人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第六章复数

主题三

几何与代数第六章平面向量、复数(必修第二册)

第1节平面向量的概念及线性运算

@课程标准要求

1.向量概念

①通过对力、速度、位移等的分析•，了解平面向量的实际背景,理解平

面向量的意义和两个向量相等的含义；

②理解平面向量的几何表示和基本要素.

2.向量运算

①借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算

规则，理解其几何意义；

②通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意

义,理解两个平面向量共线的含义；

③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.

必备知识.课前回顾①归媒材芬实四基

的知识梳理

1.向量的有关概念

(1)向量:既有太小又有方面的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长

度(或模).

(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.

⑶单位向量:长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量.

规定:0与任一向量平行.

(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向

量

定义法则(或几何意义)运算律

运

算

①交换律：

求两个a

加a+b=b+a;

三角形法则

向量和

法②结合律：

的运算

a(a+b)+c=a+(b+c)

平行四边形法则

求两个

减/c-

向量差a-b=a+(-b)

法

三角形法则

的运算

求实数①xal=!xa;人(Ua)=(A,

数入与向②当X>0时，xa的方向与a的方U)a;

乘量a的积向相回;当人<0时，入a的方向与a(入+U)a=入a+u

的运算的方向相反;当入二0时,人行。a;

入(a+b)=Xa+Xb

3.共线向量定理

向量a（aWO）与b共线，当且仅当有唯---个实数入，使得b二入a.

提醒：当aWO时，定理中的实数X才唯一，否则不唯一.

口婴I重要结论

1.P为线段AB的中点,（）为平面内任意一点而）.

2.若G为4ABC的重心,则有

⑴0+法+且=0;⑵（薪+融）.

3,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后

一个向量的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量的和为零

向量.

4.对于起点相同、终点共线的三个向量ok0Plf0P2（0与PR不共线）,

总有命=uO%+v。"u+v=l,即总可以用其中两个向量的线性组合表

示第三个向量，且系数和为1.

5.对于任意两个向量a,b,都有：

（1）I|a|Tb||W|a±b|W|a|+|b|;

⑵|a+b「+|a-b|2=2（|a|2+|b1）.

6.设a,b是两个不共线的向量,则x,a+y.b与x2a+y2b共线的充要条件

是Xiy2-x2yi=0.

一♦对点自溺闩一

1.（必修第二册P23习题6.2T9改编）如图,D,E,F分别是4ABC各边的

中点，则下列结论错误的是（D）

金

RDC

A.EF^CD与而共线

C.薪与cB是相反向量D.AE=-\AC\

2

解析:/W前,故D错误.故选D.

2.（必修第二册P22习题6.2T4改编）已知下列各式：

①几+立+%;

@OA+OB+BO^CO;

@AB-AC^BD-CD.

其中结果为零向量的个数为（B）

A.1B.2C.3I）.4

解析:①中几+品+4=0;②中薪+薪+访+。京二几+0=筋;③中

OA+OB+BO+CO=OA+CO=CA;④中旗一品+而-cB=后+品=0.故①④

正确.故选B.

3.如图所示，已知/C=3五,tM=a,OB=b,OC=cf则下列等式成立的是

（A）

.3,1

A.c=-b—a

22

B.c=2b-a

C.c=2a-b

D.c=-a--b

22

解析：因为品二3后,(M=a,而二b,所以

TTTTrTT2T—1TAi

古攵选A.

OC=OA^AC=OA+-2AB=OA+-2(OB-OA)=^2OB--2OA=-b2--2a.

4.设a与b是两个不共线的向量,且向量a+入b与-(b-2a)共线，则入

解析:法一依题意知向量a+入b与2a-b共线,设a+入b=k(2a-b),则

有(1-2k)a+(k+入)b=0,所以伫之Z：解得k4X=-l

法二由题意a+入b与2a-b共线,a,b不共线,所以2人-1X(-1)二0,

入二」.

2

答案:《

5.已知|a|=2,|b=5,则|a+b|的取值范围是.

解析：当a与b方向相同时，|a+b|=7;当a与b方向相反时，|a+b|=3;

当a与b不共线时,3<|a+b|<7.所以|a+b|的取值范围为[3,7].

答案：[3,7]

美》考点若实四更

关键能力-课堂突破

糜考点一平面向量的概念

1.下列说法正确的是(D)

A.平面内的单位向量是唯一的

B.平面内所有单位向量的终点的集合为一个单位圆

C.所有的单位向量都是共线的

D.所有的单位向量的模相等

解析:因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量

的起点不同时,其终点就不一定在同一个单位圆上,所以选项B错误；

当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所

以选项C错误；因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.故选D.

