考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷2（共225题） (二)

考研数学二(选择题)高频考点模拟试

卷2(共9套)

(共225题)

考研数学二(选择题)高频考点模拟试

卷第1套

一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)

1、设f(x)是偶函数，(p(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是

()

A、fl(p(x)]

B、nf(x)i

C、(p[f(x)]

D、(p[<P(x)]

标准答案：D

知识点解析:令g(x)=(p[(p(x)],注意(p(x)是奇函数，有g(—x)=(p[(p(—x)]=(p[—

(p(x)]=一cp[(p(x)]=一g(x)»因此(p[(p(x)]为奇函数，同理可得

<p[f(x)]均为偶函数.答案选(D).

2、定积分11+/)/-f=()

D、"

标准答案：B

知识点解析：这是无界函数的反常积分，x=±l为瑕点，与求定积分一样，作变量

替换x=sint,则

'I(T+M乳。』=2f=^arctan(^tanx)于

=J彳2f

°2故选B0

岫土则&3,

x

3、设f(x)=x-sinxcosxcos2x,g(x)=*=°，则当X-0时f(x)是

g(x)的

A、高阶无穷小.

B、低阶无穷小.

C、同阶非等价无穷小.

D、等阶无穷小.

标准答案：C

知识点解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得

x—丁§泊4N

41-cos4x

lim《2=lim

ln(1+sin4x)3x2

因此选C.

4、设｛aQ与(、｝为两个数列，下列说法正确的是().

A、若｛an｝与｛b与都发散,则｛anbn｝一定发散

B、若｛an｝与｛bn｝都无界,则｛anbn｝一定无界

C、若｛an｝无界且"%"anbn=O，则!i%"bn=O

D、若an为无穷大，且「吁maanbn=O,则bn一定是无穷小

标准答案：D

知识点解析：(A)不对，如an=2+(-l)n,bn=2-(-l)n,显然同)与｛m｝都发散，但

n

anbn=3,显然｛anbn｝收敛；(B)、(C)都不对，如@产川1+(-»],bn=n[l-(-l)],显然

｛an｝与｛bn｝都无界，但anbn=O,显然｛a^n｝有界且「巴"b)#0;正确答案为(D).

：/(%)=~Iim/(x)=0

5、设函数在(一oo,+oo)内连续，且l-8，则常数a,b

满足()0

A、a<0,b<0

B、a>0,b>0

C、a<0,b>0

D^a>0,b<0

标准答案：D

知识点解析：因f(x)连续，所以a+ebxro,因此只要吟0即可。再由

lirn/(x)=lim-=0,

l-8L-.Q+e可知x—y时，a+ebx如必为无穷大(否则极限必

不存在)，此时需b<0。故选D。

6、设f(x)具有二阶连续导数，且01)=0,I(*-1)2则()

A、f(l)是f(x)的极大值。

B、f(l)是f(x)的极小值c

C、(1,f(l))是曲线f(x)的拐点。

D、f(l)不是f(x)的极值,(1,f(l))也不是曲线f(x)的拐点。

标准答案：B

JL

24

知识点解析：选取特殊函数f(x)满足f7x)=2(X—I),取f(x)=24(x一1),则

f(x)满足题中条件，且f(x)在x=l处取极小值，而具余选项均不正确。故选B。

0

lim—1—；­=1

7、设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0,则()

A、f(0)是f(x)的极大值。

B、f(0)是f(x)的极小值,

C、(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点。

D、f(x)不是f(x)的极值，(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点」

标准答案：B

=1

知识点解析：根据极限的保号性，由可知，存在X=0的某邻域

,・>Q

〃6(0),使对任意x£〃(0),都有\x\,即从而函数r(xj在

该邻域内单调增加。于是当XV0时，有r(x)<f(O尸0；当x>0时，f(x)>

「(0)=0,由极值的第一判定定理可知，f(x)在x=0史取得极小值。故选B。」

8、设函数f(X)在(一8,+00)上有定义，则下述命题中正确的是()

