河北省邢台市宁晋县质检联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

2024—2025学年高二（下）质检联盟第一次月考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1若函数满足，则（）A. B.4 C.1 D.22.已知函数，则（）A B.C. D.3.如图，直线是曲线在点处的切线，则（）A.1 B.2 C. D.04.已知火箭发射秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为（）A B.C. D.5.“”是“函数有极值”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知定义在上的函数满足，，其导函数满足，则（）A. B.16 C.12 D.247.已知函数在上单调递增，则的取值范围为（）A. B.C. D.8.函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数的导函数的图象如图所示，则（）A.B.C.有2个极大值点，1个极小值点D.的单调递减区间为，10.若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（）A. B.C D.11若，，，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数，则________．13.如果函数满足在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”．函数在上的“拉格朗日中值”为________．14.已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若曲线与轴相交于点，求该曲线在点处的切线方程；（2）若曲线上点的切线与坐标轴围成的三角形面积为，求点的坐标．16.已知函数．（1）若在上不单调，求的取值范围；（2）若，求在上的值域．17.将一个边长为2分米的正八边形硬纸片的八个角截去八个全等的四边形，再把它沿虚线折起，如图所示，做成一个无盖的正八棱柱纸盒（忽略纸片厚度）．（参考数据：）（1）试把该正八棱柱纸盒的容积（单位：立方分米）表示为盒底正八边形边长（单位：分米）的函数．（2）试问当盒底正八边形边长为何值时，这个正八棱柱纸盒的容积最大？容积的最大值是多少立方分米？18.已知函数，，．（1）求的单调区间．（2）若的最大值为1，证明：对任意的，．（3）当时，若恒成立，求实数的取值范围．19.若连续函数的极值点是函数的零点，为函数的导函数，且存在实数满足，则称是的强化原生函数，记的最大值为，则为的强化原生系数．已知函数．（1）设函数，证明有唯一极值点，并求出满足的整数的值．（2）设函数，函数．已知是的强化原生函数．（i）证明：．（ii）求的强化原生系数的最小值．

2024—2025学年高二（下）质检联盟第一次月考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1若函数满足，则（）A. B.4 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义合理变形即可.【详解】.故选：C.2.已知函数，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复合函数的求导法则即可得到答案.【详解】因为，则.故选：B.3.如图，直线是曲线在点处的切线，则（）A.1 B.2 C. D.0【答案】A【解析】【分析】根据图形，利用两点表示直线的斜率，结合导数的几何意义计算即可求解.【详解】由图可知，切线过点，所以切线的斜率为，又由导数的几何意义知.故选：A4.已知火箭发射秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求导得，计算即可.【详解】，则火箭发射后第5秒时，火箭爬高的瞬时速度为.故选：B.5.“”是“函数有极值”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】对函数求导，根据的解析式得到函数有极值的充要条件，再判断的情况即可.【详解】，所以，若函数有极值点，则方程的判别式大于，即，整理得：，解得，所以是函数有极值的充要条件，所以“”是“函数有极值”的充分不必要条件.故选：B6.已知定义在上的函数满足，，其导函数满足，则（）A. B.16 C.12 D.24【答案】D【解析】【分析】根据，构造函数，再根据，求出,进而赋值得到结果.【详解】根据，构造函数，由，则,则，令，则，令，则.故选：D.7.已知函数在上单调递增，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数在上递增，得到在上恒成立，由此得到不等式，再反解得到，，构造函数，，利用导函数求出的单调性，求出函数的最小值即可求解.【详解】由，得，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即，，整理得：，，令，，则，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极小值，且为最小值，所以.故选：B8.函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，求导确定在R上单调递减，不等式等价于，即，运算得解.【详解】令，则，，，即在R上单调递减，又，则不等式等价于，，即，，解得.所以不等式的解集为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数的导函数的图象如图所示，则（）A.B.C.有2个极大值点，1个极小值点D.的单调递减区间为，【答案】BCD【解析】【分析】根据导数单调性和极值与导函数图象一一分析即可.【详解】对A，由图知当时，，此时单调递减，则f-1>f1，故A错误；对B，当时，，此时单调递增，则，故B正确；对C，由图知，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则为的极大值点；，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，则为的极小值点；，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则为的极大值点；则有2个极大值点，1个极小值点，故C正确；对D，当时，，当时，，则的单调递减区间为，，故D正确.