2025年 九年级数学中考二轮复习 图形的变换常考考点分类 解答题专题提升训练

2025年春九年级数学中考二轮复习《图形的变换常考考点分类》解答题专题提升训练（附答案）一、图形的平移1．如图①，将三角形ABD平移，使点D沿BD的延长线移至点C得到三角形A′B′D′，连接AC，交A′B(1)猜想∠B′EC(2)如图②，将三角形ABD平移，使点A沿AC移至点A′得到三角形A′B′D′．如果AD平分2．三角形ABC与三角形A′(1)分别写出下列各点的坐标：A______，B______，C______；(2)三角形ABC是由三角形A′(3)若点Px,y是三角形ABC内部一点，求三角形A′B(4)求三角形ABC的面积．3．如图，直线l1∥l2，线段AB的端点A在l1(1)如图1，平行移动线段AB到CD，点M在线段CD上，连接AM,BM．如果△AMC的面积为S1,△BMD的面积为S2,△AMB的面积为(2)如图2，平行移动线段AB到CD，直线CE交线段BD于点E，点N在直线l2上点D的右侧；连接AE；把△CDE沿着直线CE翻折，点D的对应点F恰好落在线段AE上；线段AB与直线l2的夹角为①若α=60°，∠ACF=10°，求∠DCE的度数．②探究：如果∠CAE=∠CED，那么是否存在α，使得直线CF⊥AE，同时CE,CF把∠ACD三等分？如果存在，请求出α的值；如果不存在，请说明理由．4．如图1，点A1,a、点B0，1在直线y=2x+b上，反比例函数

(1)求a和k的值；(2)将线段AB向右平移m个单位长度m>0，得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作CF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求线段CE的长度；②在线段AB运动过程中，连接AD，若△ACD是直角三角形，求所有满足条件的m值．5．如图，抛物线y=ax2+bx−3a≠0与x轴交于A−1,0，B(1)求该抛物线的函数表达式；(2)将抛物线y=ax2+bx−3a≠0先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以B，C，D，6．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，点A的坐标是3,0，点B的坐标是a,b且a−22+b−3=0点C在(1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______(2)在x轴上是否存在点P，使S△PBC=2(3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线CH，连接BH，点M在射线CH上运动(不与点C、H重合)，试探究∠HBM，二、轴对称与轴对称图形7．如图，等边△ABC中，D是AB边上一点，且AD<BD，点D关于直线AC的对称点为E连接CD，DE，在线段CD上取一点F，使得∠EFD=60°，直线EF与直线BC交于点G．(1)①依题意补全图形；②若∠ACD=α，求∠CGE的度数（用含α的代数式表示）；(2)用等式表示线段AD与BG的数量关系，并证明．8．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED=4cm(1)求出BF的长度；(2)求∠CAD的度数；(3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？9．如图，已知A(2，(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A(2)若△ABC中有一点M坐标为x,y，请直接写出经过以上变换后△A1B1C1中点(3)P在y轴上，且PA+PC最小，直接写出点P的坐标为．10．如图，点P是△ABC内部一点，点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点．(1)求证：AE=AD；(2)当∠CAB=90°时，求证：D，A，E三点在同一条直线上；(3)∠ADC，∠BFC，∠BEA的和是定值吗？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x+3的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，直线l经过原点与线段AB交于点C，且△AOC和△BOC的面积比是2:1．