2.下列四个命题正确的是(B)

A.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同

B.若A,B,C,D是不共线的四点,且弱二防,则四边形ABCD为平行四边

形

C.a=b的充要条件是|a|二|b|,且a〃b

D.已知人，口为实数，若入a二ub,则a与b共线

解析:A错误,若两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两

个向量相等,不一定有相同的起点和终点;B正确，因为成二发,所以

\AB\=\DC\f且筋〃儿,又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形

ABCD为平行四边形;C错误，当a〃b,且方向相反时，即使|a|二|b|,也

不能得到a二b,所以“|a|二|13|,且2〃1)”不是“a二b”的充要条件，而

是必要不充分条件;D错误,当入一二0时,a与b可以为任意向量,满

足Xa=nb,但a与b不一定共线.故选B.

3.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是

单位向量,则a=b;③向量与8/相等.则所有正确命题的序号是

(A)

A.①B.③C.①③D.①②

解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知，单位

向量的模相等，但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②

错误；向量几与易互为相反向量,故③错误.故选A.

一-后悟通

向量有关概念的关键点

⑴向量定义的关键是方向和长度.

⑵非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.

⑶相等向量的关键是方向相同,且长度相等.

(4)单位向量的关键是长度等于1个单位长度.

⑸零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线.

戚考点二向量的线性运算

。角度一向量的线性运算

♦O(1)在AABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点，则扇等于

()

311一3T

K.-AB--ACB.-AB--AC

4444

3T1一1一3T

C.-AB+-ACn.-AB+-AC

4444

⑵如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一

点,BC=3ECfF为AE的中点,则标等于()

2T2T1T

\,-AB--ADB,--AB+-AD

3333

1一2T2T

C.--AB+-ADn.-AB--AD

3333

:^EB^AB-AE^AB--AD^AB--X-(AB+AC^-AB--AC.故选

22244

A.

⑵根据平面向量的运算法则得

BF=-BA^BEf赢三命,BC=AC-AB.

223

因为命“H汨DC=-AB

2f

^^BF=--AB+-(AD+-AB-AB)=--AB+-AD.故选B.

23233

解题策略

向量的线性运算问题要瞄准结论

(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.

(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相

等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量

表示出来求解.

幅度二根据向量线性运算求参数

70⑴在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD的中点，若

48=x/E+y/产(x,y£R),贝ijx-y二.

⑵已知D为4ABC的边BC的中点，点P满足易+晶+昂=0,AP=入访,

则实数入的值为.

解析：(1)AF^AD^DF=AD+-AB

22f

因为n二x/+y24k

所以4B=(x+>)AB-

所以x-y=2.

(2)因为D为4ABC边BC的中点,所以PB+PC=2PD,又P4+BP+CP=0,

所以彘而十前二2而,所以正-2访,所以入=-2.

答案：⑴2(2)-2

解题策略

与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运

算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得

相关参数的值.

［针对训练］

1.在AABC中,D是AB边上的中点，则后等于()

A.2CD+CAB.CD-2CA

C.2CD-CAD.CD^CA

解析:在4ABC中，D是AB边上的中点，则

总二己+而二cb+G=cb+(A+cb)=2c故选c.

2.在aABC中，点M,N满足京二2靛，BN^NC.^MN=xAB^-yACf则

x=；y=.

解析:MN=MC+CN

=1^ATC+-1CTB

32

T->T

=^AC+-(AB-AC)

32

=1^ATB--1ACT

26

TT

=xAB^yAC,

所以x=i,y=一小

Zo

答案W4

愿考点三］共线向量定理及其应用

幅度一利用向量共线求参数

1例2T)设向量u,e2是平面内的一组基底，若向量a=-3a-62与b=e-X

共线，则人等于()

A-B.」C.-3D.3

33

解析:法一因为a,b共线,aWO,所以存在U&R,使b=ua,即e「入

e2=u(-3eg),又ebe2不共线,所以,工^片所以入冶.故选B.

法二由题意-3X(-入)-(-1)Xl=0,所以入=3.故选

才解题策略

使用共线向量基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量.

幅度二三点共线问题

(SO(1)设⑤与已是两个不共线的向

量，6二35+2a,&二kch+a,CD=3e-2ke2,若A,B,D三点共线，贝ijk的值

为.

