2023九年级数学上册 第二章 一元二次方程6 应用一元二次方程第2课时 利用一元二次方程解决经济问题教学实录 （新版）北师大版

2023九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决经济问题教学实录（新版）北师大版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2023九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决经济问题教学实录（新版）北师大版教学内容本节课教学内容为北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第2课时，主要内容包括：通过实际问题引入一元二次方程，引导学生运用一元二次方程解决经济问题，如利润、成本、投资等。具体内容包括：一元二次方程的应用，一元二次方程的解法，一元二次方程的实际应用案例。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学建模、逻辑推理、数学运算和数据分析等核心素养。通过解决经济问题，学生能够将实际问题转化为数学模型，提高运用一元二次方程解决实际问题的能力。同时，培养学生运用数学语言表达和交流的能力，增强逻辑推理和问题解决意识。此外，通过实际案例的分析，提高学生数据分析的能力，为后续学习打下坚实基础。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识。

学生在进入本节课之前，已经学习了代数基本概念，掌握了一元二次方程的基本解法，包括配方法、公式法和因式分解法。此外，学生对正比例和反比例函数的性质和图像也有一定的了解，这为理解一元二次方程在经济问题中的应用奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。

九年级学生对数学仍然保持着较高的兴趣，尤其对解决实际问题感兴趣。他们的数学能力已经具备一定的抽象思维和逻辑推理能力，能够通过观察和实验来理解数学概念。学习风格上，部分学生可能更倾向于通过具体实例来学习，而另一部分学生可能更喜欢抽象的逻辑推导。

3.学生可能遇到的困难和挑战。

学生在解决一元二次方程应用问题时，可能会遇到以下困难：一是将实际问题转化为数学模型的能力不足，二是理解方程与实际问题的对应关系，三是应用方程解决复杂问题时缺乏策略。此外，学生在进行代数运算时，可能会因为计算错误或理解偏差而难以找到正确的答案。因此，教师需要提供适当的指导和支持，帮助学生克服这些挑战。教学方法与策略1.教学方法：采用讲授法结合案例研究法，通过讲解一元二次方程的基本概念和解决经济问题的方法，引导学生理解并应用。

2.教学活动：设计角色扮演活动，让学生扮演不同的经济角色，如卖家、买家、投资者等，通过模拟交易场景，让学生在实践中理解一元二次方程的应用。

3.教学媒体：利用多媒体课件展示一元二次方程的应用实例，结合动画和图表，帮助学生直观理解方程与实际问题的关系，同时使用实物教具如计算器，让学生在操作中巩固计算技能。教学过程一、导入新课

（教师）同学们，今天我们来学习第二章的一元二次方程6应用一元二次方程第2课时，这一节课我们将探讨如何利用一元二次方程解决经济问题。

（学生）好的，老师。

二、新课导入

（教师）首先，回顾一下我们之前学过的一元二次方程的基本知识，包括它的定义、解法等。

（学生）一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数，且a≠0。解一元二次方程的方法有配方法、公式法和因式分解法。

（教师）非常好，接下来，我们将通过一个实际问题来引入一元二次方程在经济问题中的应用。

三、新课讲授

（教师）同学们，请看这样一个案例：某商店销售一种商品，售价为每件100元，成本为每件60元。为了促销，商店决定对每件商品给予10%的折扣。请问，如果商店要保证每件商品的利润至少为10元，那么每天至少需要销售多少件商品？

（学生）这个问题可以通过一元二次方程来解决。设每天销售的件数为x，则每件商品的售价为100元的90%，即90元。因此，每件商品的利润为90-60=30元。要保证每件商品的利润至少为10元，我们可以建立以下方程：

30x-10x=10

（教师）很好，同学们已经能够将实际问题转化为数学模型。接下来，我们解这个方程。

（学生）将方程简化得：

20x=10

x=10/20

x=0.5

（教师）解得x=0.5，这意味着每天至少需要销售0.5件商品。但是，商品的数量不能是小数，所以我们需要向上取整，即至少需要销售1件商品。

四、巩固练习

（教师）同学们，现在我们来做一些练习题，巩固一下所学知识。

（学生）好的。

（教师）请看以下问题：某工厂生产一种产品，每件产品的成本为50元，售价为每件100元。为了提高销量，工厂决定降低售价，每降低1元，销量增加20件。请问，为了使工厂的利润达到最大，应该将售价降低多少元？