A、若f(x)在(一8,+co)上可导且单调增加，则对一切x€(—00,+8),都有f(x)>

Oo

B、若f(x)在点X0处取得极值，则f'(x())二O。

C、若f(xo)=o,则(XO，f(xo))是曲线y=f(x)的拐点。

D、若f'(xo)=O,f"(xo)=O,f…(xorO,则xo一定不是f(x)的极值点。

标准答案：D

知识点解析：若在(一00,+co)±f(X)>O,则一定有f(x)在(一8,+8)上单调增加，

但可导函数f(x)在(一CO,+00)上单调增加，可能有f(x)X)。例如f(x)=x3在(一00,

+8)上单调增加，f'(0)=0故不选A。f(x)若在X0处取得极值，且f'(x())存在，则有

f(xo)=O,但当f(x)在X0处取得极值，在X0处不可导，就得不到「(xo)=O,例如

f(x)=IxI在xo=O处取得极小值，它在xo=O处不可导，故不选B。如果f(x)在xo

处二阶导数存在，且(X0,f(xo))是曲线的拐点，f(xo)=o,反之不一定，例如f(x)=x4

在xo=O处f(0)=0,但f(x)在(一8,+8)没有拐点，故不选C。由此选D。

./(4,)=xy+Hf(u,v)dudv

9、设f(x,y)连续，且〜其中D是由y=0,y=x’,x=l所

围区域,则f(x,y)等于()

A、xyo

B、2xy。

1

毛r+才。

C、8

D、xy+1o

标准答案：C

知识点解析：等式«两端积分得

，)(

|/(x7kdy=Jxydxdy+j/(utv)dudv,j^dxdy

jprydxdy=(xydy=1

12,

卜”(Ms

"9

则J/(x,y)dxdy=yj(x,y)=x1

10、在区间［0，83内，对函数f(x)=J&r-z2

，罗尔定理()

A、不成立

B、成立，并且P(2尸0

C、成立，并且「(4)=0

D、成立，并且f(8尸0

标准答案：C

知识点解析：因为f(x)在［0,8］上连续，在(0,8)内可导,且f(0)=f⑻,故f(x)在

8-2N

|0,8］上满足罗尔定理条件.令P(x)=3—f*=o,得「(4尸0,即定理中自

可以取为4。

/=fln(sinx)dx,J=fln(cotx)dx,K=fln(cosx)dx,

11、设N力卜则I,J,K

的大小关系为()

A、l<J<Ko

B、I<K<Jo

C、J<I<Ko

D、K<J<Io

标准答案：B

知识点解析:当4时,因为OVsinxVcosx,所以ln(sinx)Vln(cosx),因

XX

/=Iln(sinx)dx<Iln(cos%)dx=K

此““o同时，又因为

XXX

ln(coU)dx=Iln(cosx)dx-Iln(sinx)dx

)九人0因为

,xX

ln(sinx)dx<0,ln(coU)dx>[ln(cosx)ck=।)

所以

知，I,J,K,的大小关系是IVKVJ。故选B。J

12、设向量组I：ai，Q2，…，％可由向量组H：Pi，仞，…，氏线性表示，则

A、当「<§时，向量组(II)必线性相关.

B、当r>s时，向量组(II)必线性相关.

C、当rVs时，向量组(I)必线性相关.

D、当r>s时，向量组(I)必线性相关.

标准答案：D

知识点解析：若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关.故应

选D.

13、设f(x)可导，F(x)=f(x)(l+|sinx|),若使F(x)在x=0处可导，则必有()

A、f(0)=0

B、r(o)=o

C、f(O)+f(O)=O

D、f(0)—f(0)=0

标准答案：A

知识点解析：由于

K⑹=隔20二lim±sin>二股)

J-Z10.工

=lim一，°)+f(力•士］=4(0)+八0).

i，L/z」同理，

Fl(0)=lim里)二的)=/.(0)-/(0).

ITx要求F，(0)=F1(0),可得(A).

14、函数F(X)=JX/2阡⑴dt,其中f(t)=0血21(1+⑥/)8S23则F(x)

A、为正数.

B、为负数.

C、恒为零.

D、不是常数.

标准答案：B

知识点解析：由于被积函数连续且以兀为周期(2兀也是周期)，故

F(x)=F(0)=J(产f(t)dt=2Hf(t)dt,即F(x)为常数.由于被积函数是变号的，为确定积分

值的符号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即

nin2227I2sin2l2

2fof(t)dt=foVVl+sint)d(sin2t)=fo-sin2te(2+sint)dt<O,故应选(B).

lim/(/)•♦二2

15、设f(x)在x=0的某邻域内连续，若…1-8SX,则f(x)在x=0处().