⑵设ok而不共线,求证:P,A,B三点共线的充要条件是防二人&+

—>

u0B,且入+u=1,A,ueR.

(1)解析：因为A,B,D三点共线,所以必存在一个实数入，使得B二人

5k又易=3&+2ez,淆=kei+ez,CD=3e-2ke,,所以

BD=CD-CB=3e-2ke2-(kei+e2)=(3-k)e-(2k+l)e2,所以3ei+2e2=入

3

(3-k)e-X(2k+l)e2,又已与上不共线，所以［解得

(2=-A(2/c+1),

k=--.

4

答案:T

4

⑵证明：充分性：因为入+u=l,

所以茄二X(M+uOB=(l-n)O/l+H0B=0A+u(0B-(M)=(M+uAB.

所以。^一后二uak

所以前二uAB,所以G,6共线.

因为两向量有公共点A,所以A,P,B三点共线.

必要性:若P,A,B三点共线，

则嘉口前=u(0B-CM).

所以辰-茄-P&.

所以/二(i-u)&+uok

令人二1一口，贝ij办二1&+口茄，其中y+X=l.

综上,P,A,B三点共线的充要条件是防二人易+口晶，且入+u=1,X,

ueR.

解题策略

证明三点共线问题,可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点

共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线，

即A,B,C三点共线=几,公共线.

［针对训练］

1.已知向量a与b不共线,48=a+mb,AC=na+b(m,n£R),则48与4c

共线的条件是()

A.m+n=OB.m-n=O

C.mn+l=OD.mn-l=O

解析：法一由4B=a+mb,AC-x\a+b(m,nER)共线，得a+mb=人(na+b),

1=An,

m=A,

所以mn-l=O.故选D.

法二兄与前共线的充要条件是1Xl-mn=O,即mn-l=O.故选D.

2.如图所示，在AABC中，点。是BC的中点，过点0的直线分别交AE,AC

所在直线于不同的两点M,N,若而二田薪,AC=nANf则m+n的值为

()

A.1B.2C.3D.4

解析:法一连接A0(图略).由于。为BC的中点，

故我+启，

TTT1TT1T11

MO^AO-AM^(AB^AC)--AB^(^--)AB-AC,

2m2m2

同理,加《/AC.

由于向量证,加共线,故存在实数入使得证=入NO,即

(i--)AB+-AC=-X4B+X(i-i)AC.

2m222n

由于6,后不共线,故得9工4入，且9人G'),

2m222n

消去入，得(m-2)(n-2)=mn,

化简即得m+n=2.故选B.

法二当MN与直线BC重合时,=AM,AC=ANf此时m=l,n=l,所以

m+n=2.故选B.

3.设向量a,b不平行，向量入a+b与a+2b平行，则实数入二.

解析：法一因为向量a,b不平行，所以a+2b关0,又向量入a+b与a+2b

平行，则存在唯一的实数U,使入a+b=u(a+2b)成立，即Xa+b=ua+2

Hb,则得｛，二量解得人=吗

法二由题意，鸟所以入

答案搭

■备选例题

CUD已知四边形ABCD是平行四边形，点E在CB的延长线

上,BC=3,AE=AB=1,ZC=30°.若标二x旗+yG,则

x=,y=.

解析：因为AB=AE=1,ZABE=ZC=30°,由余弦定理得BE二百,因为BO3,

所以BC=V3BE,所以靛二-四血:,所以

AE^AB+BE=AB--BC=AB--AD贝Ux=l,y=--.

33，f，J3

答案：iW

CSJD设两个非零向量a与b不共线.若ka+b与a+kb共线,则

k=.

解析：因为ka+b与a+kb共线，则存在实数入，使ka+b二人(a+kb),即(h

入)a=(入k-l)b.又a,b是两个不共线的非零向量,所以k-入二入k-l=0.

消去入，得所以k=±L

答案：±1

灵活》医芯致提彩

课时作业

匚选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

平面向量的概念1

平面向量的线性运算2,3,4,5,8

向量共线7,911,13

综合问题610,12,1415,16

A级基础巩固练

1.设a是非零向量，入是非零实数，则下列结论正确的是（B）

A.a与入a的方向相反

B.a与入2a的方向相同

C.|-Xa|>|a|

D.|-入a|>|入|,a

解析:对于A,当人>0时,a与入a的方向相同，当入<0时,a与入a的方

向相反,A不正确,B正确;对于C,|-入a|二|-人||a|,由于|-人|的大小

不确定，故|一入a|与|a|的大小关系不确定,C不正确;对于D,|人|a是

向量，而I-入a|表示长度,两者不能比较大小,D不正确.故选B.

