高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和差与和差化积示范教学实录 新人教B版必修4

高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积示范教学实录新人教B版必修4课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计意图本节课通过三角函数的积化和差与和差化积，旨在帮助学生理解和掌握三角恒等变换的基本方法，提高学生运用三角恒等变换解决实际问题的能力。教学内容与新人教B版必修4第三章相关，贴近学生实际，有助于巩固学生对三角函数知识的掌握。二、核心素养目标分析培养学生数学抽象能力，通过三角恒等变换的学习，使学生能够抽象出三角函数的基本关系，发展学生从具体情境中提取数学信息的能力。提升逻辑推理能力，通过积化和差与和差化积的推导过程，引导学生运用逻辑推理进行数学证明。强化数学建模意识，通过解决实际问题，使学生学会将数学问题转化为三角恒等变换问题，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。三、重点难点及解决办法重点：三角函数的积化和差与和差化积的公式推导和应用。

难点：公式推导的严谨性和逻辑推理过程，以及将公式应用于解决实际问题的灵活性。

解决办法：

1.重点通过引导学生观察三角函数的周期性和奇偶性，帮助学生理解公式推导的内在逻辑。

2.难点通过分步骤讲解推导过程，强调推理的每一步的合理性和必要性，培养学生的逻辑思维能力。

3.通过设置实际问题，让学生在解决问题的过程中练习和巩固公式的应用，提高学生的实际操作能力。

4.采用小组讨论和合作学习的方式，鼓励学生之间交流思路，共同突破难点。四、教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、计算机）、三角函数图像生成软件

-课程平台：学校内部教学平台，用于发布教学资料和在线测试

-信息化资源：三角函数相关教学视频、在线数学论坛

-教学手段：黑板、粉笔、教具（如三角板、量角器等）五、教学流程1.导入新课

详细内容：首先，通过复习上一节课学过的三角函数的基本性质，引导学生回顾三角函数的周期性和奇偶性。接着，提出问题：“如何将两个三角函数的乘积或和差转化为更简单的形式？”以此激发学生的好奇心，自然过渡到本节课的主题——三角函数的积化和差与和差化积。

用时：5分钟

2.新课讲授

（1）公式推导

详细内容：首先，展示三角函数的积化和差公式，并引导学生观察公式的特点。然后，通过引导学生利用三角函数的和差公式，推导出积化和差公式。在推导过程中，强调每一步的逻辑推理和公式的推导过程。

用时：10分钟

（2）公式应用

详细内容：讲解如何运用积化和差公式进行三角函数的化简。通过具体的例子，展示如何将三角函数的乘积转化为和差形式，以及如何将和差形式转化为乘积形式。

用时：10分钟

（3）和差化积公式推导与应用

详细内容：介绍和差化积公式，并引导学生通过类比积化和差公式的推导方法，推导出和差化积公式。然后，讲解如何运用和差化积公式进行三角函数的化简。

用时：10分钟

3.实践活动

（1）独立练习

详细内容：发放含有积化和差与和差化积公式的练习题，要求学生在规定时间内独立完成。教师巡视指导，帮助学生解决遇到的问题。

用时：15分钟

（2）小组讨论

详细内容：将学生分成小组，每组选择一道练习题进行讨论，共同完成。讨论过程中，鼓励学生提出不同的解题思路，分享解题经验。

用时：10分钟

（3）展示与点评

详细内容：每组派代表展示解题过程，其他小组进行点评。教师总结各组的解题思路，指出其中的亮点和不足。

用时：10分钟

4.学生小组讨论

（1）三角函数的积化和差公式推导

举例回答：如何利用三角函数的和差公式推导出积化和差公式？

（2）三角函数的乘积化简

举例回答：如何将三角函数的乘积转化为和差形式？

（3）三角函数的和差化积

举例回答：如何将三角函数的和差形式转化为乘积形式？

用时：10分钟

5.总结回顾

详细内容：首先，回顾本节课所学内容，强调三角函数的积化和差与和差化积公式的重要性。然后，针对本节课的重难点，进行总结和讲解。最后，布置课后作业，巩固所学知识。

用时：5分钟

总计用时：45分钟六、知识点梳理1.三角函数的积化和差公式

-公式一：sinA*cosB=(1/2)*[sin(A+B)+sin(A-B)]

-公式二：cosA*cosB=(1/2)*[cos(A+B)+cos(A-B)]

-公式三：sinA*sinB=(1/2)*[cos(A-B)-cos(A+B)]

-公式四：cosA*sinB=(1/2)*[sin(A+B)-sin(A-B)]

2.三角函数的和差化积公式

-公式一：sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB

-公式二：sin(A-B)=sinA*cosB-cosA*sinB

-公式三：cos(A+B)=cosA*cosB-sinA*sinB

-公式四：cos(A-B)=cosA*cosB+sinA*sinB

3.三角函数的倍角公式

-公式一：sin(2A)=2sinA*cosA

-公式二：cos(2A)=cos^2A-sin^2A=2cos^2A-1=1-2sin^2A

-公式三：tan(2A)=(2tanA)/(1-tan^2A)

4.三角函数的半角公式

-公式一：sin(A/2)=±√[(1-cosA)/2]

-公式二：cos(A/2)=±√[(1+cosA)/2]

-公式三：tan(A/2)=sin(A/2)/cos(A/2)=±√[(1-cosA)/(1+cosA)]

5.三角函数的辅助角公式

-公式一：sin(A±B)=sinA*cosB±cosA*sinB

-公式二：cos(A±B)=cosA*cosB∓sinA*sinB

-公式三：tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanA*tanB)