A、不可导

B、可导但「(0)和

C、取极大值

D、取极小值

标准答案；D

lim产一二2

知识点解析：由，71—COS1得f(0)=0,由极限保号性，存在6>0,当0

/力>()

<IxIV3时，1-cosi,从而f(x)>0=f(0),由极值的定义得f(0)为极小

值，应选(D).

16、设A是三阶矩阵，其特征值是1,3,—2,相应的特征向量依次为囚，a,

・•.ce•12

11

(A)-2o(B)-4

-3---3-

1■1-

(C)-2(D)3o

--3--2・

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：由题意得,Aa2=3a2，因此有A(—a2)=3(—ai),即当。2是矩阵A属

于特征值入=3的特征向量时，一g仍是矩阵A属于特征值入=3的特征向量。同理

2a3仍是矩阵A属于特征侑入=—2的特征向量。当P-1AP=A时，P由A的特征向

量所构成，A由A的特征值所构成，且P的列向量与A对角线上的元素的位置是

一一对应的。因为已知矩阵A的特征值是1,3,-2,故对角矩阵A对角线上元

素应当由1,3,—2构成，因此排除选项B、Co由于2a3是属于1=—2的特征向

量，所以一2在对角矩阵A中应当是第2列第2行的元素，排除D,故选A。

17、设n阶矩阵A的伴随矩阵A*#),且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解

⑴，现，则下列命题正确的是().

A、AX=b的通解为Ar|i+k2T12

B、ni+n2为Ax=b的解

C、方程组AX=0的通解为k(niF2)

2

D、AX=b的通解为kir)i+k2rl2+2(r|i+r|2)

标准答案：C

知识点解析：因为非齐次线性方程组AX二b的解不唯一，所以r(A)Vn,又因为

AVO,所以r(A)二n-1,112FI为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选©.

18、设A为mxn矩阵，B为nxm矩阵，若AB二E,则()

A、r(A)-m»r(B)—nio

B、r(A)=m,r(B)=n«

C、r(A)=n,r(B)=m<)

D、r(A)=n,r(B)=n<>

标准答案：A

知识点解析：因为AB=E,所以r(AB)=m。又r(AB)=mgm因｛r(A),r(B)j,即

r(A)>m,r(B)>m,而r(A)Wm,r(B)<m,所以r(A)=m,r(B)=mo故选A。

19^设A为mxn阶矩阵，B为nxm阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().

A、r>m

B、r=m

C、r

D、r>m

标准答案：C

知识点解析:显然AB为m阶矩阵，r(A)<n,r(B后1,而r(AB)Wmm{r(A),r(B))<n

20、二次型f(xi，X2，X3)=X』+5x22+X32—4X]X2+2X2X3的标准形可以是()

A、y/+4y2、

B、yi2-6y22+2y22o

C、yi2_*y22o

D、y/+4y2*y3~。

标准答案：A

知识点解析：用配方法，有f=X]2—4x|X2+4x]+X22+2x2X3+X32=(X]—

22

2X2)+(X2+X3),可见二次型的正惯性指数p=2,负惯性指数q=0。所以选A。

21、设A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则()

A、当m>n时，必有IABI川

B、当m>n时，必有IABI=0

C、当n>m时，必有1ABI和

D、当n>m时，必有IABI=0

标准答案：B

知识点解析：AmxnBnxni是m阶方阵，当口1>11时，r(AB)Wr(A)WnVm,故IABI

(C)取A=[l,2],8=[1]，则AB=O,|AB|=0,(C)错.

(D)取A=[0,l],B=,|AB]=1,(D)错.

=0.(B)成立.显然(A)错误.L1J

22、设人=[内，。2，…，*]经过若干次初等行变换得B=的，俄，…，许]，

b=[b|,b2»…，bn]与。则①Ax=0和Bx=0同解：②Ax=b和Bx=b同解：③A,

B中对应的任何部分行向量组有相同的线性相关性：④A,B中对应的任何部分列

向量组有相同的线性相关性.其中正确的是()

A、①，③

B、②，®

C、①，④

D、②，③

标准答案：C

知识点解析：A经过初等行变换后得B,方程组Ax=O和Bx=O中只是方程改变倍

数、两方程互换，或某方程的k倍加到另一方程上，它们不改变方程组的解，故

①成立.A,B中任何部分列向量组组成的方程组也是同解方程组，故列向量组有

相同的线性相关性，故④成立.而②中由于易没有参与行变换，故②不成立.③

行变换后，A,B中对应的部分行向量会改变线性相关性.如

「101ro01

A=B=9

LoOJL10J故③也不成立.