2.矩形ABCD的对角线相交于点0,E为A0的中点,若法二人赤+uG

（入，U为实数），则小+口等于（A）

A.-B.iC.1D.—

8416

解析:DE=-DA+-DO=-DA+-而」DA+-（DA+AB）=^AB--ADf

22242444

所以入4u二。所以入2+u2].故选A.

448

3.在等腰梯形ABCD中，n二为BC的中点，则心等于（B）

11-*3T1一

L-AB+-ADB.-AB+-AD

2242

3T1一3T

C.-AB-^--ADn,-AB+-AD

4424

解析:因为几二-2届，

所以n=2发.又M是BC的中点，

VXAM=-（AB+/1C）=i（AB^-AD^DC）^-AB^-AD.故选B.

2242

4.设D为AABC所在平面内一点,品二3cB,若G=入6十u前,贝ij入-

u等于（A）

A.--B.--C.-D.-

3333

解析：由成；3cb,可知B,C,D三点在同一直线上,如图所示.根据题意

及图形，可得G=元+而二前十三（几_旗）二一二族+士启，所以入=一三,

3333

□W，所以人-u二二-9-三.故选A.

3333

5.（多选题）已知等边三角形ABC内接于OO,D为线段0A的中点,E为

线段BC的中点，则访等于（AC）

2T1-4-*1

k-BA^BCW.-BA--BC

3636

C.BTA^A1ETX）.-2BTA^1-ATE

333

解析:如图所示，已知BC中点为E,贝IJBB=51+元）二易+三/二段+

3

-（AB+SE）=BA-~BA+-X-BC=-BA^-BC.故选AC.

333236

A

6.（多选题）在aABC中，下列命题正确的是（BC）

A.AB-AC=BC

B.AB+FC+C4=0

C.若（6+晶）•（晶-晶）=0,则AABC为等腰三角形

D.若晶•前>0,则aABC为锐角三角形

解析：由向量的运算法贝IJ知命—前二后,就+品+乙=0,故A错,B对;

22

因为（北+启•{AB-AOAB-AC=Qy

所以62二^^2,^\AB\=\AC\,

所以4ABC为等腰三角形,故C对；

因为命•AB>0,

所以角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形，故D错.故选BC.

7.已知向量ebe2是两个不共线的向量,若a=2e「e2与b=e1+入以共线,

则入=.

解析:法一因为a与b共线，所以a二xb,

所以—,

故人=-1.

法二由已知所以人二一.

-122

答案

8.如图所示，已知NB=30°,NAOB=90°,点C在AB上,OC，AB,若用

丛和而来表示向量左,则左二

解析：由题意易知oc=后+融=o^+工荒=后+工(n一&)二?&+20k

4444

答案《&+工法

44

9.已知a,b不共线，&=a,OB=b,OC=c,OZ)=d,OE=e,设t《R,如果

3a二c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上？

若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.

解：由题设知，CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条

直线上的充要条件是存在实数k,使得后二kb,即

(t-3)a+tb=-3ka+2kb,

整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.

因为a,b不共线,所以有以武丁0，

解得诧

故存在实数使C,D,E三点在一条直线上.

B级综合运用练

10.(多选题)设点M是4ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是

(ACD)

A.若京日旗+：房;则点M是边BC的中点

—»—»—»

B.^AM^ZAB-AC,则点M在边BC的延长线上

C.若AM=-BM-CM,则点M是AABC的重心

D.^AM=xAB+yACf且x+y4,则△MBC的面积是4ABC的面积的：

解析:若AMqAB+j/C,则点M是边BC的中点，故A正确；

^AM=2AB-ACfBPAM-AB=AB-ACfBPBM=CB,

则点M在边CB的延长线上，故B错误；

^AM=-BM~CM,即八+京+京=0,

则点M是aABC的重心，故C正确；

如图，AM=xAB+yACf且x+y」，

2

可得2薪=2x薪+2yG,

设众=2八,则M为AN的中点，

则AMBC的面积是AABC的面积的也故D正确.故选ACD.

11.(多选题)设a,b是不共线的两个平面向量，已知PQ=a+sina-b,

其中a£(0,2Ji),QR=2a-b.若P,Q,R三点共线,则角a的值可以为

(CD)

A；B.纪C.KD.如

6666

1

故

的

又s\

aI2Ja

-L.nZ

解析：由题意1X(T)-2sinn=0,sinn2.

