数列知识点与习题总结（2024年）

等差与等比数列知识与措施总结

一、知识构造与要点

1+i〃wN

定义册+「册=d-afl+2-。〃+=即一册

通项4〃=一1)"一等差中项a、b、c成等差。人=巴三

2

+(/7-

r基本概念推广an=atnm)d

(I]+〃2)〃

n

前项和Sn6Z]/?+—(n-\)nd

2

等差数列

当d>()(<0)时｛4〃｝为递增(减)数列

当d=()时｝为常数

续本性质与首末两端等距离的项之和均相等

2+aca€

+an=。n-\=……=《+n-i+\，N

m+n=p+q=am+an=ap+aq

1〃2.……na

｛an｝中共〃k成等差则……nk也成等差

|-定义:以一=qf如工=2neN

an-\an

一通项许=4]—等比中项：abc成等比数歹I」=>庐=QC

基本概——>

推广许=%〃0i

r。]〃（4=1）

前n项和」

S=%闯①工］)

I-q1-q

等比数列

与首末两端等距离的I两项之积相等

axan=a2an_｛=......=ara„_M

m+n=p+qnam♦an=ap-aq

｛〃〃｝成等比，若〃],敢,…以成等差则。],即2,…

成等比

------------>0©<0

基本性质—当1或1时｛%｝为递增数列

-----------q>10<<7<I

。1<0或可>0

当时｛〃〃｝为递减数列

q>10<<7<1

当q<0时｛〃“｝为摆动数列

当q=l时｛〃〃｝为常数数列

二、等差数列、等比数列基础知识与措施概括

（一）.一般数列

数列的定义及表达措施；数列时项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）、摆动、循环

数列；数列｛an｝的通项公式加；数列FI勺前n项和公式Sn；

一般数列的通项所与前n项和Sn日勺关系：*

E-S“T（〃N2）

（二）等差数列

1.等差数列的概念

［定义］假如一种数列从第2项起，每一项与它的前一项向差等于同一种常数，那么这个数列就

叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差一般用字母d表达。

即：an-an_x=d（n>2,w0,qw0）o｛%｝成等比数列

2.等差数列的鉴定措施

（1）定义法：对于数列｛〃〃｝,若。用一%=4（常数），则数列｛〃〃｝是等差数列。

（2）等差中项法：对于数列若2。用=。〃+%+2,则数列｛%｝是等差数列，

3.等差数列的通项公式

假如等差数列｛。〃｝口勺首项是公差是d,则等差数列的通项为〃〃=《+（〃—1必。

［阐明］:该公式整顿后是有关nH勺一次函数。

4.等差数列的前n项和

（1）.%=皿92（2.）s“=g+M'

“2〃।2

［阐明］对于公式2整顿后是有关nH勺没有常数项的二次函数。

包=—Sn-S奇+S/=2〃+1

S偶nS奇一S偶S奇一S偶

若有偶数项2〃项，则S奇=生+"21.〃=〃・%

a2+a2n

S偶--n=n-an+］

乙

因此有S偶一s奇=（。2一41）+（“4一。3）+.・・+（侬一。2〃-1）=〃1

（5）.若等差数列｛〃〃｝的前2〃-1项日勺和为S2M，等差数列｛2｝的前2〃-1项日勺和为

（三）.等比数列

1.等比数列的概念

［定义］：2-=q（〃>2,anH0,qw0）=｛%｝成等比数列

an-\

［等比中项1

假如在。与/?之间插入一种数G,使a,G,〃成等比数列，那么G叫做。与〃的等比中项。

也就是，假如是日勺等比中项，那么色=2,即G2=M。

aG

2.等比数列的鉴定措施

（1）定义法：对于数列｛〃〃｝，若也=q（qw0）,则数列｛%｝是等比数列。

即

（2）等比中项：对于数列｛/｝,若。/〃+2=（%H0），则数列｛七｝是等比数列。

3.等比数列的通项公式

假如等比数列｛%｝口勺首项是q,公比是4，则等比数列的通项为%

4.等比数列的前n项和

(q=1)

Sn=WQ=a「a〃q(q工n

\-q-\-q"

5,等比数列的性质

(l)等叱数列任意两项间的关系：假如4〃是等比数列的第〃项，％，是等差数列H勺第加项，且

m<n,公也为<7，则有a〃=a〃M"'"