6.三角函数的化简技巧

-利用三角函数的周期性、奇偶性和和差化积公式进行化简。

-利用三角函数的倍角公式和半角公式进行化简。

-利用三角函数的辅助角公式进行化简。

7.三角函数的应用

-在几何问题中，利用三角函数求解角度和边长。

-在物理问题中，利用三角函数求解力的分解和合成。

-在实际问题中，利用三角函数求解周期性变化的问题。

8.三角函数的图像与性质

-了解三角函数的图像特点，如周期性、奇偶性、对称性等。

-掌握三角函数的图像变换规律。

-理解三角函数的极值点和零点。

9.三角函数的应用实例

-举例说明三角函数在几何、物理、工程等领域的应用。

-分析三角函数在实际问题中的求解方法。

10.三角函数的综合应用

-综合运用三角函数的公式和性质解决实际问题。

-分析问题，选择合适的三角函数公式进行求解。

-总结解题思路，提高解题能力。七、课后拓展1.拓展内容：

-《三角函数在实际问题中的应用》阅读材料：选取一些与三角函数相关的实际问题，如钟摆的运动、潮汐的涨落、建筑中的角度计算等，让学生通过阅读材料了解三角函数在实际生活中的应用。

-《三角函数的历史发展》视频资源：观看关于三角函数发展历史的视频，了解三角函数的起源、发展过程以及在不同文明中的重要性。

2.拓展要求：

-鼓励学生在课后阅读相关材料，思考三角函数在生活中的实际应用，并尝试用所学知识解释生活中的现象。

-观看视频资源后，学生可以撰写一篇小论文，总结三角函数的历史发展，并讨论其对现代科学和技术的贡献。

-教师可以组织一次课堂讨论，让学生分享他们在阅读材料和观看视频后的心得体会，以及他们如何将三角函数知识应用到实际问题中。

具体拓展活动如下：

（1）设计一个简单的实验或观察活动，让学生利用三角函数计算太阳或月亮的升起和落下时间，或者计算建筑物的高度。

（2）提供一组三角函数的图像，要求学生识别并描述图像的特点，如周期性、振幅等，并解释这些图像在物理或工程问题中的意义。

（3）让学生尝试解决以下问题：

-如何使用三角函数来预测一个物体的运动轨迹？

-在音乐理论中，三角函数如何帮助理解音符的频率和音调？

-在建筑设计中，三角函数如何用于计算屋顶的角度？

教师在课后可以提供以下指导：

-推荐相关的在线课程或教育网站，帮助学生更深入地学习三角函数。

-提供一些互动式的学习工具，如在线三角函数计算器或图形绘制工具。

-对于有疑问的学生，安排个别辅导时间，解答他们在拓展学习过程中遇到的问题。八、教学反思与总结今天这节课，我们学习了三角函数的积化和差与和差化积，我觉得整体来说，教学效果还是不错的。下面，我就从教学反思和教学总结两个方面来谈谈我的想法。

首先，在教学过程中，我尝试了多种教学方法。比如，在导入新课的时候，我通过提问的方式，引导学生回顾了上一节课的内容，激发了他们的学习兴趣。在新课讲授环节，我采用了逐步讲解、举例说明、小组讨论等方法，帮助学生理解和掌握公式。在实践活动和小组讨论环节，我鼓励学生积极参与，分享自己的解题思路，这样可以提高他们的合作能力和解决问题的能力。

当然，在教学过程中，我也发现了一些不足之处。比如，在公式推导的过程中，有些学生对于公式的推导过程理解不够透彻，我在讲解时可能需要更加细致和耐心。另外，在实践活动环节，我发现部分学生对于公式的应用还不够熟练，这说明我在教学过程中需要加强对学生实际操作能力的培养。

当然，也存在一些问题。比如，部分学生在课堂上的注意力不够集中，这可能会影响他们的学习效果。针对这个问题，我会在今后的教学中，更加注重课堂纪律的管理，确保每个学生都能全身心地投入到学习中。

针对教学中存在的问题和不足，我提出以下改进措施和建议：

1.在公式推导环节，我会采用更加直观的教学方法，如使用图形、动画等，帮助学生更好地理解公式的推导过程。

2.在实践活动环节，我会设计更多样化的题目，让学生在解决实际问题的过程中，提高他们的应用能力和创新能力。

3.加强课堂纪律管理，确保每个学生都能集中注意力，提高课堂效率。

4.针对学生的个别差异，我会采取分层教学的方法，针对不同层次的学生提供不同的学习资源和支持。课堂在课堂教学中，我采用了多种评价方法来确保学生对三角函数的积化和差与和差化积的理解和应用能力。

1.课堂评价：

-提问：通过在课堂上提出问题，我能够即时了解学生对知识点的掌握程度。例如，我会问：“谁能解释一下积化和差公式是如何推导出来的？”或者“你们知道如何将三角函数的和差形式转化为乘积形式吗？”学生的回答可以帮助我评估他们的理解深度。

-观察：在学生进行小组讨论和实践活动时，我会观察他们的参与度和解决问题的能力。例如，我会注意学生是否能够主动参与讨论，是否能够正确运用公式解决实际问题。

-测试：在课堂的某个环节，我会进行小测验，以评估学生对知识点的短期记忆和即时应用能力。这些测试可以是选择题、填空题或简答题，旨在检查学生对公式和概念的理解。

2.作业评价：

-批改：我认真批改学生的作业，确保每个学生都能得到个性化的反馈。我会检查学生是否正确应用了公式，是否能够独立解决问题。

-点评：在批改作业的同时，我会给出详细的点评，指出学生的优点和需要改进的地方。例如，如果学生在应用公式时出现了错误，我会指出错误的原因，并提供正确的解题步骤。

-反馈：我会在