（学生）设售价降低x元，则售价变为100-x元，销量变为20x件。每件产品的利润为(100-x)-50=50-x元。因此，总利润为(50-x)×(20x)。

（教师）很好，现在我们解这个一元二次方程。

（学生）将总利润表达式展开得：

1000x-20x^2

为了使利润最大，我们需要找到这个二次函数的最大值。由于二次项系数为负，这是一个开口向下的抛物线，其最大值在对称轴上取得。

（教师）很好，对称轴的公式是x=-b/2a，其中a是二次项系数，b是一次项系数。在这个例子中，a=-20，b=1000，我们可以计算出对称轴的位置。

（学生）对称轴的位置是x=-1000/(2×(-20))=25。

（教师）解得x=25，这意味着工厂应该将售价降低25元。

五、课堂小结

（教师）同学们，今天我们学习了如何利用一元二次方程解决经济问题。通过实际案例的讲解和练习，我们掌握了将实际问题转化为数学模型的方法，并学会了如何解一元二次方程。

（学生）是的，老师，我们学到了很多。

六、布置作业

（教师）请同学们课后完成以下作业：

1.阅读教材相关内容，复习一元二次方程的基本知识。

2.完成教材中的例题和练习题，巩固所学知识。

3.选择一个实际的经济问题，尝试运用一元二次方程进行解决。

（学生）好的，老师，我们明白了。拓展与延伸一、拓展阅读材料

1.《一元二次方程在经济决策中的应用》

本篇文章深入探讨了一元二次方程在经济决策中的应用，包括成本分析、销售预测、利润最大化等。通过具体的案例分析，读者可以更好地理解一元二次方程在经济问题中的实际应用。

2.《一元二次方程在工程中的应用》

这篇文章介绍了如何将一元二次方程应用于工程领域，如桥梁设计、建筑设计等。通过实际案例，展示了如何使用一元二次方程来解决工程中的复杂问题。

二、课后自主学习和探究

1.阅读相关教材章节，深入理解一元二次方程的基本概念和解法。

2.通过网络或图书馆资源，寻找更多关于一元二次方程在实际生活中的应用案例，如经济学、物理学、生物学等领域的应用。

3.选择一个与一元二次方程相关的实际问题，如房价预测、产品库存管理等，尝试自己建立数学模型，并求解方程。

4.结合一元二次方程的性质，探讨其在不同领域中的应用，如优化问题、资源分配问题等。

5.通过小组讨论或线上论坛，与同学们分享你在自主学习和探究过程中遇到的难题和解决方法，共同进步。

三、拓展知识点

1.一元二次方程的根的判别式

根据判别式△=b^2-4ac的值，可以判断一元二次方程根的性质：

-当△>0时，方程有两个不相等的实数根。

-当△=0时，方程有两个相等的实数根（重根）。

-当△<0时，方程没有实数根，只有两个共轭复数根。

2.一元二次方程的求解方法

除了配方法、公式法和因式分解法之外，还可以使用求根公式、图像法等方法来求解一元二次方程。

3.一元二次方程的应用领域

一元二次方程在经济、工程、物理、生物等多个领域都有广泛的应用，如成本分析、优化问题、曲线拟合等。

4.一元二次方程的图像

一元二次方程的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。通过分析抛物线的形状和位置，可以更好地理解一元二次方程的解的性质。

5.一元二次方程在实际问题中的应用案例

通过分析实际问题，如房价预测、产品库存管理、投资收益等，将一元二次方程应用于解决实际问题，提高学生的应用能力。

四、实践项目

1.设计一个模拟投资项目的案例，让学生根据实际情况建立一元二次方程，并求解最佳投资策略。

2.组织一次班级比赛，让学生以小组为单位，收集现实生活中的一元二次方程应用案例，并进行分析和解决。

3.邀请相关领域的专家或教授进行讲座，分享一元二次方程在特定领域中的应用和研究成果。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法：我在本节课中采用了案例教学法，通过实际的经济问题引入一元二次方程的应用，让学生在实际情境中学习数学知识，这种教学方法能够激发学生的学习兴趣，提高他们的实践能力。