(1)求A,B两点的坐标；(2)求直线l的解析式．(3)在x轴上是否存在点M，使BM+CM的值最小，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．12．在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，连接AE，将△AED沿AE翻折得到△AEF，连接BF并延长交CD于点G．(1)如图1，若AF=BF，直接写出EG和FG的数量关系和∠EGF的度数．(2)如图2，若F为BG的中点，求ABAE(3)如图3，连接CF并延长交AE于点H，若DECG=23，13．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−4,0),B(0,1),C(−2,3)．(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点A的对应点A1(2)若△A2B2C2和△ABC关于原点(3)将△ABC绕坐标原点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B14．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上的动点(点D与点B，C不重合)，连接AD，作△ABD关于AD对称的△AED，设∠ADB=α．(1)当DE平分∠ADC时，①求α的值；②求证：BD=AD+CD；(2)若点E与点C不重合，连接CE，当CE=AD时，求α的值．三、图形的旋转15．如图1，正方形ABCD中，AB=4，点E为边BC上的点，FG为DE的垂直平分线，垂足为M，交AB边于点F，交CD边于点G，将FG绕点F顺时针旋转90°得到线段FH，连接EH．(1)四边形DEHF的形状为___________；(2)若四边形DEHF为菱形时，求CE的长；(3)如图2，点E在BC上运动过程中，当点H,B,G三点共线时，判断BH,BG,BF之间的数量关系，并说明理由．16．综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片ABC和DEC中，CB=CE=3，AB=DE=4，∠ABC=∠DEC=90°．【初步感知】（1）如图1，连接AD、BE，在纸片CDE绕点C旋转过程中，求BE:AD的值．【尝试证明】（2）如图2，在纸片CDE绕点C旋转过程中，当点E恰好落在△ABC的中线BG的延长线上时，求证：BE∥【深入探究】（3）如图3，在（2）的条件下，延长DE交AC于点F，求tan∠ECF17．综合与实践：折纸和剪纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸和剪纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=5，点E为边AB上一点，沿直线CE将矩形纸片折叠，使点B落在AD边上的点B′（1）填空：AB【拓展应用】（2）如图2，展开后，将△CB′E剪下来沿线段AD向右平移，使点B′的对应点与点D重合，得到△C′DE′（3）如图3，将剪下来的△CB′E绕点B′旋转得到△C′B′E′，连接18．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6，AC=DE=8，旋转角为α（0°<α<360°【初步感知】（1）如图1，将三角形纸片BDE绕点B旋转，连接AE，CD，求AECD【深入探究】（2）如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长线上时，延长ED交AC于点G，求AG的长；【拓展延伸】（3）在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角形．若能，求线段AD的长度；若不能，请说明理由．19．