2025年中考数学二轮专题圆训练：解答题一证一求

年中考数学二轮专题圆训练：解答题一证一求1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC．（1）证明：AD是⊙O的切线；（2）若AC＝6，∠B＝30°，求阴影部分的面积．2．如图，点B是线段AP上一点，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线PC，点C为切点，过点C作CE∥AB交⊙O于另一点E，连接OE、OC、BE，延长CO交⊙O于点D．（1）求证：∠AOD＝2∠BEO；（2）若CE＝2，cos∠COP=13，求3．如图，已知AB为⊙O的直径，DC平分∠ADB，交⊙O于点C，交AB于点F，∠CAD＝75°．延长AB至点E，使BE＝BD，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BC=42，求图中阴影部分的面积（结果保留π4．如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC＝DE．（1）求证：OD⊥AB；（2）若OA＝2OE，DF＝2，求PB的长．5．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若BE＝2，BF＝6，求sinC的值．6．如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC．（1）求证：AC平分∠BAE；（2）若AC＝6，tan∠ACE=12，求⊙7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝6，求AB．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的直径为5，cosC=45，求9．如图，△ABC中，AB＝AC，以BC为直径作⊙O，与边AC交于点D，过点D的⊙O的切线交BC的延长线于点E．（1）求证：∠BAC＝2∠DBC；（2）若cos∠BAC=35，DE＝4，求10．如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点M，作CD⊥AC交AB延长线于点D，过点B作⊙O的切线BE，交CD于点E．（1）证明：BE＝DE；（2）若⊙O的半径为5，AM＝4，求CD的长．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于点D，E，延长AB到点F，连接CF，CF是⊙O的切线．（1）求证：∠BAC＝2∠BCF；（2）若BD＝2，CE=5，求FB12．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，DE是⊙O的切线且交AC于点E，延长CA交⊙O于点F．（1）求证：DE⊥AC；（2）若sinC=55，DE＝3，求13．如图，在△ACD的外接圆中，弦AB平分∠DAC，AC＝AD，过点B作圆的切线BE，交AD的延长线于点E．（1）求证：CD∥BE；（2）已知，AC＝5，sin∠CAB=35，求14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜90°，以AB为直径作⊙O分别交BC、AC于点M、N，过点M作⊙O的切线交AC于点D．（1）求证：NM=（2）若AB＝17，BM＝8，求MD的长．15．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为CB上一点，且CF=CA，连接BF并延长交射线DC于点（1）求证：DE⊥BE；（2）若DC=53EC，DA16．如图，在△ABC中，O为边BC上一点，⊙O过点C，且与AB相切于点D，连接CD，OD，AD＝AC．（1）求证：△ABC为直角三角形．（2）延长DO与⊙O交于点E，连接CE，若AD＝DE＝6，求CE的长．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC＝CD，过C作AD的垂线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．（1）求证：EF为⊙O的切线．（2）若点G为⊙O上一点且位于AB下方，且cos∠BGD=45，BE＝2，求18．如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．（1）求证：AE2＝AF•AD；（2）若sin∠ABD=255，AB＝5，求S

参考答案1．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠ABC+∠BAC＝90°．又∵∠CAD＝∠ABC，∴∠CAD+∠BAC＝90°．即∠DAB＝90°，∴DA⊥AB，∵OA是半径，∴直线AD与⊙O相切．（2）解：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°，又∵AC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝2AC＝12，∴BC=AB2∴S△ACB=1∴S△OBC∴阴影部分的面积＝S扇形BCO﹣S△BCO=120π×62360−92．