数学教案 人教a版必修第一册 同步备课第4章小节练习题

4.1指数

m

最新课程标准：通过对有理数指数基a"（a>0,且aWl；m,n为整数，且n>0）、实数指数第a%a>0,

且aWl；x£R）含义的认识，了解指数幕的拓展过程，掌握指数幕的运算性质.

钳悔例伽附曲""伽制伽""伽伽小!?!!居1•|白寺学习，川川川"川"川"树仲搦阳勿"勿勿勿川川川乃川川川川川h

知识点一n次方根及根式的概念

1.a的n次方根的定义

如果x"=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>],且n£N*.

2.a的n次方根的表示

（1）当n是奇数时，a的n次方根表示为露，a《R.

（2）当n是偶数时，a的n次方根表示为土也，其中一匹表示a的负的n次方根，ae[Q,+QQ）.

3.根式

式子如叫做根式，这里n叫做根指数,a叫做被开方数.

|状元随笔|根式的概念中要求n>l,且n£”.

知识点二根式的性质

（1）（^/a）n=a（nGR+,且n〉l）；

n「=R（n为奇数,且n>l）,

㈠*=1回（n为偶数，且n>l）.

|状元随笔|（如）”中当n为奇数时，a£R；n为偶数时，a20,而耨中a《R.

知识点三分数指数幕的意义及有理数指数塞的运

算性质

1.分数指数基的意义

正分数m

n：

指数累规定：a=^/a(a>0,m,nGN*,且n>l)

分数指

负分数--i]

规定：a"—―(a>0,m,n£N,且n>l)

数基m-

指数累aK遮

性质0的正分数指数哥等于0^0的负分数指数的无意义

2.有理数指数幕的运算性质

(l)arax=ar+^；(a>0,r,s^Q)

(2)(ar)s=a2；(a>0,r,sGQ)

⑶(ab)'=ab.(a>0,b>0,rWQ)

3.无理数指数辕

无理数指数基aYa>0,a是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幕的运算性质对于无理数指数基

同样适用.

［教材解难］

1.教材PlO5思考

可以，把根式表示为分数指数暴的形式时，例如，把羽，饰，后等写成下列形式：

3-

a2=a3(a>0),

/=b2(b>0),

5

y［c)=c4(c>0).

2.教材P侬思考

无理数指数嘉2d的含义：就是一串以私的不足近似值为指数、以2为底数的有理数指数幕和另一串

同样以小的过剩近似值为指数、以2为底数的有理数指数耗无限逼近的结果，故2寸是一个确定的实数.

［基础自测］

1.:(。-4)'+”等于()

A.4B.2n-4

C.2n—4或4D.4—2n

解析：.(.-4)2+n=4—1+冗=4.故选A.

答案：A

2.bl=3(b>0),则b等于()

4

A.3*B.3

C.43D.35

解析：因为b，=3(b〉0),.』=加=3*

答案：B

3.下列各式正确的是()

AA/(_3)2=-3B.^/a*=a

C.(^2)3=-2D.](-2尸2

解析：由于'(-3)」=3,%=|a|,V(_2)3=_2,故选项A,B,D错误，故选C.

答案：C

4.(羲)4的值是--------.

AAj5

fr杀：TJ

琳川IHH川川川"W川川"IHHHI勿川勿出川叫川HWHHI勿勿h图门陶图・I州养I提I升12伽伽喇伽—，

题型一利用根式的性质化简求值［经典例题］

例1(1)下列各式正确的是()

A.^/?=aB.a°=l

C.^/(―4)'=—4D.((-5)。=-5

(2)计算下列各式：

①^/(-a)5=.

②视3-“)"=•

③您=---------

nLf|a|,n为偶数，

【解析】(1)由于炉=笃大附则选项A,C排除，D正确，B需要加条件aWO.

v［a，n为奇数，

⑵①^/(―a)5=­a.

②§(3-JT)"=%("-3)"=n-3.

首先确定式子职中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果.

【答案】(1)D(2)①一a②Ji—3磅

方法归纳

根式化简或求值的贪略

(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用板式的性质进

行化简或求值.

(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝空值符号化简，化简时要结合条件或分类讨

论.

跟踪训练1求下列各式的值：

(1)-2)\(2)((-3)2；

(3)§(3-丸y；(4)^/x2-2xy+y2+〃(y-xf.