23、若由曲线y=2G,曲线上某点处的切线以及X=l,x=3围成的平面区域的面

(B)y=尹2

(C)>=x+1(D)y=夜r+盍

积最小，则该切线是().

A、

B、

c、

D、

标准答案：A

y=2后在点(t,2而处的切线方程为y=2〃+)(工一D=壬+〃

知识点解析：曲线〃4由于

切线位于曲线y=2G的上方，所以由曲线y=26,切线及x=l,x=3围成的面积

S=SCO[(}+4-2&)"='+/rdr.

S7(t)=—+4=0=>t—2.

为vz当隹(0,2)时,

SXt)<0；当怩(2,3)时,S，(t)X),则当t=2时,S⑴我最小值,此时切线方程为

y=今+疗

品,选(A).

24、设向量组囚，g,a3为方程组AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方

程组AX=0的基础解系的是().

A、ai+a2>(12+013，aa+ai

B、a]+a2，ct2+a3，ai+2a2+(13

C^cq+2a2，2a2+3013,3013+ai

D、a]十。2+€(3，2a]-3(X2+22a3,3al十5a2—5(X3

标准答案：C

知识点解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组AX=0的解

向量组，容易验证四组中只有选项C组线性无关，所以选C.

如果lim=弓，则m=[].

）（

八（A4B>4<C）4（D）q

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解扁暂无解析

考研数学二（选择题）高频考点模拟试

卷第2套

一、选择题（本题共25题，每题7.0分，共25分。）

XI11

1、设多项式14X3*则X’的系数和常数项分别为（）

A、6»一6.

B、一6,6.

C、6,6.

D、-6,-6.

标准答案：D

知识点解析：本题考查行列式的概念，不需要计算行列式，由定义的一般项的构成

可得到要求的结果.由行列式的定义知，主对角线元素的乘积就是X,的项，即

x.2x（—x）.3x=-6x4.当x=0时行列式的值就是常数项，经计算f（0）=—6,故选

D.

2、函数f（x）=18%+1的间断点及类型是（）

A、x=l为第一类间断点，x=-l为第二类间断点。

B、x=±1均为第一类间断点。

C、x=l为第二类间断点，x=-l为第一类间断点。

D、x=±l均为第二类间断点。

标准答案：B

../-1

lim-r:---r

知识点解析：分别就IXI=1,IXI<1,IXI>1时求极限1B4"+1,得出

1,|x|>1,

，0,Ix|=1,

f(x)的分段表达式：f(x>1■1,

'在IxI=1处，因

lim/(x)=1#lim/(x)=-1;lim/(x)=-1#limf(x)=1o

«-!♦*-|-*-*-1♦jr—I-所以，

x=±l均为f(x)的第一类间断点，故选B。

.27

3、设出妙=陞।I),则下列结论中正确的个数是(1次=1为可去间断

点.(2次=0为跳跃间断点.(3次=-1为无穷间断点.

A、0.

B、1.

C、2.

D、3.

标准答案：D

X-X_________X_______

知识点解析：f(x)=[x](/T)|x1(x+0,x=0,±1是f(X)的间断点,

lim-----

按题意，要逐一判断这些间断点的类型.计算可得f(0+0)=*T>，*+1=1,f(0-

-lim-

0)=«-*o-x+*=-1,由于f(0+0)与f(0—0)存在但不相等，故％=0是收的

lim/(X)=lim-]----------=--

跳跃间断点.IM-I|X|(X+1)2%=1是f(%)的可去间断点，

lim/(x)=limp------=»

又“T-l建|(”+1)%=-1是f(%)的无穷间断点，因此选

D.

4、设函数f(x)连续，且f'(0)>0,则存在3>0,使得()

A、f(x)在(0,5)内单调增加。

B、f(x)在(一，0)内单调减少。

C、对任意的x€(0,6),有f(x)>f(0)。

D、对任意的x£(—3,0),有f(x)>f(0)。

标准答案：C

V(0).

知识点解析：由导数定义，知f(O)=i>”>0o根据极限的保号性，存在

“(0),有〃

3>0,使对任意x£x>Oo于是当x8—，0)时，有f(x)V

f(0)；当xW(0,6)时,有f(x)>f(0)。故选C。

%W0,

F(x)='工

5、设1/(0)，z=。，其中f(x)在x=0处可导，f(0)^0,f(0)=0,则x=0

是F(x)的()

A、连续点

B、第一类间断点

C、第二类间断点

D、连续点或间断点不能由此确定

标准答案：B

limF(j,)=lim""=f(0)W0.

