得，即，解得，所以，则的渐近线方程为，所以C正确；对于D，因为，所以，由余弦定理的推论得，即，解得，因为点不在圆外，所以，即，解得，所以的渐近线的斜率的绝对值不大于，所以D正确．故选：ACD．【点睛】方法点睛：求双曲线离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：（1）求出，代入公式；（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为关于的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知幂函数的图象经过点，则_______．【答案】##【解析】【分析】由待定系数法即可代入求解.【详解】设，则，故，则，故答案为：13.在中，内角的对边分别为，且满足．若，则的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将边化成角，化简计算得到角B，再根据正弦定理结合辅助角公式将化成关于的三角函数，根据函数性质可求解.另还有一解法，可设，利用余弦定理得到关于的一元二次方程，根据根的判别式可得到关于的不等式，解不等式即可.【详解】由正弦定理可得，即．在中，由，得，所以，又，，所以，所以．解法①：由，结合正弦定理知，所以，所以，其中，当时取等号，所以的最大值为．解法②：设，则，根据余弦定理得，即，因为关于的方程有正实数解，所以，解得，所以的最大值为．故答案为：.14.四棱锥的底面为正方形，平面，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，，则该四棱锥外接球半径为______；直线l与平面所成夹角的范围为______．【答案】①.1②.【解析】【分析】由题可证平面，若平面，则l与平面所成的角为0，若过B的直线l与平面相交于点R，在平面中，过B作直线，与平面相交于点为S，可得为在平面内的射影，为直线l与平面所成的角，求出的范围，得解.【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面，将四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即为长方体的外接球，可得四棱锥的外接球的球心O为的中点，∴，连接，，交点为Q，因为底面为正方形，所以，又平面，且平面，所以，又，平面，平面，所以平面，即平面，若平面，则l与平面所成的角为0．如图，若过B的直线l与平面相交于点R，在平面中，过B作直线，与平面相交于点为S，因为平面，且平面，所以，又，，且，，平面，所以平面，故过B且与垂直的直线与平面的交点的轨迹为直线，又平面，所以，又，且，所以平面，又平面，所以，又平面，所以为在平面内的射影，即为直线l与平面所成的角，且，在中，，，由射影定理求得，而，当且仅当重合时，等号成立，故，∴．综上，直线l与平面所成夹角的取值范围为.故答案为：1；.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在数列中，，.（1）证明：数列是等差数列.（2）求的通项公式.（3）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义即可证明.（2）由（1）的结论与等差数列通项公式即可得到结果.（3）利用分组求和与等差等比前n项和公式即可求得结果.【小问1详解】证明：因为，所以，所以.因为，所以，所以数列是首项和公差均为1的等差数列.【小问2详解】解：由（1）可得，则，故.【小问3详解】解：由（2）可得，则16.已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，．（1）若F是PE中点，证明：平面．（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值.【小问1详解】取的中点为，接，则，而，故，故四边形为平行四边形，故，而平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为，故，故，故四边形为平行四边形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则设平面的法向量为，则由可得，取，设平面的法向量为，则由可得，取，故，故平面与平面夹角的余弦值为.17.中国数学交通大会暨博览会将于9月在北京新国展举办.为做好本次博览会的服务工作，需从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的60名学生进行综合素质考核，将得到的分数分成3段：，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求m的值并估计这60名学生成绩的中位数（中位数保留一位小数）；（2）从报名的60名学生中，根据考核情况利用比例分配的分层抽样法抽取6名学生，再从这6名学生中选取2人进行座谈会，求这2人考核成绩来自同一分数段的概率.【答案】（1），中位数约为（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出的值，再根据中位数计算规则求出中位数；（2）利用分层抽样各层抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】解：由频率分布直方图可得，解得，因为，，所以中位数位于之间，设中位数为，则，解得，即中位数约为.【小问2详解】解：由题意中抽取人，中抽取人，中抽取人，分别记作、、、、、，从中选取人，则可能结果有、、、、、、、、、、、、、、共个结果，其中满足这人考核成绩来自同一分数段有、、、共个结果，所以这人考核成绩来自同一分数段的概率.18.已知椭圆焦距为2，点