解析：(1)%E=-2；

(2)%-3斤缶=木；

R

(3)^/(3-n)=|3—JT|=n—3；

(4)原式=y1(x—y)'+y—x=|x—y|+y—x.

当x2y时，原式=x-y+y-x=0：

当x<y时，原式=y—x+y—x=2(y—x).

0,x2y,

所以原式=°,、/

2(y—x),x〈y.

由根式被开方数正负讨论x2y,x〈y两种情况.

题型二根式与分数指数制的互化［经典例题］

例2(1)将分数指数第a4(a>0)化为根式为

⑵化简：6•羽）+（/・1需）=.（用分数指数基表示）.

利用根式与分数指数基的性质意义化为根式或分数指数基.（3）将下列根式与分数指数基进行互化.

【解析】⑴a4=-^=—

312Zn_2-

⑵(a?•^a5)-i-(yfa•iynfa3)=(a2•)4-(a•a10)=a5-ra^=a5与=a5

6n

3

【答案】(D—(2)a5(3)①a，•=a'•a=a

方法归纳

根式与分数指数累互化的方法及思路

化为化为

（1）方法：根指数＜-------A分数指数的分母，被开方数（式）的指数＜-------A分数指数的分子.

（2）思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数箱的形式，然后利用有理数指数辕的运算性

质解题.

提醒：如果根式中含有多里根号，要由里向外用分数指数移写出.

跟踪训练2下列根式与分数指数恭的互化正确的是（：'

2

A.—y[x=(-x)(x>0)

2

A：一/先把F=x”再加上一.

B：注意y<0.

C：负指数次鬲运算.

题型三分数指数基的运算与化简[教材P心例4]

例3计算下列各式(式中字母均是正数)：

21I1

i223一

(1)(2ab)(-6ab)+(-3a6b6)；

_L1

⑵(m4n)”；

(3)(^/?—7?4)-i-^/a5.

2II1

i2231

【解析】(1)(2ab)(—6ab、)+(—3a6bD

=[2X(-6)4-(-3)]a326b236

=4ab°

=4a；

]_3

⑵(m4n)8=^K-|>

-3

m

(3)(电系一，？)-r

2

2

—a-ra

2_£3_\_

3~22~2

=^/a—a

状元随笔|①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成累的形式，再利用哥的乘方进行运

算；②对于零次累，直接运用a°=l(aWO)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成基

的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减.

教材反思

利用指数察的运算性质化简求值的方法

(D进行指数箱的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数晶，化小数为分数，同时兼顾

运算的顺序.

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算.

(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数辕的形式表示.

跟踪训练3计算：

(1)(-1.8)°+Qj

标+收

解析：(1)原式=1+修｝•仔■)

104-27=2910=19.

c33।3

2-a--b--

14

(2)原式=4^-0.1"----7---T-=2X—X8=-

乙JJ

a5-b-2

状元随笔先把根式化为分数指数幕再运用指数鼎的运算法则计算.

出川则州川川川川川州川川川卅川川川州川"川川州"□国EJ图•财伽，丽伽m

一、选择题

3/---

1.将句一29化为分数指数累，其形式是（）

J_]_

22

A.2B.-2

_1_1

?9

C.2D.-2~

11111

3232

解析：刈-2-=(-2位)=(-2X2)=(-2多3=-2.

答案：B

4

2.若a，(a—2)。有意义，则a的取值范围是()

A.a20B.a=2

C.aW2D.a20且a#2

[a^O

解析：要使原式有意义，只需0_八，

a—2W0

，a20且aW2.

答案：D

3.化简“m的结果是（）

X

A.—yj-xB.y[x

C.-y[xD.q-x

解析：依题意知x<0,所以

答案：A

——---x——x—

=(a6)3•(a3)3=a63-a33=a\

答案：C

二、填空题

3

答案：£

6.设Q,B为方程2x2+3x+l=0的两个根，则（"}+R=.

_3_3

解析：由根与系数关系得a+B=—|,所以+2=（2-2）2=23=8.

答案：8

7.若，7铉不1+亚而W=0,则&如>=.

解析：*/^/X2+2X+1+V7+67+9=0,

•H(x+1)2+,(y+3)2=|x+11+|y+31=0,

.*.x=­1,y=-3.

