2024-2025学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 阶段综合提升 第2课 离散型随机变量的分布列、期望与方差（教师用书）教学实录 新人教A版选修2-3

2024-2025学年高中数学第2章随机变量及其分布阶段综合提升第2课离散型随机变量的分布列、期望与方差（教师用书）教学实录新人教A版选修2-3课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析1.本节课的主要教学内容为离散型随机变量的分布列、期望与方差，涉及教材新人教A版选修2-3第2章“随机变量及其分布”中的相关内容。

2.教学内容与学生已有知识的联系：学生已经学习了随机变量的基本概念和离散型随机变量分布列的定义，本节课将在此基础上，引导学生理解期望与方差的概念，并掌握它们的计算方法，为后续学习概率论知识打下基础。二、核心素养目标培养学生运用数学符号语言表达随机现象的能力，提高学生在实际问题中识别、建立随机变量模型的能力。通过探究离散型随机变量的分布列、期望与方差，提升学生的逻辑推理、数学建模和数据分析素养，增强解决实际问题的能力。同时，培养学生严谨求实的科学态度和合作交流的团队精神。三、学情分析本节课面向的是高中二年级的学生，他们已经具备了一定的数学基础，对概率论的基本概念有所了解。在知识层面上，学生对随机变量和离散型随机变量有一定的认识，但对其分布列、期望与方差的理解可能还不够深入。在能力方面，学生具备一定的逻辑推理能力和初步的数学建模能力，但在解决复杂问题时可能缺乏系统性思维。

学生的素质方面，部分学生可能对数学学习有较高的兴趣和热情，能够积极参与课堂讨论，但也有一些学生对数学感到畏惧，学习动力不足。在行为习惯上，学生在课堂上的参与度参差不齐，有的学生能够认真听讲，积极思考，而有的学生则容易分心，课堂纪律有待加强。

这些学情特点对课程学习产生以下影响：首先，教师在教学中需要兼顾不同层次学生的学习需求，通过分层教学，确保每个学生都能跟上教学进度。其次，教师在讲解复杂概念时，应注重引导学生通过实例理解，增强学生的直观感受。此外，教师还需注重培养学生的自主学习能力，鼓励学生通过小组合作、探究式学习等方式，提高学习效果。最后，教师应通过多种教学手段，如课堂提问、小组讨论等，激发学生的学习兴趣，培养他们的数学思维和创新能力。四、教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，首先通过讲解离散型随机变量的分布列、期望与方差的基本概念，然后引导学生进行小组讨论，加深对概念的理解。

2.设计角色扮演活动，让学生扮演不同的随机变量，通过模拟实验，直观感受分布列的形成过程。

3.利用多媒体展示随机变量分布的图形，如直方图，帮助学生直观理解分布列的特点。

4.通过案例分析，让学生解决实际问题，提高应用数学知识解决实际问题的能力。

5.鼓励学生进行项目导向学习，分组完成小项目，如设计一个简单的概率游戏，计算其期望和方差，以增强学生的实践操作能力。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台发布PPT和视频，要求学生预习离散型随机变量的定义和基本性质，并设计问题引导学生思考分布列的特征。

设计预习问题：如“如何根据具体实验设计分布列？”、“分布列有何实际应用？”等，激发学生探究兴趣。

监控预习进度：通过在线平台查看学生提交的预习笔记和问题，确保学生预习到位。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生通过PPT和视频了解分布列的概念和性质。

思考预习问题：学生针对预习问题进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

提交预习成果：学生将预习笔记和问题提交至在线平台。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：通过预习任务，培养学生的自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台，实现预习资源的共享和监控。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过实际案例，如掷骰子的概率问题，引出离散型随机变量的分布列。

讲解知识点：详细讲解分布列的构成、性质和计算方法，如期望和方差的计算。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生根据案例设计自己的分布列，并计算期望和方差。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，积极思考分布列的应用。

参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，体验分布列在解决问题中的应用。

提问与讨论：学生在讨论中提出疑问，与同学和老师共同探讨。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过讲解，帮助学生理解分布列的计算方法。