值可为?或故选CD.

66

12.在直角梯形ABCD中，A=90°,B=30°,AB=2H,BC=2,点E在线段CD

上,若晶二筋+uAB.则u的取值范围是.

TT

解析：由已知可得AD=1,CD=V3,所以

因为点E在线段CD上,

所以法二入位(0W入W1).

因为4E=40+DE,

乂族$+uAB=AD+2uDC5+华法,

所以1,即u=1.

A2

因为0W入＜1,所以0Wu

2

答案:[0,勺

13.如图,在aABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为

AC,AD的二等分点，且分别靠近A,D两点，设/=a,AC=b.

(1)试用a,b表示8C,G,薪;

(2)证明：B,E,F三点共线.

⑴解:在△ABC中，因为48=a,AC=bf

所以品•二融-前二b-a,

TTTT[T1O1

AD^AB+BD=AB^-BC=a+2(b-a)二a+±b,

4444

TTTT1T1

BE=BA+AE=~AB+-AC=-a+-b,

33

(2)证明：因为BE=-a+gb,

BF=BA^-AF=-AB-^-AD

3

=-a+-(-a+-b)=--a+-b

34426

=]-a+翔，

所以标三薪,薪与薪共线,且有公共点B,

所以B,E,F三点共线.

14.经过△OAB的重心G的直线与OA,0B分别交于点P,Q,设小二

—>—>T

01。4,OQ-nOB,m,nER.

⑴证明，+工为定值；

mn

(2)求m+n的最小值.

⑴证明：设&=a,OB=b.

T21TT1

由题意知。G、x9cM+0B)/(a+b),

323

PQ二。Q-OP=nb-ma,

PG=OG-OP=(|-m)a+1b,

由P,G,Q三点共线得，

存在实数入，使得2?二人而，

即nb-ma=入(|-m)a+g入b,

从而卜：吟总，

V1.入，

消去入得三+力3.

mn

⑵解：由⑴知」+匕3,

mn

于是m+n2U+3(m+n)二工(2+巴+竺)2二(2+2)上.

3mn3mn33

当且仅当m=n=|时,m+n取得最小值,最小值为小

OO

C级应用创新练

15.已知Ai,A2,A3为平面上三个不共线的定点,平面上点M满足4：M；

入G41I2+/513)(入是实数)，且MZI+MZZ+M：、是单位向量,则这样

的点乂有(C)

A.0个B.1个C.2个D.无数个

解析:法一由题意得,总1二-入，MA2^MA^A^A2i

M4二M41+a/3，

所以总=(1-3人)•(心2+C3),如图所示，设D为A2A3

的中点，

所以(1-3X)(44+443)是与4D共起点且共线的一个向量，显然直

线AJ)与以A.为圆心的单位圆有两个交点，故人有两个值,即符合题意

的点M有两个.故选C.

法二以4为原点建立平面直角坐标系(图略)，

设A2(a,b),A3(m,n),

—>—>

则442+4/3=(a+偏b+n),

所以M(入(a+m),入(b+n)),

所以MAi=(-入(a+m),-X(b+n)),

MA2~(a-入(a+m),b-入(b+n)),

MA3=(m-入(a+m),n-入(b+n)),

+-

所^MA1^MA2MA3-((13入)(a+m),(1-3入)(b+n)).

因为总I+MZZ+M：、是单位向量，

所以(1-3入)2[(a+m)2+(b+n)2]=l,

因为A.,A2,A3是平面上三个不共线的定点，

所以(a+m)2+(b+n)2〉0,所以关于人的方程有两解,故满足条件的M有

两个.故选C.

16.(2021•浙江杭州高三模拟)正2021边形A也…A2M内接于单位圆

0,任取它的两个不同的顶点Ai,Aj,构成一个有序点对(A“Aj),满足

|0%+0%|21的点对(Ai,A)的个数是(C)

A.2021X673B.2021X674

C.2021X1346D.2021X1348

解析：|。4+0为『=2+2cos©21,cos82-泉

所以。"+04•的夹角不超过冷,对于任意给定的0%,因为与・三沪

673.67,满足|0%+0%|21的向量0%•的取法共有673X2=1346,再

让。入动起来，可得点对⑶,A.)的个数是2021X1346.故选C.