(2).对于笠比数列｛%｝,若〃+/篦=〃+U，则。“•见〃=。”•6，

ao如图所示：Q1，如竺二汩巴巴'"〃

也就是：Q]•an=a2.=%•n-2

(3)若数列｛册｝是等比数列，S”是其前n项口勺和，kjN”，那么品，S2k-Sk,S3k-S2k成

等比数列。如下图所示:

S3k

,____________________________/s____________________________、

a\+。2+“3+…+‘〃+以+1+…+a2k+“2k+l+…+a3A

J_y__JJ_y_JJ_J

Sks?k-SkS3k-S2k

三、数列的通项求法

1.等差，等比数列的通项；

…、f，,(〃=1)

2.5„—>a—<

n瓜』,(心2)

3.迭加累加,迭乘累乘

若…

若%-an_x=/(n),(n>2),

则必—为=于⑵，则”=8出

一⑶

。3一。2二/⑶，

ch

-41=fW，--=g(〃)

4,1

%-囚=”2)+/⑶+.../(〃)，&二g(2)...g(〃)

注：若%+i-即=/(〃),冬旦=g(〃)呢?

许

4.数列间的关系

(1)｛%｝成等差数列=忸放等比数列

{%}成等差数列=an=An+BSn=Ai^+Bn

(2)｛%｝成等比数列n3｝成等比数列

一｝成等比数列W｛log,,%｝成等差数列

(3)递推数列］

①能根据递推公式写出数列的前n项

。1，(〃=1)

②由7(5〃,。〃)二0,求。〃,5〃解题思绪：运用勺=<

S“一Sf(〃22)

变化(i)已知"S5az)=0(ii)已知/⑸,S,—S〃T)=0

③若一阶线性递归数列an=kan-i+b(kWO,kNl),则总可以将其改写变形成如下形

bb

式a+----=k(a“_[+-)(n^2),于是可根据等比数列的定义求出其通项公式;

k—k-

四、数列的求和措施(详细讲解见六)

1.等差与等比数列求和公式

2.裂项相消法:----------------=------(----------------)如：an=l/n(n+l)

(4〃+8)(A〃+C)C-BAn+BAn+C

3.错位相减法:册=bn.%,也〃｝成等差数列,｛牖｝成等比数列

S”=仇。］+〃2c2+…++b„cn

则夕S〃=仇&+……+〃〃-£?+〃,£,+】

因此有(1-q)S〃=+(。2+。3+……c〃)d-bncn+{

n

如:an=(2n-l)2

4.倒序相加法：如已知函数/(x)=4，：2

(xwR)求:5n,=/(-)+/(-)+-/(-)o

mmm

n

5.通项分解法：4〃=〃〃±c〃如：an=2n+3

五、其他方面

1、在等差数列｛4｝中，有关&时最值问题一一常用邻项变号法求解：

(1)当％>0,d<0时，满足J"'”之。的项数m使得$文取最大值.

1%用40

(2)当q>0,d>0时，满足1"〃'"°的项数m使得外取最小值。

在解含绝对值H勺数列最值问题时，注M转化思想的应用°

2、三个数成等差的设法：ada,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

3、三个数成等比附设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,叫3(为何？)

4、求数列｛an｝日勺最大、最小项的I措施:

>0

_2

①anuan=......0如an=-2n+29n-3

<0

>1

②=…］=1(an>0)如an=9(〃+D

&jo。

③an=f(n)研究函数f(n)/、J增减性如an=f------

n+156

六、专题讲座一《数列求和题的基本思绪和常用措施》

一、运用常用求和公式求和

1、等差数列求和公式：5〃=皿土巴)=〃4+里曰"

22

(q=1)

n

2、等比数列求和公式：Sn=\a.(\-q)_aA-anq

-;二~;\Q工D

1-q\-q

3、5〃=豆左=；〃(〃十1)4、S〃=£1=%(〃+I)(2〃+I)

k=\24=］6

5、s〃=汽&3=［；〃5+l)f

&=i2

［例1］已知数列{an},an=x\(x^O),数列的前n项和，求s“。

解：当x=l时，stl=n

当xWl时\{4}为等比数列，公比为x

由等比数列求和公式得S“=x+/+/+...+/(运用常用公式)

1-x

【巩固练习】1:已知数列｛%｝的通项公式为4=3〃-14,与为｛%｝的前11项和,

（1）求s〃;（2）求｛同｝的前20项和。

解：

二、错位相减法求和

这种措施是在推导等比数列的前n项和公式时所用的措施，这种措施重要用于求数列

｛an-bn｝的前n项和，其中｛即｝、｛bn｝分别是等差数列和等比数列.