（1）证明：∵CE∥AB，∴∠COP＝∠OCE，∠AOE＝∠OEC，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠COP＝∠AOE，∵∠COP＝∠AOD，∴∠AOD＝∠AOE，由圆周角定理得：∠AOE＝2∠OBE，∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠BEO，∴∠AOD＝2∠BEO；（2）解：如图，过点O作OF⊥CE于F，则CF＝EF=12∵cos∠COP=13，∠COP＝∠∴cos∠OCE=13，即∴OC＝3，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵cos∠COP=1∴OCOP∴OP＝9，∴PC=OP23．（1）证明：DC平分∠ADB，交⊙O于点C，交AB于点F，∠CAD＝75°．延长AB至点E，使BE＝BD，连接OD，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴∠ADC=1∵AC=∴∠ABC＝∠ADC＝45°，∴∠CAB＝45°，∵∠CAD＝75°，∴∠BAD＝∠CAD﹣∠DAB＝30°，∴∠ABD＝60°，∵OB＝OD，∴OB＝BD，∠ODB＝60°，又∵BE＝BD，∠ABD＝∠E+∠BDE，∴∠E=∠BDE=1∴∠ODE＝∠ODB+∠BDE＝60°+30°＝90°，即∠OBE＝90°，又∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线；（2）∵Rt△ACB中，∠CAB＝∠ABC＝45°，BC=4∴AB=2BC=8，则由（1）可得△OBD是等边三角形，∴∠OBD＝60°过点D作DG⊥OB于点G，∴OG=1∴GD=O∴S阴影4．（1）证明：连接OC，∵PC是切线，∴OC⊥CD，即∠DCE+∠ACO＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO．∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC．∵∠DCE＝∠DEC，∠AEO＝∠DEC，∴∠AEO+∠CAO＝90°，∴∠AOE＝90°，∴OD⊥AB；（2）解：设OE＝x，则AO＝OF＝BO＝2x，∴EF＝OF﹣OE＝x，OD＝OF+DF＝2x+2，∴DC＝DE＝DF+EF＝2+x，在Rt△ODC中，OD2＝CD2+OC2，∴（2+2x）2＝（x+2）2+（2x）2，解得x1＝4，x2＝0（舍去）∴OD＝10，CD＝6，OC＝8，∵tanD=OP∴OP10解得OP=40∴PB=OP−OB=165．（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠C＝∠ODA，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴半径OD⊥DE，∴DF为⊙O的切线；（2）解：由（1）知：OD∥BC，∴△FBE∽△FOD，∴OD：OF＝BE：FB＝2：6＝1：3，∵OB＝OD，∴OB：OF＝1：3，∴OB：BF＝1：2，∵OB：AB＝1：2，∴AB＝BF＝6，∴BC＝AB＝6，∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝BC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠BED＝∠ADB＝90°，∴△BED∽△BDA，∴BE：BD＝BD：AB，∴2：BD＝BD：6，∴BD＝23，∴sinC=BD6．（1）证明：连接OC，则OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，∴DC⊥OC，∵AE⊥DC，∴AE∥OC，∴∠EAC＝∠OCA，∴∠BAC＝∠EAC，∴AC平分∠BAE．（2）解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，DE⊥OC于点C，∴∠ACB＝∠OCE＝90°，∴∠OCB＝∠ACE＝90°﹣∠OCA，∵OC＝OB，AC＝6，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠ACE，∴ACBC=tanB＝tan∠ACE∴BC＝2AC＝12，∴AB=AC2∴OA=12AB＝3∴⊙O的半径长为35．7．（1）证明：∵AD为⊙O的切线，∴BA⊥AD，∴∠D+∠ABD＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EBC+∠ACB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB，∴∠D＝∠EBC；（2）解：∵CD＝2BC，∴BCBD∵∠D＝∠EBC，∠BAD＝∠CEB＝90°，∴△BEC∽△DAB，∴ECAB=BC解得：AB＝9．8．（1）证明：∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴DE⊥AC；（2）解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∵AB＝5，∴AC＝AB＝5，在Rt△ADC中，cosC=CD∴CD＝4，在Rt△CED中，cosC=CE∴CE=16∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∵AB为⊙O的直径，∴∠BFA＝90°，∵DE⊥AC，∴DE∥BF，∴EF＝CE=16∴CF=329．