第2节平面向量基本定理及坐标表示

园课程标准要求

1.理解平面向量基本定理及其意义.

2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.

必备知识.课前回顾°僧敖村办实四条

的知识梳理

1.平面向量基本定理

⑴定理:如果e.,人是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一

平面内的任一向量a,有且只有一对实数入1,入方使a=入Ie+入Ze2.

(2)基底:不共线的向量ebez叫做表示这一平面内所有向量的一个基

底.

2.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a=(xi,yi),b=(x2,y2),则

a+b=(xi4-x2,yi+y2),a-b=(x-x2,y-y2),

Xa=(Xxi,Xyi),|a|力好+资.

⑵向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(xi,yi),B(x2,y2),则AB=(x2-xby2-yi),

_2

I/l=J(%2-%i)?+(y2yi)-

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(xbyi),b=(x2,y2),其中aWO,bWO,a,b共线=由江刈上2・

度重要结论

L若a与b不共线,且入a+口b=O,则人=u=0.

2.已知P为线段AB的中点，若A区,y),B(x2,y2),则P点坐标为

户+%2yi+,2)

3.已知4ABC的重心为G,若A(xbyi),B(x2,y2),C(x3,y3),则

C(k1+32+尤371+72+73)

33

一三对点自测三一

L(必修第二册P33练习T1改编)已知平面向量a=(l,l),b=(l,-l),

则向量为争等于(D)

A.(-2,-1)B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)

解析：因为a=(l,l),b=(l,-l),

所以:a=(|,|),|b=(|,-|),

所以呆-|b二(|-|,尹|)二(T,2).故选D.

2.(必修第二册P33练习T5改编)若Pi(1,3),P2(4,0),且P是线段PR

的一个三等分点，见点P的坐标为(D)

A.(2,2)B.(3,-1)

C.(2,2)或⑶T)D.(2,2)或(3,1)

解析：由题意可知P》2二(3,-3).

若懑WP/Z，则P点坐标为⑵2);

若p；pqp12,则p点坐标为⑶1).故选o.

3.已知向量a=(2,3),b=(-l,2).若ma+nb(m,n£R)与a-2b共线，则

*

n--------

解析：ma+nb=m⑵3)+n(-1,2)=(2m-n,3m+2n).

a-2b=(2,3)-2X(-l,2)=(4,-1).

因为(ma+nb)//(a-2b),

所以-(2nrn)-4(3m+2n)=0,

所以2m+n=0,

所以小T

n2

答案:W

4.已知口ABCD的顶点A(-l,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标

为.

解析:设D(x,y),MAB=DCf得(4,1)=(5-x,6-y)，即归解得

俨=1,

ly=5.

答案：(1,5)

美中考点名实四更

关键能力•课堂突破

限考点一平面向量的坐标运算

1.已知0为坐标原点，点C是线段AB上一点，且

A(1,1),C(2,3),|BC|=214C|,则向量的坐标是

解析：由点C是线段AB上一点，|辰1二2|分|,

得靛-2丘

设点B的坐标为(X,y),则(2-x,3-y)=-2(l,2),

所以向量而的坐标是(4,7).

答案：(4,7)

2.如图所示，以eba为基底，则a=.

解析：以&的起点为坐标原点,&所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

贝ijei=(l,0),1),a=(-3,1),4*a=xe)+ye2,即

(-3,l)=x(l,0)+y(T,1),则层13,所以&=-2

即a二—2ei+ez.

答案：-2&+。2

3.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设北二a,Z?C=b,CA=cf且

CM=3c,CW=-2b.

(1)求3a+b-3c;

(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;

(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.

解：由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(l,8).

⑴3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=

(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).

(2)法一因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),

所以「粤解得产=；，

(-37n+8几=~5,In=-1.

法二因为a+b+c=0,

所以a=-b-c,

又因为a=mb+nc,

所以mb+nc=-b-c,

所以］:二:

⑶设0为坐标原点，因为昂=0方-鼠=3c,

所以。命=3c+R?=⑶24)+(-3,-4)=(0,20).

所以M(0,20).

又因为扇二Hv-左二-2b,

所以加=-2b+品=(12,6)+(-3,-4)=⑼2),

所以N(9,2),所以加二(9,-18).

一题后悟通

向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行,

若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中

要注意方程思想的运用.

腕考点二平面向量基木定理及其应用

OHD

如图,在正方形ABCD中，此N分别是BC,CD的中点,若前二入AM+u而,

贝ij入+口=.