［例2］求和：Sn=1+3x+5x~+7x，+•••+(2〃—l)x"।.........(xwO)

当x=i时，S〃=I+3・I+5・I2+7・I3+-+(2〃—I)・I，I=I+3+5+..+(2〃—D=〃2

当x#1时，Stl=1+3x+5x~+7+…+(2〃-1)无"।............①

23,,-1n

两边同乘以xWxSn=U+3x+5x+•••+(2z?-3)x+(2n-\)x...②(设制错

位）

①一②得(l—x)S〃=1+2x+2x2+2x3+2x4+•••+2xn-'一(2〃—l)x"(错位相减)

1-t"T

再运用等比数列的求和公式得：（l—x）S〃=1+2/•--——（2/7-1）XW

1-x

(2几一l)x向一(2〃+1)炉+(1+x)

S〃=

(1—4

【巩固练习】2:求数列—,一-,——，…前n项的和.

222232"

解：由题可知，｛4｝的通项是等差数列｛2n｝H勺通项与等比数列｛」-｝的通项之积

2T

2462n

设S.=—I.....-H——4~•,•+----①

222232〃

242(〃一1)十2n

—7十丁十•••十②（设制错位）

22232〃2〃+

2222122/7

①一②得(1—)5=—1——+II•••I（错位相减）

222223242"2n+1

12n

=2一一

2n-\2〃+1

〃+2

S〃二4一

2〃T

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的措施，就是将一种数列倒过来排列（反序），再

把它与原数列相加，就可以得到n个(6+劣).

［例3］求证：C；+3C；+5C：+•••+(2〃+DC；=5+1)2”

证明：设5〃=C：+3C：+5C,；+…+(2〃+l)C；.......................................①

把①式右边倒转过来得

S〃=(2〃+1)禺+(2〃—1)。丁+…+3C：+C;(反序)

又由C：=C：f可得

S〃=(2H+1)C：+(2/2-1)C：+…+3c二+最...............②

①+②得2s“=(2〃+2)(C：+C+•••+C『+C：)=2(/7+1)・2"(反

序相加)

・•・S”=5+1)2

【巩固练习】3:求sii?r2。+sii?3。+…+§亩28++0布89。时值

解：设5=$万21。+5皿22°+$m23。+~+5万288°+$亩289°.................①

将①式右边反序得

5=sin2890+sin2880+---+sin230+sin220+sin2T......②(反序)

又由于sinx=cos(90-x),sin-x+cos-x=\

①+②得(反序相加)

2S=(sin2f4-cos2l°)4-(sin220+cos22°)+---+(sin289°4-cos289)=89

・•・S=44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将此类数列合适拆开，可分为几种等

差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如：｛an±hn｝的)形式，其中｛an｝、

｛E｝是等差数列、等比数列或常见欧I数列.

［例4］求数列的前n项和：1+1,工+4,-1+7,・・・,」7+3〃-2,…

aa2an-l

解：设s〃=(1+1)+(工+4)+(二+7)+…+(4+3〃-2)

aaa"

将其每一项拆开再重新组合得

S“=(1+2+4+•••+<)+(1+4+7+・一+3〃-2)(分组)

acra"

S+色』=2与(分组求和)

当a=1时，

22

1__L

n

a(3/2—l)n_。一〃一"

当QW1时，3”一.I+-

"1

1-----1-2a-\2

【巩固练习】4：求数列｛n(n+l)(2n+l)｝的J前n项和.

解：设4=%(%+1)(2%+1)=223+322+%

S'=£攵(左+1)(2左+1)='(2攵：'+3kz+k)

k=\k=l

将其每一项拆开再重新组合得

Sn=2支攵3+3受产+£卜(分组)

Ar=l女=1k=\

=2(「+2?+…+/)+3(『+22+•••+H2)+(1+2+•••+/?)