某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB(1)当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF=AB；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD=AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM=EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：推理证明：写出图①的证明过程：探究问题：(2)当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断线段BD，EF，AB之间的数量关系并证明；拓展思考：(3)在（1）（2）的条件下，若AC=63，△ACD面积是△ABD面积两倍，则△AEF20．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=3，AC=3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，(1)判断点E是否在y轴上，并说明理由；(2)求抛物线的函数表达式；(3)在x轴的上方是否存在点P，Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）解：∠B∵AD平分∠BAC∴∠BAC=2∠BAD由平移的性质，得∠BAD=∠A′∴∠（2）解：A′D′由平移的性质，得∠B′∴∠BAC=∠∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∴∠B′A′2．（1）解：由图知得：A1,4故答案为：1,4,（2）解：由图可得：三角形A′B′C′是由三角形ABC（3）解：由题意和（3）可得，P′的坐标为x−4,y−2（4）解：三角形ABC的面积=2×3−13．（1）解：S1理由如下：由平移性质可得AB∥CD，AB=CD，过点A，B分别作AE⊥CD，BH⊥CD，垂足分别是点E和点H，过点M作MN⊥AB，垂足为N，如图所示：∴AE∥MN∥BH，AE=MN=BH，∵△AMC的面积为S1，△BMD的面积为S2，△AMB的面积为∴S1=12×MC×AE∴S===1∴S1∴S（2）解：①如图，由平移性质可得AB∥CD，∴∠ABD=∠CDN=α=60°，∵直线l1∴∠CDN=∠ACD，∴∠ACD=α=60°，∵三角形CDE沿着直线CE翻折，∴∠DCE=∠ECF，∵∠DCE+∠ECF+∠ACF=∠ACD，∴∠DCE+∠DCE+10°=60°，∴∠DCE=25°；②存在a=90°时，直线CF和直线AE互相垂直，同时CE，CF把∠ACD三等分，理由如下：由平移性质可得AB∥CD，∴∠ABD=∠CDN=α=90°，∴∠CDE=90°，∵直线l1∴∠CDN=∠ACD=90°，∴∠CED=∠ACE，∴∠CAE+∠AED=180°，∵三角形CDE沿着直线CE翻折，∴∠ECD=∠ECF，∴∠CED=∠CEF，∴∠CFE=∠CDE=90°，∴CF⊥AE，∴∠CAE+∠FEC+∠CED=180°，∴∠CED=∠FEC=∠CAE=60°，∴∠CED=∠ACE=60°，∵∠ACD=90°，∴∠ECD=∠ACD−∠ACE=90°−60°=30°，∵∠ECD=∠ECF，∴∠ECD=∠ECF=30°，∴∠ACF=30°，∴∠ECD=∠ECF=∠ACF=30°=1∴CE、CF把∠ACD三等分，∴a=90°时，直线CF和直线AE互相垂直，同时CE，CF把∠ACD三等分．4．（1）解：将点B0，1代入y=2x+b∴一次函数解析式为y=2x+1，将点A1,a代入y=2x+1得：a=2+1=3∴A1将点A1，3代入y=∴反比例函数解析式为y=3（2）解∶①∵点D恰好落在反比例函数图象上，点D是点B平移后的对应点，∴点D的纵坐标为1，当y=1时，1=3x∴D3，1∴C4∵点C作CF⊥x轴，交反比例函数图象于点E，∴E4∴CE=CF−EF=3−34②若∠CAD=90°，如图1所示，则D1，1若∠ACD=90若∠ADC=90°，如图2所示，设Cm+1，3则ADCDAC∵△ACD为直角三角形∴A∴m解得m=5综上，m的值为1或5．