解析:法一^]AM=AB+-ADfBN^--AB-^ADf^AC=XAM+u而二（X

22

-泉筋+g+u）AD,

5^AC^AB+ADf

&=1,Q=|,&

所以h2解得彳：所以入+尸*

（大=1，（〃=­

法二

以AB,AD所在直线分别为x轴,y轴，建立平面直角坐标系，如图所示,

设正方形的边长为1,则京二（1,》，盛二（一,1）,晶二（1,1）,

因为京xAM+U氤=（X-1U,-+u）,

22

卜-筋=1,Q=-,

所以h2解得《

b+u=i,=

所以入+口福

5

答案5

1解题策略

1.先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,

再通过向量的运算来解次.

2.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,

要熟练运用平面几何的一些性质定理.

3.建立适当的坐标系,利用向量的坐标运算.

［针对训练］

1.如果eb上是平面。内一组小共线的向量,那么下列四组向量中，不

能作为平面内所有向量的一组基底的是()

A.ei与ei+e2

B.e「2ez与ei+2e2

C.e】+e2与e「e2

D.&+3e2与6a+22

解析：法一选项A中，设ei+e2=入eb

则［二::无解；

选项B中，设e-2e2=入(ei+2e2),

则｛:;益无解；

选项C中，设ei+e2=入(e-e2),

则｛:13,无解；

选项D中，5+3e2="6e2+2e。，所以两向量是共线向量.故选D.

法二只有D项的乡，会的对应系数成比例.故选D.

2.

oBN

如图,A,B分别是射线OM,ON上的点,给出下列向量:①O4+2OB;②

^OA^OB;®^OA^OB,(^OA+^OBt若这些向量均以0为起点,则

终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是()

A.①②B.①③

C.②③D.②④

解析：由向量共线的充要条件可得当点P在直线AB上时,存在唯一的

一对有序实数u,v,使得0P=u04+v08成立,且u+v=l.

可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是满足防二uA+vok且

u>0,v>0,u+v>l.因为1+2>1,所以点P位于阴影区域内，故①正确；同

理③正确;而②④错误.故选B.

顾考点三共线向量的坐标表示及其应用

。角度-利用向量共线求参数

痂F⑴已知向量a二(2,1),b=(x,-l),且a-b与b共线，则x的值

为.

(2)已知向量a=(l,2),b=(2,-2),c=(l,入).若c〃(2a+b),则人

解析：(1)因为a=(2,1),b=(x,-1),

所以a-b=(2-x,2),

又因为a-b与b共线，

所以(2-x)X(T)-2x=0,

所以x=-2.

(2)由题意得2a+b=(4,2),因为c=(l,人)，且c〃(2a+b),所以4X-2=0,

即X=1.

答案：(1)-2(2)；

解题策略

如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若

a=(xi,yi),b=(x2,y2),则a〃b的充要条件是XM一x?yi=0”.

幅度二利用向量共线求向量或点的坐标

廊而在AABC中，已知点

0(0,0),A(0,5),B(4,3),OC=\04,OD=^Ofi,AD与BC交于点M,则点M

42

的坐标为

解析:因为点0(0,0),A(0,5),B(4,3),

所以点C(0,》，同理点D(2,，.

42

设M的坐标为(x,y),

则4M=(x,y-5),而HD=⑵-今，

因为A,M,D三点共线,所以京与G共线,

所以-：x-2(y-5)=0,即7x+4y=20,

而就工(x,y-|),CB=(4-0,3-》:(4,：),

因为C,M,B三点共线,所以京与晶共线,

所以4-4(丫-2)=0,即7x-16y=-20,

44

12

7%+4y=20,得X=一

由

7x-16y=-20,y=2,

所以点M的坐标为年,2).

答案:号,2)

解题策略

引入参数表示出未知点的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可.

［针对训练］

1.已知向量a=(l,1),点A⑶0),点B为直线y=2x上的一个动点,若我

/7a,则点B的坐标为.

解析:设B(x,2x),则易二(x-3,2x).

因为晶〃a,所以x-3=2x,即x=-3.

所以B(-3,-6).

答案：(-3,-6)

2.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).若d满足(d-c)

//(a+b),且|d-c|求d的坐标.

解：设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-l),

又a+b=⑵4),|d-c|=V5,

「a、J4(x-4)-2(y-l)=0,

((x-4)+(y-1)=5,

解得忘：：3：

所以d的坐标为(3,-1)或(5,3).