知识点解析：F(O)=f(O)=O,l。-o1

——力=一1

6、设周期函数f(x)在(一8,+8)内可导，周期为4,又I2]则

曲线y=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率为()

1

A、2

B、0

C、一1

D、一2

标准答案：D

知识点解析：因为函数f(x)周期为4,曲线在点(5,f(5))处的切线斜率与曲线在点

(1,f(l))处的切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线在点(1,f(l))处的切线斜

率即为函数f(x)在点x=l处的导

=1一八一W3=17(1)=-1

数.3Zj2f―才L即「⑴=一2.

7、设f(%)=JoSi"sint2dt,g(x)=x3+x4,当K-0时，f(%)是g(外的().

A、等价无穷小

B、同阶但非等价无穷小

C、高阶无穷小

D、低阶无穷小

标准答案：B

知识点解析：因为L°g(R)3,所以正确答案为B.

8、下列可表示由双纽线(9+y2)2=£-y2围成平面区域的面积的是

V

A、2)0cos20do.

w

B、4JO20de.

r

2fycos2ed\.

C、*

D、弁2JO(cos20)-2d0.

标准答案：A

知识点解析：双纽线的极坐标方程是：r4=［2(cos2o-sin%)及J=cos20.当女［一

花，兀］时，仅当⑷W.'⑻斗彳L一时才有仑0(图

3.25).图3.25由于曲线关于极轴与y轴均对称，如图

3.25,只需考虑。曰0,7］由对称性及广义扇形面积计算公式得S=4.

rT1,7

?r(6)d6=2(f

Jo2Jocos20do.故应选A.

9、设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量a是A的属于特

征值A的特征向量，则矩阵(PJAP)T属于特征值A的特征向量是

A、P-1a.

B、PTa.

C>Pa.

D、(pl)Ta.

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

积分1缶业=

(A)-圣+C吁』十。

(D)f+C

10、

AN

B、

「、

D、

标准答案：C

f喜如7=J备&—J心打

\昆山■十号一J备必=壬+C

知识点解析:

11、设有平面闭区域，D={(x,y)I-a<x<a,x<y<a},Di={(x,y)I0<x<a,

x<y<a},则D(xy+cosxsiny)dxdy=()

(B)2jxydxdy

(A)2Jcosxsinydxdyo0

Di如

(D)0。

(C)4,(町+cosxsiny)drdy0

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析:将闭区间D={(x,y)I—aWxga,xWyWa}用直线y=—x将其分成两部

分D2和D3，如图1一4一8所示，其中D2关于y轴对称，D3关于x轴对称，xy关

一f

于x和y均为奇函数，所以在D2和D3上，均有°xydxdy=O。而cosxsiny是关于

x的偶函数，关于y的奇函数，在D3积分不为零，在D2积分值为零，因此

cosxsinvdxdv=j^cosxsinydxdy+Jcosxsinydxdy=0+2Jcosxsinydxdy0

所以

J(xy+cosxsiny)dxdy2Icosxsinydxdy,

0

故选

项A正确。

12、设A为n阶可逆矩阵，九是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之

一是

A、X-1IAIn.

B>V1IAI.

C、入IAI.

D、XIAIn.

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

13、向量组四，（12,…，am线性无关的充分必要条件是（）.

A、ai，a2,am中任意两个向量不成比例

B、ai，a2，…，am是两两正交的非零向量组

C、设A=（ai，。2，…，M），方程组AX=0只有零解

D、ai，a2,...»an】中向量的个数小于向量的维数

标准答案：C

知识点解析：向量组a1，az，…，am线性无关，贝」川，。2，…，am中任意两个向

量不成比例，反之不对，故（A）不对：若cq,a2,am是两两正交的非零向量

组，则ai，a2，…，01m一定线性无关，但ai，。2，…，am线性无关不一定两两正

交，(B)不对；ai，012，…，am中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，(D)不

对，选(C).

14、f(»在％o处可导，则If(%)I在为o处().

A、可导

B、不可导

C、连续但不一定可导

D、不连续

标准答案：C

知识点解析：由f(»在次处可导得If(x)I在为0处连续，但If(x)I在xo处不一定

可导，如f(x)=%在％=0处可导，但If(x)I=IXI在％=0处不可导，选C.