=皿辿+必土D21+返W(分组求和)

222

//(/?+1)2(/7+2)

2

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)

分解，然后重新组合，使之能消去某些项，最终到达求和的目的.通项分解(裂项)如:

⑴a=/(/?+l)-/(n)(2)----------=tan(〃+1)'—tann

nCOS/?°COS(H4-1)

/(2〃)2I1/11\

(3)an=-------=-----(-4-)--a=--------------=1+—(--------------)

n(n+1)n及+1〃(2n-1)(271+1)22H-12〃+l

]_1_1]

(5)=

??(/?-1)(7?+2)2?!(/?+1)(n+1)(/1+2)

〃+2

(6)…/不?M=2(：U:吴告一岛犷则S4-岛f

⑺册

nI1(9)a=—j=-1-------=J〃+1-G

(8)ny

(/?+1)!n!(〃+1)!VH+VH+I

11

[例5]求数列，…日勺前n项和.

1+V25V2+V34n++1

解：ci=-7=----/=+1—Vn（裂项）

J〃+J/2+1

则〃

S=---^=+~7=-—j=+---+-j=------（裂项求和）

1+J2、2+j3++l

—(V2—VT)+(V3—V2)+♦,•+(J〃+1—\[n)

=J〃+1-1

【巩固练习】5:①在数列｛an｝中，4=」-+/_+-+，_,又a=_2_,求

n+\〃+1n+\at-an+i

数列｛bj日勺前n项附和.

/7+1〃+172+12

211

・・・bn=——=8(----------)(裂项)

几时1nn+\

2'2

・•・数列｛0｝的前n项和

S=8[(1———)]（裂项求和）

tJ“22334n〃+1

"J=)=8〃

/2+1

111cost°

②求证:----------------1------------------k•••H-------------------=---------

cosOcoslcoslcos2cos88cos89sin-1

解：设5=-------5-------+----------------+•••+------------------

cosO°cosl°cosl°cos2°cos88cos89

,Io

・・・------------------=tan(〃+l)°-tann(裂项)

cos/?cos(/?+1)°

・・・S=---------------+--------5-------+•••+-------------------(裂项求和)

cosOcosl°cosl°cos2cos88cos89

------{(Lani'—lanOc)+(tan2°—lanl°)+(lan3:—tan20)-t-[tan89°—lan88°]}

sin1°

])cos1°

=----(tan89-tan0")=-----cotl0=---原等式成立

sinlcsinlsin-1°

③求和：5M=—+—++--------------------

1x33x5(2〃-D(2〃+l)

六、合并法求和

针对某些特殊日勺数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列H勺和

时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例6]求cosl°+cos2c+cos3°+•••+cos178°+cos179°『、J值.

解：设Sn=cosl0+cos2°+cos3°+•••+cosl78°+cosl79°

cos(180-n)=-cos/?(找特殊性质项)

・・・Sn=(cosl°+cos179°)+(cos2°+COS1780)+(cos3°+cosl77°)+・・・

+(cos890+cos9T)+cos9（合并求和）

【巩固练习】6:在各项均为正数的等比数列中，若

。5〃6=9,求log?%+log3Cl.+—・+1083。10日勺值.

解：设Sn=log3.+log3a2+---+log3aiQ

由等比数列时性质m+n=p+q=>aman=apa（找特殊性质项）

和对数的运算性质log.M+log.N=log.M•N得

Sn=(log3+log3aI0)+(log3a2+log3a9)+•••+(log3a5+log3a6)(合并求和)

1

=(log•^l0)+(og3a2-6f9)+---+(10g36f5,/)

—log39+log39H-------Hlog39—10

七、运用数列的通项求和

先根据数列的构造及特性进行分析，找出数列通项及其特性，然后再运用数列的通项揭

示的规律来求数列的前n项和，是一种重要的措施.

[例7]求1+11+111+…+111…1之和.

“个1

1X999--«9=-(10A-1)

解：由于111…1=（找通项及特性）

~jpbi-9£个19

・・・1+11+111+…+111…1

”个1

23

=1(10,-1)+1(10-1)+1(10+-1)（分组求和）

=-(101+1024-1034----+10/，)--(14-1+14----4-1)

99'

110(10z,-l)n

~910^19

=^j(10/,+1-10-9/1)

【巩固练习】7:已知数歹ij{aj：an=...———不，求Z（〃+D（%一4+1）时值•

（〃+1）（〃+3）7?