5．（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−3a≠0与x轴交于∴a−b−3=09a+3b−3=0解得：a=1b=−2∴抛物线的函数表达式为y=x（2）∵将抛物线y=x2−2x−3先向右平移∴y′∴抛物线y′=x−2∵抛物线y=x2−2x−3与y∴C0,−3∵B3,0，∠BOC=90°∴OC=OB=3，∠BCO=∠CBO=45°，①如图，当BC为矩形BCDE一边，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴，∴∠BCD=90°，∠DFC=90°∴∠DCF=180°−∠BCO−∠BCD=180°−45°−90°=45°，∴∠CDF=90°−∠DCF=90°−45°=45°=∠DCF，∴CF=DF，∵D在y′的对称轴直线x=2上，C∴FD=2，OC=3，∴CF=FD=2，∴OF=OC+CF=3+2=5，∴点D2,−5∴点C向右平移2个单位，向下平移2个单位可得到点D，∴点B向右平移2个单位，向下平移2个单位可得到E5,−2②当BC为矩形BCED一边，且点D在x轴的上方，y′的对称轴直线x=2与x轴交于点F∴∠DBC=90°，∠DFB=90°，∵D在y′的对称轴直线x=2∴FO=2，∴BF=OB−OF=3−2=1，∵∠CBO=45°，∴∠DBO=90°−∠CBO=90°−45°=45°，∴∠BDF=90°−∠DBO=90°−45°=45°=∠DBF，∴DF=BF=1，∴D2,1∴点B向左平移1个单位，向上平移1个单位可得到点D，∴点C向左平移1个单位，向上平移1个单位可得到点E−1,−2综上所述，点E的坐标为−1,−2或5,−2时，以B,C,D，E为顶点，且以BC为边的四边形是矩形．6．（1）解：∵a−2∴a−2=0，∴a=2，b=3，∴B2,3∵A0,3∴OA=3，∵AC=5，∴OC=2，∵点C在x轴的负半轴，∴C−2,0故答案为：2,3，−2,0；（2）∵点P在x轴上，设Px,0∴PC=x+2由题意得：12解得：x=143或∴P43,0（3）①当点M在点H的上方且在直线AB下方时，∠MAC=∠AMB+∠HBM，证明：设AM交BH于J，

∵BH∥AC∴∠CAM=∠HJM，∵∠HJM=∠AMB+∠HBM，∴∠MAC=∠AMB+∠HBM；②如图，点M在H上方且在直线AB上方时，同理可得∠HBM=∠BMA+∠MAC．③当点M在线段CH上(不与C，H重合)时，∠AMB=∠CAM+∠HBM，

作MK∥∵HB∥∴MK∥∴∠HBM=∠BMK，∴∠AMB=∠BMK+∠AMK=∠CAM+∠HBM．7．（1）解：①如图所示，②∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BAC=∠BCA=60°，∵∠ACD=α，∴∠FCG=∠BCA−∠ACD=60°−α，∵∠EFD=60°，∴∠GFC=∠EFD=60°，∴∠CGE=180°−(∠FCG+∠GFC)=180°−60°−α+60°（2）线段AD与BG的数量关系是：BG=2AD，证明如下：连接AE，CE，延长BA，GE交于点H，如图所示：∵点D关于直线AC的对称点为E，∴AD=AE，CD=CE，∠BAC=∠EAC=60°，∠ACD=∠ACE=α，∴∠HAE=180°−(∠BAC+∠EAC)=60°=∠B，∠ECG=∠ACE+∠BCA=60°+α，∴AE∥BC，∠ECG=∠CGE=60°+α，∠BAC=∠HAE=60°，∴∠AEG=∠CGE=60°+α，GE=CE，又∵∠AEG=∠HAE+∠H，∴60°+α=60°+∠H，∴∠H=α，∴∠ACD=∠H=α，在△ACD和△AHE中，∠BAC=∠HAE∠ACD=∠H∴△ACD≌△AHEAAS∴AC=AH，∵AB=AC，∴HA=AB，又∵AE∥BC，∴△HAE∽△HBG，∴AE∴BG=2AE，∴BG=2AD．8．（1）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED=4cm∴BC=ED=4cm∴BF=BC−FC=3cm（2）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC=76°,∠EAC=58°，∴∠EAD=∠BAC=76°，∴∠CAD=∠EAD−∠EAC=76°−58°=18°．（3）解：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：如图，∵E,C关于直线MN对称，∴直线MN垂直平分线段EC．9．（1）解：如图，△A（2）解：由题意知，点Mx,y与点M′关于点M′的坐标为x故答案为：x，（3）解：取点A关于y轴的对称点A′，连接A′C，交y轴于点P此时PA+PC=PA则点P即为所求．