15、若曲线y=£+a/+b与曲线2y=—l+xy2在(],一口处相切，则().

A^a=3,b=1

a=l,b=3

C、a=—1,b=-1

D^a=1,b=1

标准答案：C

知识点解析：由y=/+a%+b得y，=2%+a；2y=—l+/y3两边对％求导得2了=

.32

y3+3xy2y\解得y'=2-3N/.因为两曲线在。，一口处相切，所以

(―1=1+。+6,

2+a=―,

I2—3X1X(—解得a=—I,b=—1,应选C.

16、两个4阶矩阵满足A?=B2,则

A、A=B.

B、A=-B.

C、A=B或A=-B.

D、|A|=|B|或|A|=—iBl.

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

17、设三阶常系数齐次线性微分方程有特解yi=，，y2=2/Ly3=3e",则该微

分方程为().

A、y"‘一y"_y'+y=O

B、y"，+y"-yz-y=O

C、y〃，+y"-y'—2y=0

D、y"'-y"_y'+2y=0

标准答案：A

知识点解析：由yi=e%,丫2=2烂Ly3=3e"为三阶常系数齐次线性微分方程的特

解可得其特征值为Q=b=l,13=-1,其特征方程为（九一19（入+1）=0,即好一

X2-X+l=0,所求的微分方程为y"-y"-y#+y=o,选A.

佶‘O’…，。』）

18、设n维行向量a=\22＜贝UAB为（）.

A、0

B,-E

C、E

D、E+aTa

标准答案：C

2

知识点解析：由aaT=Z得AB=（E-aTa）（E+2aTa尸E,选（C）.

19、设四，a2，…，0s是n维向量组,r（ai，012，…，as）=r,则（）不正确.

A、如果r=n,则任何n维向量都可用a”。2，…，线性表示.

B、如果任何n维向量都可用⑴，a2，…，as线性表示，则r=n.

C、如果r=s,则任何n维向量都可用ai，。2，…，as唯一线性表示.

D、如果rVn,则存在n维向量不能用ai，012，…，a,线性表示.

标准答案：c

知识点篇析：利用“用秩判断线性表示”的有关性质,当r=n时，任何n维向量添

加进ai，a2，…，火时，秩不可能增大，从而A正确.如果B项的条件成立，则

任何n维向量组仇，…，我都可用a】，a2，…，as线性表示，从而r（0i，

的，…，Pi）＜r（ai,a2，…，as）.如果取由，的，…，氏是一个n阶可逆矩阵的列

向量组,则得n=r（0i，p2»...»Pn）＜r（ai,。2，…，as）＜n,从而r（ai，（12，…函）=

n,B项正确.D项是B项的逆否命题，也正确.由排除法，得选项C不正碓.r

=§只能说明ai,az,…，as线性无关，如果rVn,则用B项的逆否命题知道存在

n维向量不可用ai,a2,...»线性表示，因此C不正确.

Axj+-r?+A2XJ=0,

＜X|+A-T2+工3=。，

20、齐次线性方程组口1+及+入4=0的系数矩阵为A,若存在3阶矩阵

B/O,使得AB=O,则（）

A、入二一2且|B|二0

B、入=一2且|B|#）

C、X=1且|B|二0

D＞X=1且|B|和

标准答案：C

知识点解析:B，0,AB=O,故AX=O有非零解，|A|=0,

A1A201-A0

|A|=1A1=1A1=(A—1)2=O,A=1»

11A11A又ARO,故B

不可逆，故入=1,且|B|=0.

21、设齐次线性方程组有通解k[l,0,2,

-1]丁，其中k是任意常数，A中去掉第i歹U(i=l,2,3,4)的矩阵记成A”则下列

方程组中有非零解的方程组是()

A、Aiy=0

BNA2y=0

C、A3y=0

D^A4y=0

标准答案：B

知识点解析：A3x4X=0有通解11,0,2,11]T,将A以列分块，设人=[囚，a：,

(13，04],即有ai+2a3—04=0，则方程A2y=0有非零解自=口，2,—­1]T.其余选

项(A),(C),(D)均不成立.若Aiy=0有非零解，设为内，兀2,同丁，则有

Qct2+入2a3+入3«4=0，即0a]+Q(X2+九2a3+入304=0，则由原方程组A3x4X=0,可得另一

个线性无关解[0,九1，及，Q]T,这和题设矛盾.(由题设知，Ax=0只有一个线性

无美解)(C),(D)类似.

