2017年湖北省高等教育自学考试微分几何试卷（A卷）

第3页（共5页）2017年湖北省高等教育自学考试微分几何试卷（A卷）（课程代号：2019）说明：下面我们用表示曲面的第一基本量，用表示曲面的地二基本量。题号一二三四五六七八九十总分题分101010203020一、单项选择题（本大题共10小题，每小题1分，共10分）1．如果（一个常数），则A．是常向量B．C．D．2.下列几何量哪一个不是内蕴量？A．平均曲率B．高斯曲率C．D．3．如果曲线的挠率恒为零，则该曲线一定是A．测地线B．平面曲线C．球面曲线D．一般螺线。4．曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是A．B．C．D．5．测地曲率为零的曲线叫A．渐近线B．曲率线C．杜邦指标线D．测地线6．下面的曲面之中，哪一个的高斯曲率等于？A．伪球面B．球面C．平面D．抛物面7．如果曲面在某点的两个主曲率相等，则曲面在这一点的高斯曲率A．非正B．非负C．为零D．非零8．如果曲面上两个方向和满足，则这两个方向A．正交B．平行C．共轭D．是渐近方向9．如果曲面满足，则是A．法曲率B．主曲率C．主曲率的相反数D．测地曲率10．高斯曲率小于零的点一定是A．椭圆点B．抛物点C．平点D．双曲点二、多项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）11．下列曲线中哪些是正则曲线A．B．C．；D．E．12．下面曲面之中哪些是旋转曲面？A．球面B．正螺面C．悬链面D．平面E．圆柱面13．曲面的第二基本形式为A．B．C．D．E．14．下面公式哪些是正确的？A．B．C．D．E．15.在脐点处，下列命题哪些是正确的？（）A．第二基本形式与第一基本形式成比例B．法曲率与切方向无关C．第三基本形式为零D．平均曲率等于主曲率E．高斯曲率与平均曲率之比为常数三、填空题（本大题共10小题，每小题1分，共10分）16．在伏雷内公式中，____________________。17．半径是的球面的高斯曲率为___________。18．极小曲面的平均曲率是。19．曲线的切向量为。20．设曲面的第一基本形式为，则-曲线与-曲线的夹角为。21．曲面的第三基本形式与第一、第二基本形式之间的关系是。22．平面上的测地线是。23．如果曲面上取半测地坐标网，则第一基本形式为。24．设曲面的高斯曲率是0，则曲面上的测地三角形的三内角之和为。25．两个向量函数的向量积的导数公式为。四、简单计算题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）26．计算曲线的弧长。27．求曲线在点处的切线方程。28．设曲面在某点处的第一基本量为，第二基本量为，求曲面在该点沿方向的法曲率。29．已知，，，求混合积。30．设，，求它们的夹角余弦。五、综合计算题（本大题共3小题，30分）31．设曲线的参数表示为，其中，，请计算在任意点处的曲率和挠率。32．求曲面：的高斯曲率和平均曲率。33．求位于正螺面上的圆柱螺线，，的测地曲率。六、证明题（本大题共2小题，20分）34.设直纹面的向量表示为。证明该直纹面的高斯曲率，等号成立的充要条件是直纹面可展，即。35．设有曲面，其单位法向量是，高斯曲率是。证明。

附件：试题来源一览表题号章.节题号章.节题号章.节题号章.节题号页码题号页码11.1111.3212.3311.4415122.2122.1222.6322.3425231.4132.2232.6332.6435342.2142.5242.6342.4445452.6152.6251.2352.3455562.31