解：・・・5+1)(%—。用)=8(〃+1)[]（找通项及特性）

(〃+1)(〃+3)(〃+2)(〃+4)

=8•[------------------+------------------](设制分组)

(〃+2)(〃+4)(/?+3)(/7+4)

二4•(----------------------)+8(----------------------)(裂项)

/24-2〃+4〃+3〃+4

・・.石―二?（kk鸳不一力（分组、裂项求和）

高考递推数列题型分类归纳解析

类型1%=an+f（n）

解法：把原递推公式转化为〃用-%=/（〃），运用累加法（逐差相加法）求解。

例L己知数列｛〃/满足q=，，。〃+|=。〃+二一，求

2〃

变式：已知数列｛。〃｝中％=1,且42k=〃2k・l+（-1））〃2k+l=〃2k+3k,其中k=1,2,3,

（I）求的,怒；（H）求｛小川勺通项公式.

类型2。〃十I=f（n）atl

解法：把原递推公式转化为也=f5）,运用累乘法（逐商相乘法）求解。

an

°

例1：已知数列MJ满足4=三，。〃+]=/一。〃，求。〃。

3n+\

3/2—1

例2:已知q=3,ain]=-----an（??>1）,求明。

3nI2

变式:（2023,全国I,理15.）已知数列（知"满足〃产1,6=%+2%+3%+…+5—1）%

I-\

(〃22),则｛斯｝的通项Q=\n

“n>2

类型36ZZI+1=pan+q（其中p,q均为常数，（〃如〃一1）工。））。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：。e-其中，=_",再运用换元

1一〃

法转化为等比数列求解。

例:已知数列｛%｝中，6/1=1,%+1=2。〃+3,求

变式：（2023,重庆，文,14）

在数列｛a〃｝中，若％=La〃+]=2%+3（〃>1）,则该数列的通项an=

变式：（2023.福建.理22.本小题满分14分）

已知数列｛〃〃｝满足4=l,a〃+i=2a〃+l（〃£N）

（I）求数列｛〃〃｝日勺通项公式；

（II）若数列｛为｝满足好一甲-二4k=（4+1产（〃£八产）,证明：数列也｝是等差数列；

（III）证明：—+++（A2G

23%〃34+12

类型4〃“+]=〃〃“+/（其中p,q均为常数，（pq（p-l）（q-l）。0））。（或

4〃+i=，其中p,q,r均为常数）。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以9田，得：号=3•2+’引入辅助数列也〃｝

qqqq

（其中2=3），得：再待定系数法处理。

qqq

例:已知数列｛〃"｝中，q=，4+i="“+（；严，求明。

o32

变式：（2023,全国I,理22,本小题满分12分）

41?

设数列｛凡｝日勺前〃项的和S”=—七——x2〃”+—,H=1,2,3-

（[）求首项《与通项勾；（1【）设7；=二，〃=1,2,3,一，证明：

S”/=12

类型5递推公式为〃,“2=〃q+1+4凡（其中p，q均为常数）。

解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为%+2-5。〃+1=«4+1

其中s,t满足1s+/=〃p

同=-Q

解法二(特性根法)：对于由递推公式%+2+9。〃，4=。，生=/给出口勺数列｛%｝，方

程“X—4=0,叫做数歹J｛%｝H勺特性方程。若也,々是特性方程H勺两个根，当芭工々时，

数列｛凡｝的通项为〃“=At；i+&；1,其中A,B由4=。,％=£决定(即把4，。2，2，工2

和〃=1,2,代入。“=得到有关A、B的方程组)；当凡=々时，数列｛〃/的

通项为。〃=(A+,其中A,B由q=a,g=A决定(即把q“，不，尤2和〃=口，

代入。“=(4+8?)41,得到有关A、B日勺方程组)。

解法一(待定系数——迭加法)：

数列｛an｝：3。“+2-5。〃+]+2%=0(/?20,〃£N),a]=a,a2=b,求数列｛%｝的通项公式。

2]

例:已知数列｛〃“｝中，卬=1，。2=2,4“+2=,，/+,%，求明。

变式：

1.已知数列｛q｝满足q=1,。2=3,。〃+2=3%+1-2%5wN*).