22、设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X「AX与X'「A"X().

A、规范形与标准形都不一定相同

B、规范形相同但标准形不一定相同

C、标准形相同但规范形不一定相同

D、规范形和标准形都相同

标准答案：B

知识点解析：因为A与A"合同，所以X，「AX与X『A-1X规范形相同，但标准形不

一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选B.

23、设四，。2,。3是AX=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成().

A、ai，。2，a3的一个等价向量组

B、囚，(X2，的一个等秩向量组

C、ai»a］+ct2，ai+az+a?

D^aj-a2，a2~a3，a?—cq

标准答案：A

知识点解析：选项B显然不对，因为与可，。2,a3等秩的向量组不一定是方程组

的解；因为ai（cq+。2）—（四+。2+。3）=0,所以山，ai+ct2，（11+（X2+013线性相

关，不选C；由（cq-a2）+（a2—a3）+（a3—可）=0,所以四一012，a2~a3，03—ai

线性相关，不选D,故应选A.

=e"Q♦小）］（学）=1/（+）=2,则名（手）

24、设g(x)可微,444=（）

A、一ln2—1

B、ln2—1

C、-ln2—2

D、ln2—2

标准答案：A

知识点解析：h'（x尸eSin2x+g（x）［2cos2x+g'（x）］,则

A，华)=ef/・[2cosy+gz(-^)]=2e'F力=1,

即】♦&(学)=曲"|"，故g(1)=-ln2-1o

25、函数在下列区间上不满足拉格朗日定理条件的是口.

A、［0,1］

B、［-1,1］

C、|0,27/8］

D、［-1,0］

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

考研数学二（选择题）高频考点模拟试

卷第3套

一、选择题（本题共25题，每题1.0分，共25分。）

f(x)=limarctan(1+--------)

1、设数列极限函数…1+=则f(x)的定义域，和f(x)的连续区

间J分别是()

A、1=(-co,4-oo),J=(-co,+co).

B、1=(一1,+8),J=(—1,1)U(1,+8).

C^1=(一C+oo),J=(-1,4-oo).

D、1=(—1,1),J=(一I,1).

标准答案：B

产\tr

(1+--------1=arctan1=—

1+"4当x=l时，

/(1)=arctanJ|十—arctan—■

2当x>l时,

f(x)=limarctan2]=arctan(+8)=y-；

7J当狂一1时,

」imarctan(l+上).则arctan(l♦-------r-1=limarctan

1+"♦…

…'1+/’不存在，因为

=arctan(+8)=y(x<-1)；

1巴"ctan(1♦「+产)=工巴arctan

=arctan(-oo)=--y(x<-1)j

当x=-lBt,arctan(|+三;)无定义,则/(%)在zS・I无定义.

因此/(工)的定义域为/=(-1,+«).

了，X€(-1.1).

4

c、3

〃4)=arctan-tx=1,

「(I,—),

/(*)的连续区间是J=(-1J)U(I,+•).

2、考虑二元函数的下面4条性质：①f(x,y)在点(xo，yo)处连续；②f(x,y)在点

(xo，yo)处的两个偏导数连续：③f(x,y)在点(xo，yo)处可微；④f(x,y)在点

(xu，yo)处两个偏导数存在若用“PnQ'”表示可由性质P推出性质Q,则有

(A)②n③=>①(Bi③=0=>①©③。④=①(D)③。①。④

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：暂无解析

hm/(%)一/(工。)

3、若f(x)在X0点至少二阶可导，且1”。(工一工0>=—1,则函数f(x)在X=XO处

()

A、取得极大值

B、取得极小值

C、无极值

D、不一定有极值

标准答案：A

limf("一八.)

知识点解析：由于L'。包―劭)5>0,当OVIx—XOIvb时，

f(工)-f(A)

(z-Xo)2<o,由于(x—x())2>0,于是f(x)—f(x())V0,所以f(x())>f(x),x()

为极大值点.故选(A).