・・・6如)=[(-1严广=(-1)7=-1.

答案：一1

三、解答题

8.用分数指数基的形式表示下列各式(a>0,b>0)：

(l)a2-\/a；(2)牛蓝•迎；

⑶(羽尸(4)—^—.

脑

12+-5

解析：(1)原式=a%2=a=a2.

?a13

——十一二

(2)原式=a3-a2=a32=a.

12J_32+工273

(3)原式=(a3)-•(ab3)?=a°•ab2=a32b2=a6b2.

--2--2

(4)原式=a?,a=a=a.

9.计算下列各式：

_14

3_(一与)+[(_2)3]《+16fz

(1)0.064

_2

(2)02一(_9.6)。_(一曰'+(—1.5):

_2」

⑶(一3q13+0.0022一10(/一2尸+(小一班)。.

解析：⑴原式=0.厂J+(-2尸+2T奇7+小9得

_2

~3

⑶原式=(-1)—10(v5+2)+1

=T4-10^5—10>/5—204-1=—^'.

J

［尖子生题库］

10.已知a2+a2=&求下列各式的值:

(1)a+a-1；(2)a2+a-2；(3)a2—a-2.

解析：(D^a2+a2=小两边平方,

得a+a—+2=5,

则a+a-l=3.

(2)由a+a'=3两边平方，

得a2+a'4-2=9»

则a2+a-=7.

(3)设y=a2-a-2,两边平方，

24-4

得y=a+a-2

=(a2+a-2)2-4

=7-4

=45,

所以y=±3/,

即a2-a2=±3-^5.

4.2指数函数

第1课时指数函数的概念

最新课程标准：

(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.(2)能用描点法或借助计算工具

画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

W川川HWH川川阳川川册阳川川川川"册出川W册出川川HHhE3团囱国-ri'in)［习小明—明明耐州伽川川则州小

知识点一指数函数的定义

函数0(a>O且aWl)叫做指数函数，其中x是自变量.定义域为R.

状元随笔|指数函数解析式的3个特征

(1)底数a为大于0且不等于1的常数.

(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.

(3)疝的系数是1.

知识点二指数函数的图象与性质

a>l()<a<l

yBy=a'

♦•/(«>D

图象

(0.1)--

。X

o~1

定义域R

值域(0,+8)

性

过定点过点(0,1)，即x=2_时，y=l

质

函数值当x>0时，01；当x>0时，0<y<l；

的变化当x<0时，0<Y〈l当x<0时，以

单调性是R上的增函数是R上的减函数

状元随笔|底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.当a>l时，指数函数的

图象是“上升”的：当0<a〈l时，指数函数的图象是“下降”的.

［教材解难］

规定底数a>0且a#l的理由

当x>0时，a"恒为0；

(1)如果a=0,则

当x<0时，a"无意义.

(2)如果a<0,比如y=(-2),这时对于x=［,］…在实数范围内函数值不存在.

Z4olb

(3)如果a=l,那么y=r=l是常量，对此就没有研究的必要.

［基础自测］

1.下列各函数中，是指数球数的是()

A.y=(-3)xB.y=-3x

C.y=3xD,y=C'

解析：根据指数函数的定义y=a'(a>0且aWl)可知只有D项正确.

答案：D

2.函数f(x)=］号的定义域为()

A.RB.(0,+8)

C.［0,+8)D.(—8,0)

解析：要使函数有意义,则2.—析0,・・.2》1,・・・x>0.

答案：B

3.在同一坐标系中，函数丫=2'与y=(；)的图象之间的关系是()

A.关于y轴对称B.关于x轴对称

C.关于原点对称D.关于直线y=x对称

解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选A.

答案：A

4.函数f(x)=，T*的值域为______.

解析:由1—e'20得e'WL故函数f(x)的定义域为{x|xW0},所以0<ex<l,—K—OX<0,0<1—ex<l,

函数f(x)的值域为［0,1).

答案：［0,1)

环川川川川川川HW川川"出川川出川川川切川川勿册川E3E3陶图・国国瓯川川切勿川川卅勿M和川川川川川川川川川川加川Wh

题型一指数函数概念的应用［经典例题］

例1(1)若函数f(x)=(2a—1)、是R上的减函数，则实数a的取值范围是()

A.(0,1)

B.(1,+°0)

D.(—8,1)

(2)指数函数y=f(x)的图象经过点(一2,；),那么f(4)-f(2)等于.