设直线A′C的解析式为将A′得−2k+b=34k+b=1解得k=−1∴直线A′C的解析式为y令x=0，得y=7∴点P的坐标为0，故答案为：0，10．（1）证明：∵点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，∴AC，AB，BC分别为PD，PE，PF的垂直平分线，∴AD=AP，AE=AP，∴AE=AD；（2）证明：如图2，连接AP，∵点D，E分别是点P关于直线AC，AB的对称点，∴AC，AB分别为PD，PE的垂直平分线，∠BAC=90°，∴AD=AP，AE=AP，∴∠CAD=∠CAP，∠EAB=∠PAB，∴∠CAD+∠CAP+∠EAB+∠PAB=2∠CAP+2∠PAB=2∠CAB=180°，∴D，A，E三点在同一条直线上；（3）解：∠ADC+∠BFC+∠BEA=360°，理由如下：如图3，连接PB、PC，∵AC为PD的垂直平分线，∴AD=AP，CD=CP，∴∠ADP=∠APD，∠CDP=∠CPD，∴∠ADC=∠APC，同理得∠BFC=∠BPC，∠BEA=∠APB，∵∠APC+∠BPC+∠APB=360°，∴∠ADC+∠BFC+∠BEA=360°．11．（1）解：令x=0，y=0+3=3，∴B点坐标为0,3；令y=0，可得0=x+3，解得x=−3，∴A点坐标为−3,0；（2）解：∵S△AOC∴S△AOC∴B，C的纵坐标比为3:2，∵B点的纵坐标为3，∴C点的纵坐标为2，∵点C在直线y=x+3上，∴2=x+3，∴x=−1，∴点C的坐标为−1,2，∵直线l过原点，∴设直线l的解析式为y=kx，点C−1,2代入得k=−2∴直线l的解析式为y=−2x；（3）解：如图，作点B关于x轴的对称点B1，连接CB1交x轴于点M此时，BM=B1M∵B0,3∴B1设直线CB1的解析式为将B10,−3，C−1,2−3=b2=−a+b解得a=−5b=−3∴线CB1的解析式为令y=0，则−5x−3=0，解得x=−3∴点M的坐标为−312．（1）解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，AB∥CD，∠D=90°，由翻折的性质可得AD=AF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，又∵AF=BF，∴AB=AF=BF，即△ABF是等边三角形，∴∠ABF=∠AFB=60°，∴∠EFG=180°−∠AFE−∠AFB=30°，∵AB∥CD，∴∠BGC=∠ABF=60°，∠EGF=180°−∠ABF=120°，∴∠GEF=∠BGC−∠EFG=30°，∴∠GEF=∠EFG，∴EG=FG，∴综上所述，EG=FG，∠EGF=120°．（2）解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，AB∥CD，∠BAD=∠D=90°，由翻折的性质可得AD=AF，∠D=∠AFE=90°，∠DAE=∠FAE，∴AB=AF，∵F为BG的中点，∴BF=FG，延长EF交AB延长线于点M，∵AB∥CD，∴∠M=∠FEG，又∵∠BFM=∠GFE，∴△BFM≌△GFEAAS∴MF=EF，又∵∠AFE=90°，即AF⊥ME，∴AF垂直平分ME，∴AM=AE，∴∠MAF=∠FAE，∴∠MAF=∠FAE=∠DAE=1在Rt△ADE中，cos∴ABAE（3）解：如图，延长EF交BC于点N，连接AN交BG于点M，∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠D=90°，由翻折的性质可得AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠AFN=180°−∠AFE=90°，∴∠ABN=∠AFN=90°，又∵AN=AN，∴Rt△ABN≌∴BN=FN，∴AN是BF的垂直平分线，∴AN⊥BF，BM=FM，∴∠ABM+∠BAN=90°，又∵∠ABM+∠CBG=90°，∴∠ABM+∠BAN=∠ABM+∠CBG，即∠BAN=∠CBG，又∵∠ABN=∠BCG=90°，AB=BC，∴△ABN≌△BCGASA∴BN=CG，∴FN=CG，∵DECG∴设EF=DE=2a，则BN=FN=CG=3a，∴EN=EF+FN=5a，设BC=CD=b，则CN=BC−BN=b−3a，CE=CD−DE=b−2a，在Rt△CEN中，C∴b−2a2解得：b=6a或b=−a（舍去），∴BC=CD=6a，∴BN=12BC又∵BM=FM，∴MN∥CF，即∴△EHF∽△EAN，∴FHAN∴AN=5在Rt△ABN中，A∴6a2解得：a=5∴AB=6a=6×513．