实践活动法：通过小组讨论，培养学生的团队协作和问题解决能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置设计随机实验，计算分布列和期望方差的作业，巩固所学知识。

提供拓展资源：推荐相关书籍和在线资源，供学生进一步学习随机变量和概率论。

学生活动：

完成作业：学生独立完成作业，巩固课堂所学。

拓展学习：利用拓展资源，进行深入学习和探索。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：通过作业和拓展资源，培养学生的自主学习能力。

反思总结法：通过作业反馈和拓展学习，引导学生反思和总结学习过程。

本节课的重难点在于理解分布列的性质和计算期望方差的方法。通过课前预习、课中讨论和课后作业的安排，学生能够逐步掌握这些知识，并学会运用到实际问题中。六、拓展与延伸一、提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

1.《概率论与数理统计》——离散型随机变量的分布

这本书详细介绍了离散型随机变量的各种分布，如二项分布、泊松分布、超几何分布等，并探讨了这些分布在实际问题中的应用。

2.《随机过程》——随机变量的极限定理

通过阅读这本书，学生可以了解到随机变量极限定理的基本概念和证明过程，这对于理解随机变量的分布和性质有重要意义。

3.《数学建模》——随机变量在数学建模中的应用

本书通过实例展示了随机变量在数学建模中的应用，如经济预测、风险评估等，有助于学生将理论知识与实际问题相结合。

二、鼓励学生进行课后自主学习和探究

1.探究随机变量分布的直观理解

学生可以通过绘制分布图，如直方图、频率分布图等，直观地理解随机变量的分布情况。

2.分析随机变量在实际问题中的应用

学生可以选择一些实际案例，如彩票中奖概率、股票市场分析等，分析随机变量在这些问题中的应用。

3.研究随机变量分布的性质

学生可以尝试证明随机变量分布的一些性质，如分布的对称性、奇偶性等，加深对分布列的理解。

4.探讨随机变量分布的极限定理

学生可以尝试证明随机变量极限定理，如大数定律、中心极限定理等，了解随机变量分布的稳定性。

5.设计随机实验

学生可以设计一些简单的随机实验，如抛硬币、掷骰子等，通过实验数据验证分布列的性质。

6.应用随机变量解决实际问题

学生可以选择一些实际问题，如风险评估、排队论等，运用随机变量和概率论的知识进行建模和分析。

7.研究随机变量分布的数值计算方法

学生可以学习一些数值计算方法，如蒙特卡洛方法等，用于求解随机变量分布的概率问题。

8.探索随机变量分布的计算机模拟

学生可以使用计算机编程语言，如Python、MATLAB等，模拟随机变量分布，分析分布列的性质。七、板书设计①离散型随机变量的分布列

-离散型随机变量

-分布列的定义

-分布列的性质：非负性、总和为1

②期望

-期望的定义

-期望的性质：线性性、非负性、期望的期望

③方差

-方差的定义

-方差的性质：非负性、方差的期望、方差的线性性

④计算分布列的期望和方差

-期望的计算公式

-方差的计算公式

-应用实例：计算具体分布列的期望和方差

⑤分布列的应用

-应用实例：概率计算、期望和方差的实际意义

-应用领域：统计学、经济学、生物学等

⑥离散型随机变量的分布

-常见分布：二项分布、泊松分布、超几何分布等

-分布的图形表示：直方图、频率分布图

⑦离散型随机变量的分布列与概率分布函数

-分布列与概率分布函数的关系

-概率分布函数的定义和性质八、课堂小结，当堂检测课堂小结：

在本节课中，我们学习了离散型随机变量的分布列、期望与方差。以下是本节课的重点内容：

1.离散型随机变量的分布列

-离散型随机变量是指取有限个或可数无限个值的随机变量。

-分布列是指随机变量取每个可能值的概率。

2.分布列的性质

-分布列的值都是非负的。

-分布列的所有值的总和等于1。

3.期望

-期望是随机变量取值的加权平均，反映了随机变量的平均水平。

-期望的计算公式为：E(X)=ΣxP(X=x)，其中x为随机变量的可能取值，P(X=x)为随机变量取值x的概率。

4.方差

-方差是衡量随机变量取值与其期望之间差异的统计量。