【解析】⑴由已知，得0<2a—1<1,贝&a<l,所以实数a的取值范围是&1)

(2)设y=f(x)=aYa>0,a#l),所以「=亨,所以a=2,

所以f(4)・f(2)=24X22=64.

【答案】(DC(2)64

(1)根据指数函数的定义可知，底数a>()且aWl,1的系数是1.

(2)先设指数函数为f(x)=a,，借助条件图象过点(一2,；)求a,最后求值.

方法归纳

(1)判断一个函数是指数函数的方法

①看形式：只需判定其解析式是否符合y=a'(a>0,且aWl)这一结构特征.

②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数.

(2)己知某函数是指数函数求参数值的基本步骤

跟踪训练1(1)若函数y=13—2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是

(2)下列函数中是指数函数的是.(填序号)

I

⑥y=x%

①y=2•(*)②丫=2*一】@y=图@y=xx⑤y=3：

解析：(1)若函数y=(3—Za).为指数函数,

3-2a>0,3

则解得a<5且a#l.

3-2a#l,

(2)①中指数式(g)”的系数不为1,故不是指数函数；②中y=2xT=S-2',指数式2、的系数不为1,

故不是指数函数；④中底数为X,不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是X,故不

是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数.故填③.

答案：(1)(_8,|)(2)③

1.指数函数系数为1.

2.底数＞0且

题型二指数函数[教材Pm例1]

例2已知指数函数f(x)=a'(a>0,且aWl),且f(3)=*求f(0),f(l),例一3)的值.

1

3A

【解析】因为f(x)=a',且f(3)=n,则/=*解得a=n,于是f(x)=丸\

-1

所以，f(0)=n°=1,f(1)=JTf(―3)=n=—.

状元随笔要求f(0),f(l),f(—3)的值，应先求出f(:＜)=ax的解析式，即先求a的值.

教材反思

求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解

析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.因为底数a是

大于0且不等于1的实数，所以a=-3应舍去.

跟踪训练2若指数函数「(〉:)的图象经过点(2,9),求门x)的解析式及f(一1)的值.

解析：设f(x)=♦设＞0,且aWD,将点(2,9)代入，得a?=9,解得a=3或a=-3(舍去).

所以f(x)=3：所以f(-1)=37=)

设f(x)=a二代入(2,9)求出a.

出"WHWHH川川川川州州川州川川川伽州"川川川川h^EU^3*留业也I标卅阳川川川川WHHUW川"楸"WW川川阳川川川川川HWh

一、选择题

1.下列函数中，指数函数的个数为()

①y=gh

@y=a'(a>0,且aWl)；③y=-；®y=(%•

A.0B.1

C.3D.4

解析：由指数函数的定义可判定，只有②正确.

答案：B

2.己知f(x)=3L“b为常数)的图象经过点(2,1),则f⑷的值为()

A.3B.6

C.9D.81

解析：由f(x)过定点(2,1)可知b=2,

所以f(x)=3t,f(4)=9.可知C正确.

答案：C

3.当x£[—1,1]时，函数f(x)=3,—2的值域是()

A.[l,.B.[-1,1]

1]I).[0,1]

解析:因为指数函数y=3"在区间[-1,1]上是增函数，所以3一太3,石31于是3T—2W为-2W4—2,

即一彳Wf(x)<1.故选C.

答案：c

4.在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=ax与g(x)=a"的图象可能是()

解析：需要对a讨论：

①当a>l时，f(x)=ax过原点且斜率大于1,g(x)=a'是递增的；②当0<a〈l时,f(x)=ax过原点且

斜率小于1,g(x)=M是减函数，显然B正确.

答案：B

二、填空题

5.下列函数中:

®y=2-（V2）x；②y=2。③丫=伶）；④y=3：；@y=x3.

是指数函数的是(填序号).

解析：①中指数式的系数不为1；②中丫=2'7=：-才的系数亦不为1；④中自变量不为:《；⑤中的指

数为常数且底数不是唯一确定的值.

答案：③

6.若指数函数y=「(x)的图象经过点卜2,3则f(-|)=----------.

解析：设f(x)=k(a〉O且a工1).

因为f(x)过点(一2,上)

所以卷

1O

所以a=4.