（1）解：∵A(−4,0)平移后对应的点A1的坐标为(1,−2)∴平移方式为先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，∵C(−2,3)，∴C1的坐标为(−2+5,3−2)，即3,1（2）解：∵△A2B2C2和∴C2的坐标为2,−3（3）解：如图，△A14．（1）解：①∵△ADE与△ADB关于AD对称，∴∠ADB=∠ADE=α，又∵ED平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=α，∴3α=180°，解得α=60°；②如图，过点A作AF∥则∠DFA=∠FDC=60∴∠ACF=∠AFD=60°，∴△ADF为等边三角形，∴AD=DF=AF，∴∠AFE=∠ADC=120°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵△ADE与△ADB关于AD对称，∴∠E=∠B，∴∠E=∠C，在△AFE与△ADC中，∠ADC=∠AFE∠C=∠E∴△AFE≌△ADCAAS∴EF=CD，∴AD+CD=DF+EF=DE=BD，即BD=AD+CD；（2）解：①当点E在BC上方时，如图所示，设DE与AC交于点G，∵AB=AC，∴∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵∠ADB=α，∴∠BAD=180°−45°−α=135°−α，∵△ADE与△ABD关于AD对称，∴∠DAE=∠BAD=135°−α，∠ADE=∠ADB=α，∴∠CAE=2∠BAD−90∠EDC=180°−2∠ADB=180°−2α，又∵AE=AB=AC，∴∠ACE=180°−∠CAE∴∠ADG=∠ECG=α，在△ADG与△ECG中，∠ADG=∠ECG∠AGD=∠EGC∴△ADG≌△ECGAAS∴GD=GC，GA=GE，∴∠GDC=∠GCD，∠GAE=∠GEA，∵∠AGE=∠DGC，∴∠GDC=∠GCD=GAE=∠GEA，∴AE∥∴180°−2α=45°，∴α=67.5°；②当点E在BC下方时，如图所示，设AE与BC交于点H，同理可得∠DAE=∠BAD=135°−α，∠ADE=∠ADB=α，∴∠CAE=90°−2∠BAD=2α−180°，∠EDC=2∠ADB−180°=2α−180°，∵AE=AC，∴∠AEC=180°−α=∠ADC，∴△ADH≌△CEHAAS∴HD=HE，HA=HC，∴∠HDE=∠HED=45°，∠HAC=∠HCA=45°，∴2a−180°=45°，∴α=112.5°；综述所述：α=67.5°或112.5°．15．（1）解：过点F作FT⊥DC于点T，则∠FTD=∠FTG=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=AB=4,∠A=∠ADC=90°，∴∠A=∠ADC=∠FTD=90°，∴四边形AFTD为矩形，∴FT=AD=DC，由题意得FG⊥DE，∴∠1=∠2=90°−∠3，∵∠DCE=∠FTG=90°，∴△DCE≌△FTGASA∴DE=FG，由旋转得，FG=FH,∠HFG=90°，∴DE=FH，∵∠HFG=∠EMG=90°，∴FH∥DE，∴四边形DEHF为平行四边形；（2）解：连接EF，∵FG为DE的垂直平分线，∴EF=FD，又∵四边形DEHF为菱形，∴DF=DE，∴FD=EF=DE，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠C=90°,AD=CD=AB=BC=4，∴△ADF≌△CDEHL∴AF=CE，设AF=CE=x，则BF=BE=4−x，在Rt△AFD中，D在Rt△BFE中，E∴x∴x∴CE=8−43（3）解：BH过点F作FN⊥AB，在FN上截取FN=FB，连接BN,HG,NG，∴∠BFN=90°，∵∠HFG=90°,FH=FG,∠FHG=∠FGH=45°，∴∠HFB=∠GFN，∴△HFB≌△GFNSAS∴∠FGN=∠FHG=45°,HB=GN，当点H,B,G三点共线时，则∠HGN=∠HGF+∠FGN=45°+45°=90°，在Rt△BGN中，N在Rt△BFN中，B∴BH16．