（1）证明：连接AO，如图，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠OAC，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠BCD＝90°，∵∠OAC+∠BCD＝90°，∴∠OAC＝∠DBC，∴∠BAC＝2∠DBC；（2）解：连接OD，如图，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，∵∠COD＝2∠DBC，∠BAC＝2∠DBC，∴∠COD＝∠BAC，∴cos∠COD＝cos∠BAC=3在Rt△ODE中，∵cos∠EOD=OD∴设OD＝3x，OE＝5x，∴DE=(5x)2即4x＝4，解得x＝1，∴OD＝3，OE＝5，∴BE＝OB+OE＝3+5＝8．10．（1）证明：∵CD⊥AC，∴∠A+∠D＝90°，∵BE与⊙O切于点B，∴CB⊥BE，∴∠CBA+∠EBD＝90°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBA，∴∠EBD＝∠D，∴BE＝DE；（2）解：如图，连接MB，∵BC是⊙O的直径，⊙O的半径为5，∴BM⊥AC，BC＝AC＝2×5＝10，∵AM＝4，∴MC＝AC﹣AM＝10﹣4＝6，∴MB=B∵AC⊥CD，∴MB∥DC，∴∠MBC＝∠BCE，∵∠BMC＝∠CBE＝90°，∴△BMC∽△CBE，∴CMBE∴6BE∴BE=15∴DE＝BE=15∵过点B作⊙O的切线BE，∴∠CBE＝90°，∵CE=C∴CD=CE+ED=2511．（1）证明：连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC+∠ECA＝90°，∵CF是⊙O的切线；∴∠BCF+∠ECA＝90°，∴∠EAC＝∠BCF，又∵AB＝AC，∴∠CAE=12∠∴∠BCF=12∠∴∠BAC＝2∠BCF；（2）解：连接CD，∵AB＝AC，∠AEC＝90°，∴BC＝2CE＝25，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠CDF＝90°，∴CD=B设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣2，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，即（x﹣2）2+42＝x2，解得：x＝5，∴AB＝AC＝5，AD＝3，又∵∠ADC＝∠ACF＝90°，∠FAC＝∠CAD，∴△ACD∽△AFC，∴ADAC=AC解得：AF=25∴FB＝AF﹣AB=253−12．（1）证明：连接OD，如图1所示：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥AC；（2）解：连接FD，如图2所示：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，又∵∠F＝∠B，∴∠F＝∠C，∴sinC＝sinF=5由（1）可知：DE⊥AC；∴在RtDEF中，sinF=DE∵DE＝3，∴FD=35由勾股定理得：EF=F13．证明：（1）设AB与CD的交点为F，连接BD，∵AC＝AD，AB平分∠DAC，∴AB⊥CD，DF＝CF，∴AB是直径，∵BE是△ACD的外接圆的切线，∴BE⊥AB，∴CD∥BE；（2）∵AC＝5，sin∠CAB=3∴CF＝3＝DF，∴AF=AD∵cos∠DAB=AD∴AB=5×5∵tan∠DAB=BE∴BE25∴BE=7514．（1）证明：连接AM，∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，又∵AC＝AB，∴∠CAM＝∠BAM，∴NM=（2）连接OM，DM是作⊙O的切线，则∠OMD＝90°，∵AC＝AB＝17，∠AMB＝90°，∴CM＝BM＝8，∴AM=∴OM是△ABC的中位线，∴OM∥AC∴∠CDM＝∠OMD＝90°，又∵S△AMC∴MD=CM×AM15．（1）证明：如图，连接OC，∵CF=∴∠ABC＝∠EBC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC，∴∠OCB＝∠EBC，∴OC∥BE（内错角相等，两直线平行），∵ED为⊙O的切线，点C为切点，∴半径OC⊥DE，∴∠OCD＝∠E＝90°，∴DE⊥BE；（2）解：∵DC=5∴可设DC＝5a，EC＝3a，∴DE＝8a，设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OD＝DA+OA＝4+r，DB＝4+2r，由（1）可知，OC∥BE，∴△DCO∽△DEB，∴DCDE即5a8a解得r＝6，∴⊙O的半径为6，∵△DCO∽△DEB，∴OCBE∴BE=816．（1）证明：∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°，∴∠ADC+∠ODC＝90°．∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ACD+∠OCD＝90°．即∠ACO＝90°，∴△ABC为直角三角形；（2）解：∵AD＝DE＝6，OE=12∴OE=12由（1）知：∠ADO＝∠ACO＝90°，∴∠DOC+∠A＝180°．∵∠DOC+∠EOC＝180°，∴∠A＝∠EOC．∵DE为⊙O的直径，∴∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠OCE＝∠ACD．∴△OCE∽△ACD，∴CECD设CE＝x，则CD＝2x，∵CE2+CD2＝DE2，∴x2+（2x）2＝6