所以f(x)=4〉

_3

所以《一y=42=|.

答案：|

O

7.若关于x的方程2X—a+l=0有负根，则a的取值范围是—

解析：因为2*=a—l有负根，

所以x<0,

所以0<2*<l.

所以()3—1<1.

所以Ka<2.

答案：(1,2)

三、解答题

8.若函数y=(a?-3a+3)-a'是指数函数，求a的值.

a2—3a+3=1,①

解析：由指数函数的定义知

a〉0且a^l,②

由①得a=l或2,结合②得a=2.

9.求下列函数的定义域和值域；

1

X小〃2—2

⑴y=2—1；(2)y=M

J_111

XXXX

解析：(1)要使y=2-1芍意义，需xWO,则2W1；故2—1＞一1且2-1^0,故函数y

]_

X,

=2-1的定义域为{x|xWO},函数的值域为(-1,0)U(0,+8).

m2x2—2

(2)函数y=(?的定义域为实数集R,由于2X220,则2X2-22—2.

2x22/r\2x22

故0＜团W9,所以函数y=(y]的值域为(0,9].

［尖子生题库］

10.设f(x)=3)g(x)\

(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x)的图象;

⑵计算f⑴与g(—1),f(n)与g(—n),f(m)与g(-m)的值，从中你能得到什么结论?

解析：(D函数f(x)与g(x)的图象如图所示：

(2)f(l)=3'=3,g(-1)=G)T=3；

£(51)=3==

f(m)=3",g(—m)=

从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互

为倒数时，它们的图象关于y轴对称.

第2课时指数函数的图象和性质［基础自测］

1.下列函数中是奇函数，旦在(0,+8)上单调递增的是()

1

A.y=~B.y=|x|

X

C.y=2xD.y=x3

解析：y=1在(0,+8)上单调递减，所以排除A；y=|x|是偶函数，所以排除B；y=2'为非奇非偶函

X

数，所以排除C.选D.

答案：1)

2.下列判断正确的是()

A.1.5LS>1.52B.0.52<0.511

C.e2VoeD.0.90,2>0.9°-5

解析：因为y=0.9"是减函数，且0.5>0.2,

所以0.9O2>0.9°S.

答案：D

3.已知y2=3>yj=l(T,y,=101则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为()

ABCD

解析：方法一'『十与y,=W单调递增；y尸曲与g二10一』4)单调递减，在第一象限内作直

线x=l,该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.

方法二丫2=£与w=l(T单调递增，且0=10,的图象上升得快，%=(；)与丫2=3，的图象关于y轴对

称，丫3=10一、与O=1(T的图象关于y轴对称，所以选A.

答案：A

4.已知函数f(x)=4+a-(a>0且aWl)的图象恒过定点P,则点P的坐标是_______.

解析：令x—l=0,得x=L此时f(D=5.所以函数f(x)=4+a'T(a>0且aWl)的图象恒过定点

P(l,5).

答案：(1,5)

伽伽楣川州伽咖伽伽州伽伽伽师加州hE3E3E3E1.固养提升加曲伽伽"岫"楣伽伽珊伽伽㈱伽，

题型一利用指数的单调性比较大小[教材Pi“例3]

例1比较下列各题中两个值的大小:

(1)1.72,5,1.73；

⑵0.8一寸,0.8一4；

(3)1.7°30.931.

【解析】(1)1.7?万和1.7,可看作函数y=l.T当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值.

因为底数所以指数函数y=L7x是增函数.

因为2.5V3,所以IC4Vl.T.

(2)同(1)理，因为0V0.8V1,所以指数函数y=0.8"是减函数.

因为一筐>一小，所以0.8一寸〈0.8一丁.

⑶由指数函数的性质知

1.7°-3>1.7°=1,

0.93,<0.9°=1,

所以1.7°3>0.93'.

状元随笔对于(1)(2),要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用

指数函数的单调性进行比较；对于(3),1.7叱和0.9"不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用

函数y=l.T和y=0.9'的单调性，以及“x=0时，y=1”这条性质把它们联系起来.

教材反思

1.由例题可以看出，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系.

2.比较昂值大小的三种类型及处理方法

跟踪训练1比较下列各题中两个值的大小:

8与眇5；

⑴

⑵肌与加

(3)0.2m与0.3"：

5在其定义域R上单调递减，又一1.8>—2.5,所以倒TR

解析：(1)因为0<7<匕所以函数y

图象观察可得(犷需户.