(I)证明：数列｛。，出一。“｝是等比数列；(II)求数列｛q｝口勺通项公式；

(III)若数列出｝满足4"中，.的=(4+1卢(〃€N*),证明｛2｝是等差数列.

2.已知数列｛%｝中，q=1,%=2,afl+2=-a/l+l+-an，求册

3.已知数列｛“〃｝中，S〃是其前〃项和，并且S“+]=44+2(〃=l,2,・・),q=1,

⑴设数列a=。用一2凡(拉=1,2,……),求证：数列历〃｝是等比数列；

⑵设数列c“=2，(〃=1,2,……),求证：数列｛。〃｝是等差数列；⑶求数列｛〃“｝的通项公式及前几项和。

类型6递推公式为S〃与*Fl勺关系式。(或S〃=/(%))

5...........(〃=1)

解法：这种类型一般运用「c，、♦与4=S〃—Si=/(〃〃)-/(%)消

电-.....522)

去S〃(〃>2)或与S〃=/(S„-S,i)(〃22)消去％进行求解。

例：已知数列｛6｝前n项和S“二4一见一白.

(1)求明+|与明日勺关系；(2)求通项公式明.

(2)应用类型4(%+]=+4"(其中p,q均为常数，(〃虱〃一1)(4-1)=0)))H勺措施，

上式两边同乘以2川得：2"力川=2〃。〃+2

由《=»=4—q——[nq=1.于是数列｛2〃%｝是以2为首项，2为公差的等差数列，因此

2”即=2+2(/7-1)=2/?=>%=二

变式：(2023,陕西，理,26本小题满分12分)

已知正项数列｛an｝,其前n项和Sn满足1OSn=a/+5an+6且21再3a5成等比数列，求数列｛aj日勺

通项an0

变式：(2023,江西，文,22.本小题满分14分)

已知数列伍J的前n项和Sn满足工一5-2=3(-，)'1(〃之3),且3=1,邑=一』,求数列｛知｝的

通项公式.

类型7。〃+1=pan+an+b(pwl、0,aw0)

解法：这种类型一般运用待定系数法构造等比数列，即令%+1+x(〃+l)+y=p(a.+x〃+)，)，

与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为｛4+•+)，｝是公比为p的等比数列。

例:设数列｛%｝：以।=4,a〃=3以〃_［十2〃-1,（〃之2）,求册.

变式：（2023,山东，文,22,本小题满分14分）

己知数列｛%｝中，4=g、点（〃、2%+］-在直线y=x上，其中n=l,2,3…。

（I）令2=1-3,求证数列是等比数列；（11）求数列｛4的通项；

（山）设S“、7；分别为数列｛4｝、也〃｝的前〃项和，与否存在实数几，使得数列［上生］为等

n

差数列？若存在试求出4。不存在，则阐明理由.

r

类型8an+i=pan（p>0,%>0）

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为=/%〃+q,再运用待定系数法求解。

例：己知数列｛%｝中，4=1,4用=1端（。>（））,求数列｛/的通项公式.

a

变式：（2023,江西，理,21.本小题满分12分）

已知数列&｝的各项都是正数’且满足：“。=1,。向=：a“（4—aJneN.

（1）证明<2,〃EN;（2）求数列｛%｝的通项公式即

变式：（2023,山东，理,22,本小题满分14分）

已知〃尸2,点（a”,a〃+力在函数贝刈二一+②的图象上,其中=1,2,3,…

（1）证明数列｛lg（l+斯）｝是等比数列；

（2）设刀尸（1+四）（1+〃2）…（1+如），求耳及数列｛斯｝欧J通项；

112

记b,k一十——求｛儿｝数列的前项和S〃，并证明S〃+^^二1。

%4+237；,-1

类型9all+i=—也竺一解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为

g（n）atl+h（n）

%m=〃％+q。

例：已知数列｛an｝满足：—,《二1，求数列｛加｝日勺通项公式。

3-an.+1

变式:(2023,江西，理,22,本大题满分14分)

八Q

1.已知数列(a„)满足：ai=-,且an=_<n>2,neN*)

22an_]+n~\

(1)求数列｛an｝H勺通项公式；

(2)证明：对于一，切正整数n,不等式a【・a2・.......an<2*n!

2、若数列I向递推公式为4=3,」一=」--2(/76(),则求这个数列的通项公式。