-方差的计算公式为：Var(X)=E[(X-E(X))^2]，也可以表示为Var(X)=Σ(x-E(X))^2P(X=x)。

5.常见分布

-二项分布：描述在固定次数的独立实验中成功次数的分布。

-泊松分布：描述在固定时间间隔或空间区域内事件发生的次数的分布。

-超几何分布：描述不放回抽样的情况下，从有限总体中抽取一定数量的样本中成功次数的分布。

当堂检测：

1.请解释什么是离散型随机变量的分布列，并列举两个分布列的性质。

2.计算以下随机变量的期望和方差：

-随机变量X服从二项分布B(5,0.4)。

-随机变量Y服从泊松分布P(2)。

3.如果随机变量X的分布列为：X:1,2,3；P(X):0.2,0.5,0.3，请计算E(X)和Var(X)。

4.解释为什么二项分布、泊松分布和超几何分布在实际问题中有广泛的应用。

5.请设计一个简单的随机实验，并计算其期望和方差。课后作业1.作业内容：

已知随机变量X的分布列为：

X:0,1,2,3

P(X):0.1,0.3,0.4,0.2

请计算随机变量X的期望E(X)和方差Var(X)。

答案：

E(X)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.6

Var(X)=(0-1.6)^2×0.1+(1-1.6)^2×0.3+(2-1.6)^2×0.4+(3-1.6)^2×0.2=1.96

2.作业内容：

随机变量X服从二项分布B(10,0.2)，请计算以下概率：

P(X=4)

P(X≥6)

答案：

P(X=4)=C(10,4)×0.2^4×0.8^6=0.2051

P(X≥6)=1-P(X<6)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5))=1-0.0002-0.008-0.032-0.0512-0.08224=0.81652

3.作业内容：

随机变量X服从泊松分布P(3)，请计算以下概率：

P(X=1)

P(X≤2)

答案：

P(X=1)=e^-3×3^1/1!=0.3012

P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=e^-3×3^0/0!+e^-3×3^1/1!+e^-3×3^2/2!=0.1295

4.作业内容：

随机变量X服从超几何分布H(5,3,10)，请计算以下概率：

P(X=2)

P(X≥4)

答案：

P(X=2)=C(3,2)×C(10,3)/C(13,3)=0.2373

P(X≥4)=1-P(X<4)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3))=1-0.0117-0.0424-0.1188-0.2373=0.6988

5.作业内容：

一批产品中有10个正品和5个次品，随机抽取3个产品，求抽取的3个产品中正品数量的期望和方差。

答案：

期望E(X)=3×(10/15)=2

方差Var(X)=3×(10/15)×(5/15)×(4/14)=2/21教学反思与总结今天这节课，我们学习了离散型随机变量的分布列、期望与方差。总体来说，我觉得教学过程还是比较顺利的，但也存在一些可以改进的地方。

在教学过程中，我尝试了多种教学方法，比如讲授、讨论和实践活动，力求让同学们能够更好地理解和掌握这些概念。我发现，通过小组讨论和角色扮演，同学们对于分布列的理解更加深刻，对于期望和方差的计算也更加熟练。但是，也有一些同学在讨论中显得比较被动，这可能是因为他们对这些概念还不够熟悉，或者是对参与讨论的积极性不高。

在策略方面，我注重了理论与实践的结合。例如，在讲解分布列时，我通过实际案例，如掷骰子、抽牌等，让学生在实际操作中感受分布列的形成过程。在计算期望和方差时，我引导学生通过实例来理解公式，而不是简单地死记硬背。这种做法收到了良好的效果，同学们在课后作业中的表现证明了这一点。

在教学管理上，我尽量保持了课堂的秩序，鼓励同学们积极发言，同时也注意到了一些细节，比如及时纠正学生的错误，避免他们形成错误的认知。不过，我也发现，在课堂管理上还有提升的空间，比如如何更有效地调动那些不太活跃的同学的积极性。

至于教学效果，我觉得还是不错的。同学们对离散型随机变量的分布列、期望与方差有了更深入的