(3)因为0V0.2V0.3V1,所以指数函数y=0.2*与y=0.M在定义域R上均是减函数，且在区间(0,

+8)上函数y=0.2X的图象在函数y=0.3'的图象的下方，所以0.202Vo.3叱

又根据指数函数y=0.2、的性质可得0.2"3Vo.2°”，所以O^-VO.3叱

底数相同，指数不同；

底数不同，指数相同；

底数不同，指数不同.

题型二指数函数的图象问题

例2(1)如图所示是下列指数函数的图象：

①丫二］②丫=廿

③丫』*④y=d>

则a,b,c,d与1的大小关系是()

A.a<b<l<c<dB.b<a<l<d<c

C.l<a<b<c<dD.a<b<l<d<c

(2)当a>0且aWl时，函数f(x)=a-3-2必过定点________.

【解析】(1)可先分为两类，③©的底数一定大于1,①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c,

d的大小，由①@比较a,b的大小.当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越

靠近y轴；当底数大于。小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.

(2)当a>0且a#l时，总有£(3)=不7—2=—1,所以函数f(x)=2"7—2必过定点(3,-1).

【答案】(DB(2)(3,-1)

1.先由a>l,0VaVl两个角度来判断函数的单调性，确定函数图象.

2.由y=a"过定点(0,1)来求f(x)过定点.

方法归纳

指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：

(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y=，(a>0,aW1)的图象与直线x=1相交于点(1,

a),由图象可知：在y轴右侧，图象从F到上相应的底数由小变大.

(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大.

跟踪训练2⑴已知则指数函数①y=m',②丫=/的图象为()

(2)若a>l,-l<b<0,则函数y=a*+b的图象一定在()

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限

解析:(1)由于OVmVnVl,所以y=nf与y=n"都是减函数,故排除A、B,作直线x=l与两个曲线

相交，交点在下面的是函数y=m,的图象，故选C.

(2)Va>l,且一IVbVO,故具图象如右图所示.

答案：(DC(2)A

由底数的范围判断函数图象.

题型三解简单的指数不等式

例3(1)不等式3”-2>1的解为.

(2)若(a>0,且aWl),求x的取值范围.

【解析】(l)3L2>l=3L2>3°nx-2>0=x>2,所以解为(2,+~).

(2)因为所以当a>i时，y=a”为增函数，可得x+l>3x-5,所以xV3.

当()<a<l时，y=a”为减函数，可得x+l<3x-5,所以x>3.

综上，当a>l时，x的取值范围为(一8,3),

当OVaVl时，x的取值范围为(3,+8).

【答案】(1)(2,+8)[2)见解析

状元随笔首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定X的取值范宣

方法归纳

解指数不等式应注意的问题

(1)形如a”〉「的不等式，借助于函数y=k的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>l与0

<a<l两种情况讨论；

(2)形如a'>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数鼎的形式，再借助于函数y=a*的单调性

求解.

跟踪训练3(1)解不等式"W3；

⑵己知(a'+2a+3)'>(a"+2a+3)L',求x的取值范围.

小-—2X2-22-X2

解析：⑴=◎)=3，

2—%2

・••原不等式等价于3/3)

•・・丫=丁是R上的增函数，・・・2—x2WL

/.x2^l>即x21或xW—1.

・•・原不等式的解集是{x|X21或XW-1}.

(2)Va24-2a+3=(a+l)24-2>l,

••・y=(a2+2a+3),在R上是增函数.

.*.X>1—X,解得X>J.

・•・x的取值范围是Xx>1.

(1)化成同底，确定指数函数的单调性.

⑵判断a?+2a+3的范围.

题型四指数函数性质的综合应用

例4已知函数f(x)=a—Wy(x£R).

乙I1

(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(-8,+8)上为增函数;

(2)若f(x)为奇函数,求f(x)在区间［1,5］上的最小值.

【解析】(1)证明：因为f(x)的定义域为R,任取Xi〈X2，

人1巧

112—9

则f(X))-f(x)=a-----------a+--------------------.

22x2+1

Xr\X\巧

24-1(1+2)(1+2)

因为X|VX2,

国x2

所以2—2VO,

X\巧

乂(1+2)(1+2)>O.