2.多媒体辅助教学：我使用了多媒体课件和动画，将抽象的数学概念具体化，帮助学生更好地理解一元二次方程的应用，这种教学手段能够提高教学效果。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础差异：由于学生之间的数学基础存在差异，部分学生在理解一元二次方程的应用时遇到了困难。这需要我在今后的教学中更加注重个别辅导，针对不同学生的学习情况提供差异化的教学支持。

2.教学互动不足：在课堂互动方面，我发现学生的参与度不够高，有时候课堂气氛较为沉闷。这可能是因为我没有充分调动学生的积极性，今后我需要在设计教学活动时更加注重学生的参与和互动。

3.评价方式单一：目前我主要依靠课堂表现和作业完成情况来评价学生的学习效果，这种评价方式较为单一，今后我计划引入更多的评价方式，如小组合作评价、自我评价等，以更全面地评估学生的学习成果。

反思改进措施（三）

1.加强个别辅导：针对学生基础差异的问题，我将在今后的教学中更加注重个别辅导，为不同层次的学生提供相应的学习资源和方法指导。

2.提高课堂互动：为了提高课堂互动，我计划在教学中设计更多的问题和讨论环节，鼓励学生积极参与，同时也会使用一些教学技巧，如小组讨论、角色扮演等，以活跃课堂气氛。

3.丰富评价方式：为了更全面地评价学生的学习成果，我将在今后的教学中引入多元化的评价方式，包括课堂表现、小组合作、自我评价、作品展示等，以更客观地反映学生的学习情况。

4.关注学生兴趣：我会更加关注学生的兴趣和需求，设计更具吸引力的教学活动，如实际项目、竞赛等，以提高学生的学习积极性和主动性。

5.持续学习与反思：作为教师，我需要不断学习新的教学理念和方法，同时也要对自己的教学进行反思，不断调整和改进教学策略，以适应学生的变化和需求。典型例题讲解例题1：某商品原价为x元，降价20%后，售价为每件0.8x元。如果销售这种商品m件，总利润为w元。请建立利润w关于销售件数m的函数关系式，并说明函数的性质。

解答：利润w=(售价-成本)×销售件数

w=(0.8x-x)×m

w=-0.2xm

这是一个关于m的一次函数，函数的斜率为-0.2x，表示每增加一件商品，利润减少0.2x元。

例题2：某工厂生产一种产品，每件产品的成本为50元，售价为每件100元。为了促销，工厂决定每降低1元售价，销量增加20件。请建立售价p与销量q的关系式，并求出当利润最大时的售价。

解答：设降价为x元，则售价p=100-x，销量q=20x。利润w=(售价-成本)×销量

w=(100-x-50)×20x

w=(50-x)×20x

w=-20x^2+1000x

这是一个关于x的一元二次方程，为了求利润最大值，我们需要找到这个二次函数的最大值。对称轴的公式是x=-b/2a，其中a是二次项系数，b是一次项系数。在这个例子中，a=-20，b=1000，我们可以计算出对称轴的位置。

x=-1000/(2×(-20))=25

当x=25时，利润最大，此时的售价p=100-25=75元。

例题3：某水果店出售苹果，每斤售价为5元，每天卖出100斤。为了促销，店主决定降价，每降价1元，每天多卖出10斤。请建立售价x与销量y的关系式，并求出当每天利润最大时的售价。

解答：设降价为a元，则售价x=5-a，销量y=100+10a。利润w=(售价-成本)×销量

w=(5-a-2)×(100+10a)

w=(3-a)×(100+10a)

w=300+30a-100a-10a^2

w=-10a^2-70a+300

这是一个关于a的一元二次方程，为了求利润最大值，我们需要找到这个二次函数的最大值。对称轴的公式是a=-b/2a，其中a是二次项系数，b是一次项系数。在这个例子中，a=-10，b=-70，我们可以计算出对称轴的位置。

a=-(-70)/(2×(-10))=3.5

当a=3.5时，利润最大，此时的售价x=5-3.5=1.5元。

例题4：某书店进购了一批图书，每册成本为20元，定价为30元。为了促销，书店决定对每册图书进行打折，每降低1元，销量增加50册。请建立定价x与销量y的关系式，并求出当每天利润最大时的定价。

解答：设打折为b元，则定价x=30-b，销量y=50b。利润w=(定价-成本)×销量

w=