4、函数f(x)在x=a的某邻域内有定义，且设—(x-。)-二一1,则在x=a处()

A、f(x)的导数存在，且f'(0)翔。

B、f(x)取得极大值。

C、f(x)取得极小值。

D、f(x)的导数不存在。

标准答案：B

知识点解析：利用赋值法求解。取f(x)—f(a)=—(x—a)2,显然满足题设条件，而

此时f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点x=a处取得极大值，故选B。

5、设f(x)在⑶b］上可导，f'(a)f'(b)VO,则至少存在一点xo®a,b)使()

A、f(xo)>f(a)<>

B、f(x0)>f(b)o

C^f(xo)=0o

D、f(xo)=2［f(a)+f(b)］o

标准答案：C

J⑴-/(a)

,,,11111

知识点解析：根据题意，不妨设f(a)VO,f(b)>Oc由f(a)=，F<0

o

可知，存在x=a的右邻域xiC’(a)时,f(xi)Vf(a)=f(a)不是f(x)在［a,b］上最小

值。同理可证f(b)也不是f(x)在［a,b］上最小值。所以f(x)在［a,b］上的最小值点

x=xo£(a,b),由极值的必要条件知f(xo)=O。

6、设入i，屹是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为四，a2,则

ai，A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是()

A^人#0。

B、九2邦。

C、Xi=Oo

D、九2二0。

标准答案：B

知识点解析：令km+k2A(ai+a2)=0,则(ki+k2%i)ai+k212a2=0。因为ai，ct2线性

无关，所以ki+k2，i=0,且k2入2=。。当入2和时,显然有k［=0,k2=0,此时cq,

A(ai+a2)线性无关；反过来，若ai，A(a〕+a2)线性无关，则必然有九2彳0(否则,ai

与A(ai+a2)=Xiai线性相关)，故应选与

7、设总体X服从参数为M入>0)的泊松分布，Xi，X2，…，X2n(佗2)为来自总体X

—Xxr-+4

的简单随机样本，统计量Ti=nit2口-1G〃，则有()

A、E(T1)>E(T2),D(T|)>D(T2).

B、E(TI)>E(T2),D(rm)<D(T2).

C、E(T1)<E(T2),D(TI)>D(T2).

D、E(T|)<E(T2),D(T|)<D(T2).

标准答案：D

知识点解析：

由于£(71)=《£E(X)=£(X)=入，

E(T2)=土甫£(&)(工)=A+%A>0.

故E(TJ<Eg

-A

又D(TJ=%,

小)=小。(%)+和几)=占+会

故D(T])<D(T2)，从而应选D.

d/=0

8、设y=y(x)由x—Ji确定，则y”(0)等于().

A、2e2

B、2e-2

C、e2-l

D、e-2-l

标准答案：A

知识点解析：当x=0时，由Ji得y=l,

z-J】'e'山=0两边对x求导得1—e,x4y>2•(1+*)=0,

解得空=1炉—i,且驱|r.o=e-l,

drdr

由岩=-2Gr+y)•(1+里)得y〃(0)=殷J-2e2

drdrdr应选(A)

9、当x曰o,i]时，r(x)>o,则r(o),「⑴，f(i)・f(o)的大小次序为().

A、f(0)>f(l)-f(0)>f(l)

B、f(0)

C、f(0)>f(l)>f(l)-f(0)

D、f(0)

标准答案:D

知识点解析：由拉格朗三中值定理得-f(l)-f(0)=f(c)(00,所以f(x)单调增加，故

f(0)

10、二次型f(X],X2，X3)=xj+5X22+X32—4xiX2+2x2X3的标准形可以是()

A、yi2+4y22o

B、yi2-6y22+2y32o

C、yi2-y22o

D、y广+4y2’+y3~。

标准答案：A

知识点解析：用配方法，有f=xF—4X|X2+4X22+X22+2X2X3+X32=(X1—

2X2)2+(X2+X3)2,可见二次型的正惯性指数p=2,负惯性指数q=0。所以选Ao

11、n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是()

A、二次型xTAx的负惯性指数为零.

B、存在可逆矩阵P使P,AP=E.

C、存在n阶矩阵C使A=C'C.

D、A的伴随矩阵A*与E•合同.

标准答案：D

知识点解析：选项A是必要不充分条件.这是因为KD=p+q9，当q=0时，有

r(f)=P<n.此时有可能pVn,故二次型xTAx不一定是正定二次型.因此矩阵A不

一定是正定矩阵.例如f(|，X2,X3)=X12+5X32.选项B是充分不必要条件.这是

因为P^AP二E表示A与E相似，即A的特征值全是1,此时A是正定的.但只

要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的.选项C

中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于人=(21€：不能说A与E合同，也就没有A

C-f111,4»CTC=：；］

是正定矩阵的结论.例如