故选：BCD.10.若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先对函数求导，得到关于的方程，根据“二倍阶值点”的定义，探究方程的解是否存在，逐个选项进行判断即可求解.【详解】对于A，，，由得，解得，所以函数存“二倍阶值点”，A正确；对于B，，，由得，因为，，解得，所以函数存在“二倍阶值点”，B正确；对于C，，，由得，令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，有极小值也是最小值，所以无解，所以函数不存“二倍阶值点”，C错误；对于D，，，由得，令，，所以上单调递增，又，，根据零点存在性定理可知在上存在零点，所以方程有解，所以函数存在“二倍阶值点”，D正确；故选：ABD11.若，，，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用作差法，适当放缩比较、和、的大小，得到、、的大小关系即可求解.【详解】，，，，所以，，所以，所以，所以B、C、D正确，A错误.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数，则________．【答案】6【解析】【分析】求导得，代入即可得到答案.【详解】，则，解得.故答案为：6.13.如果函数满足在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”．函数在上的“拉格朗日中值”为________．【答案】【解析】【分析】根据“拉格朗日中值”的定义及函数的导数得到方程，解方程即可求解.【详解】设函数的“拉格朗日中值”为，根据已知条件有：，因为，，所以，，根据题意有：，整理得：，因为，所以.故答案为：14.已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由可得，令，利用导数分析函数的单调性可知，设，由图象可知，函数有两个不等的零点、，且，，利用二次函数的零点分布可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，由可得，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数的增区间为，减区间为，且当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：设，由图象可知，函数有两个不等的零点、，且，，若，解得，此时，，由可得或，不合乎题意；若，可得，则，由，解得，不合乎题意；所以，，，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若曲线与轴相交于点，求该曲线在点处的切线方程；（2）若曲线上点的切线与坐标轴围成的三角形面积为，求点的坐标．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求出曲线与轴的交点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；（2）设出点的坐标，利用导数的几何意义求出切线的方程，进而求出切线与坐标轴围成的三角形面积，运算得解.【小问1详解】由，令，得，所以曲线与轴的交点为，又，则曲线在点处切线的斜率为，所以曲线在点处切线的方程为，即.【小问2详解】设，，，则切线的斜率，所以切线的方程为，即，，令，得，令，得，所以切线与坐标轴围成的三角形面积为，解得，所以点的坐标为或.16.已知函数．（1）若在上不单调，求的取值范围；（2）若，求在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意知方程在R上有解，结合计算即可求解；（2）利用导数研究函数的单调性即可求解.【小问1详解】由题意知，，因为在R上不单调，所以方程在R上有变号零点，即方程在R上有两解，得，解得，即实数的取值范围为.【小问2详解】当时，，则，令或，所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，且，所以在上的值域为.17.将一个边长为2分米的正八边形硬纸片的八个角截去八个全等的四边形，再把它沿虚线折起，如图所示，做成一个无盖的正八棱柱纸盒（忽略纸片厚度）．（参考数据：）（1）试把该正八棱柱纸盒的容积（单位：立方分米）表示为盒底正八边形边长（单位：分米）的函数．（2）试问当盒底正八边形边长为何值时，这个正八棱柱纸盒的容积最大？容积的最大值是多少立方分米？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件求出八边形内角，根据几何关系将正八棱柱的底面积和高用表示，即可求解；（2）对求导，利用导数，判断原函数的单调性，求得最大值即可求解.【小问1详解】根据已知条件，得到如上图所示图形，已知条件有正八边形的内角为，所以，，，设，，在中，，解得，在中，，，所以，所以，正八边形面积为：，所以正八棱柱纸盒的容积：，.即，.【小问2详解】因为，，所以，，所以，，所以当时，，单调递增，所以当时，，单调递减，由此可知当时，取得极大值即最大值.18.已知函数，，．（1）求的单调区间．（2）若的最大值为1，证明：对任意的，．（3）当时，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）单调递增，在单调递减（2）证明见详解（3）【解析】【分析】（1）求导，分别令和，即可得到对应的增区间和减区间；（2）根据题意求出参数，构造函数，利用导数研究函数的最值即可证明；（3）构造函数，利用导数研究函数的最值进而列出不等式求解即可.【小问1详解】的定义域为，令得，令得，令得，在单调递增，在单调递减.【小问2详解】由（1）知，，，要证，即证，即证，即证，构造函数，则，令得，令得，在单调递增，在单调递减，，即恒成之，当且仅当时等号成立.，，使得，恒成立，故对于任意的，.【小问3详解】当时，，若恒式立,即恒式立，即，即恒成立，由（2）可