所以f(X】)-f(X2)VO,UPf(xi)<f(x2).

所以不论a为何实数，f(x)在(-8,+8)上为增函数.

(2)因为f(x)在xWR上为奇函数,

所以f(O)=O.

即a-2。；］=。'解得a=1-

所以f(x)=1-7TT,

由(1)知,f(x)为增函数,

所以f(x)在区间［1,5］上的最小值为f(l).

因为f(l)=：―〈=：.

430

所以f(X)在区间［1,5］上的最小值为

(1)用定义法证明函数的单调性需4步：

①取值；②作差变形；③定号；④结论.

(2)先由Nx)为奇函数求a,再由单调性求最小值.

方法归纳

(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据

六一乂)=一£6)或£(—*)=£«),结合指数运算性质建立方程求参数；

(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(O)=O,建立方程求参数.

跟踪训练4已知定义在R上的函数£6)=才+卷，a为常数，若f(x)为偶函数,

(1)求a的值;

(2)判断函数f(x)在(0,+8)上的单调性，并用单调性定义给予证明:

(3)求函数f(x)的值域.

解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2'+/=J+a-2'成立,即2V(1—a)=・・(1—a),

所以1—a=0,

所以a=l.

(2)由(1)知f(x)=2x+J,f(x)在(0,+8)上单调递增.

证明如下：任取Xi,xe(0,+8)且X1VX2,

2、

工(11

国1221工2

则f(X!)—f(x2)=2H------------=(2-2)+再为=(2

为巧(22

227

为+为

x为1

2x巧

X,2-2\.r22一］

2-)+----------=—=(2-2)为+工2=(2-2)•

x]当为+巧

2•22

2

因为xi〈X2,且xi,X2W(0,+8),

xxX2尤1+巧

所以2V2,2>1,

所以f(xi)—f(x2)<0,即flx)<f(x2),

所以f(x)在(0,十8)上单调递增.

⑶由⑵知f(x)在［0,+8)上单调递增,

又由f(x)为偶函数知函数fix)在(-8,0］上单调递减,

所以f(x)2f(0)=2.

故函数f(x)的值域为［2,+8).

(1)由偶函数求a.

(2)4步法证明f(x)在(0,+8)上的单调性.

(3)利用单调性求最值，得值域.

仰“倘”勿"倘勿伽勿〃他传仰伽侑，勿勿侑勿勿勿勿施•学业达标便侑加"阳侑值"〃侑侑侑侑""侑""""小

一、选择题

1.设f(x)=ep,xGR,那么£&)是()

A.奇函数且在(0,+8)上是增函数

B.偶函数且在(0,+8)上是增函数

C.奇函数且在(0,+8)上是减函数

D.偶函数且在(0,十8)上是减函数

解析：因为f(一为=@i=©R=f(x),

所以f(x)为偶函数.

又当x>0时，f(x)=(；)在(0,+8)上是减函数,

故选D.

答案：D

2.函数y=a*(0<a〈D的图像是()

解析：y=a以(0<a<l)是偶函数，先画出x20时的图像，再作关于y轴对称的图像，・.・03<1,故选

答案：C

3.若陟+'<(9-"则实数a的取值范围是()

A.（1,+8）B.+°°

C.（一8,1）D.一8,।

解析：函数丫=e)在R上为减函数，所以2a+l>3—2a,所以a>J.

答案：B

4.设x>0,且IVb'Va11,则（）

A.0<b<a<lB.0<a<b<l

C.l<b<aD.IVaVb

解析：Vl<bx,Ab°<bx.Xx>0,Ab>l.

Vbx<a\又x>0,A^>1,

Z.a>b,即l<b<a.

答案：C

二、填空题

242

5.三个数停)7,07,Q)7中，最大的是________,最小的是

解析：因为函数y=(m)在R上是减函数，

24

所以G)7册,

又在y轴右侧函数丫=停)的图象始终在函数y=G)的图象的下方，

3333,

A

所以报份.即职＞铲育.

/i\“2—4.1H-3

6.函数y=GJ的单调增区间是一

解析：令t=x?-4x+3,则其对称轴为x=2.

当xW2时，t随x增大而减小，

/i\%2—4,v+3

则y增大，即y=(jJ的单调增区间为(