（1）解：∵CB=CE=3，AB=DE=4，∠ABC=∠DEC=90°，∴AC=DC=A∵△ABC≌△DEC，∴∠BCE=∠ACD，∵BCAC∴△CBE∽△CAD，∴BE:AD=CB:CA=3:5；（2）解：∵∠ABC=90°,BG是△ABC的中线，∴AG=BG=CG=1∴∠GBC=∠GCB，∵CB=CE，∴∠CEB=∠CBE，∵△ABC≌△DEC，∴∠BCA=∠ECD，∴∠CEB=∠CBE=∠BCA=∠ECD，∴BE∥CD；（3）解：由（2）得：∠GBC=∠CBE,∠BCG=∠CEB，∴△BCG∽△BEC，∴BGBC∴BE=B∴GE=BE−BG=11∵BE∥CD，∴△FGE∽△FCD，∴EFFD∴EFEF+4∴EF=44在Rt△ECF中，tan17．（1）解：由折叠的性质得BC=CB∵AB=4，BC=5，∴B′C=5，在Rt△CDB′中，CB′则AB故答案为：2；（2）如图：由（1）得：B′D=3，由折叠的性质得：B′设AE=x，则B′在Rt△AEB′x2解得x=3即AE=32，连接CC′，EE′，并延长EE由平移可知，B′D=EEE′G=5−3=2，CG=BE=5∴△∴CF∴CF=3（3）解：由折叠得BC=CB′=5当点D，B′，E′三点共线时，设B′C′则四边形B′那么，C′H=B在Rt△C′当点D，B′，E′三点共线时，过点C′作C则四边形C′那么，CG=CD+DG=CD+C′B在Rt△C′故CC′的长10或18．解：（1）∵∠ACB=∠BDE=90°,BC=BD=6,AC=DE=8,∴AB=BE=10，由旋转得：∠CBD=∠ABE，∵BC∴△BCD∽△BAE，∴AECD（2）如图2，延长CD交AE于H，连接BH交DE于M，由（1）知：△BCD∽△BAE，∴∠BAE=∠BCD，∵CF是中线，∠ACB=90°，∴CF=AF=BF=5，∴∠BCF=∠FBC，∴∠FBC=∠BAE，∵∠AFH=∠BFC，∴△AFH≌△BFC(ASA∴CF=FH，∴四边形ACBH是平行四边形，∵∠ACB=90°，∴▱ACBH是矩形，∴∠AHB=90°，BH=AC=8，∵AB=BE，∴AH=EH=BC=6，设MH=x，∵∠EHB=∠HAC=90°，∠AEG=∠HEM，∴△AEG∽△HEM，∴MH∴AG=2x，∵EH=BD=6,∠EMH=∠BMD，∠EHM=∠BDM=90°，∴△EHM≌△BDM(AAS∴BM=EM=8−x，由勾股定理得：EM2解得x=7∴AG=2×7（3）分两种情况：①如图3，∠EAD=90°，过点B作BQ⊥AE于Q，过点D作DP⊥BQ于P，∴∠AQP=∠DPQ=∠DAQ=90°，∴四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP=90°,AQ=PD，设AQ=PD=b，∵AB=BE,BQ⊥AE，∴AQ=EQ=b，∴AE=2b，∵∠ADP=∠BDE=90°，∴∠ADE=∠BDP，∵∠EAD=∠DPB=90°，∴△DAE∽△DPB，∴AEDE=∴PB=3Rt△BPD中，B∴b解得：b=12∵△DAE∽△DPB，∴ADED=∴AD=16②如图4，∠AED=90°，过点B作BQ⊥AE于Q，∴∠BQE=∠AED=∠BDE=90°，∴四边形BDEQ是矩形，∴EQ=BD=6，∵AB=BE,BQ⊥AE，∴AE=2EQ=12，由勾股定理得：AD=A综上，AD的长是161313或19．（1）证明：在AB边上截取AM=EF，连接DM．在Rt△ABC中，∠B=90°−∠BAC=90°−30°=60°∵EF∥∴∠EFB=∠B=60°．又∵∠EAD=60°，∴∠EFB=∠EAD．又∵∠BAD=∠EAD−∠EAF，∠AEF=∠EFB−∠EAF，∴∠BAD=∠AEF．又∵AD=AE,AM=EF，∴△DAM≌△AEFSAS∴AF=DM．∴∠AMD=∠EFA=180°−∠EFB=180°−60°=120°．∴∠BMD=180°−∠AMD=180°−120°=60°．∵∠B=60°，∴∠BMD=∠B=∠BDM=60°．∴△BMD是等边三角形．∴BD=BM=DM，∵AB=AM+BM，∴AB=EF+BD；（2）解：图②：当点D在线段BC的延长线上时，AB=BD−EF，证明如下：如图所示，在BD上取点H，使BH=AB，连接AH并延长到点G使AG=AF，连接DG，∵∠ABC=60°，∴△ABH是等边三角形，∴∠BAH=60°，∵线段AD绕点A顺时针旋转6