息备选例题

OHD在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(-2,0),前二(2,-3),则点D的

坐标为()

A.(6,1)B.(-6,-1)

C.(0,-3)D.(0,3)

解析:AB=(-3,-2)=DC,所以=/C-AB=(5,-1),则D(6,1).

故选A.

C®D向量a,b,c在正方形网格中，如图所示，若c=入a+ub(入，ye

R),则善于()

A.1B.2C.3D.4

解析：

以0为坐标原点,建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1,可

得a=(-l,1),b=(6,2),

c=(-1,-3).

因为c=入a+ub(入,U£R),

所以目:露7

I3/\,I4

解得人二-2,u二-3所以工4.故选D.

00©已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与0B的交点P的坐标

为.

解析:法一设0为坐标原点，由0,P,B三点共线,可设力＞二人而二(4

入，4人)，则1二小&二(4人-4,4入).

又心。二(-2,6),

由AP与4c共线,得［4X-4)X6-4XX(-2)=0,

解得入。所以法=6B=⑶3),

44

所以点P的坐标为(3,3).

法二设点P(x,y),0(0,0),则。P=(x,y),因为OB=(4,4),且。P与。8

共线，所以言即x二y.

又AP=(x-4,y),AC=(-2,6),且4P与AC共线,

所以(x-4)X6-yX(-2)=0,解得x=y=3,

所以点P的坐标为(3,3).

答案：⑶3)

灵港今滤卷敌提混

课时作业

喧雁题曲细表

基础巩

知识点、方法综合运用练应用创新练

固练

平面向量的坐标运算1,7,8

平面向量基本定理及应用2,4,5,910

共线向量的坐标表示及其

3,615

应用

综合问题11,12,13,14,1617

A级基础巩固练

1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量几的坐标是(D)

y

2

1

7)

A.(2,2)B.(-2,-2)

C.(1,1)D.(-1,-1)

解析：因为A(2,2),B(1,1),所以6=(T,T),故选D.

2.在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是(B)

A.e尸(0,0),二(1,2)

B.ei=(-l,2),e2=(5,-2)

C.ei=(3,5),e2=(6,10)

D.Ci-(2,—3),©2=(—2,3)

解析:对于A,C,D都有巳〃ez,所以只有B成立.故选B.

3.设向量a=(m,2),b=(l,m+1),且a与b的方向相反,则实数m的值为

(A)

A.-2B.1

C.-2或1D.m的值不存在

解析：向量a=(m,2),b=(l,m+1),因为a〃b,所以m(m+l)=2X1,解得

m=-2或in=L当m=l时,a=(l,2),b=(l,2),a与b的方向相同,舍去；当

m=-2时,a=(-2,2),b=(1,T),a与b的方向相反,符合题意.故选A.

4.在平面直角坐标系xOy中，已知A(l,0),B(0,1),C为第一象限内一

点，NAOC」,且0C=2,^OC=XOA+u扇，则入+u等于(A)

4

A.2^2B.V2C.2D.4V2

解析：因为002,NAOO：,C为第一象限内一点,所以C(企,或)，

4

又GoXtM+uOB,

所以(四企)二人(1,0)+u(0,1)=(^,U),

所以X=U=V2,所以入+U=2A/2.故选A.

5.(多选题)设0是平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD的交点，则可

作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是(AC)

A.G与薪B.&与品

C.&与辰D.ob与北

解析：如图，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，对于

A,G与3不共线,可作为基底;对于B,以与立为共线向量,不可作

为基底；对于C,后与儿是两个不共线的向量，可作为基底；对于

D,而)与法在同一直线匕是共线向量,不可作为基底.故选AC.

AB

6.(多选题)已知向量治己1,向),0B=(2,-l),OC=(m+l,m-2),若点

A,B,C能构成三角形，则实数m可以是(ABD)

A「2C.1D,-l

解析：若A,B,C三点不共线即可构成三角形.因为易二茄-易二

(2,-1)_(1,-3)=(1,2),AC-0C~0A-(m+1,m-2)_(1,_3)-(m,m+1).假

设A,B,C三点共线，则1X(m+l)-2m=0,即mn.所以只要mNl,则

A,B,C三点即可构成三角形.故选ABD.

7.已知向量a=(l,3),b=(-2,k),且(a+2b)〃(3a-b),则实数k=

解析:法一a+2b=(-3,3+2k),

3a-b=(5,9-k),

由题意可得-3(9-k)=5(3+2k),解得k=-6.

法二若a,b不共线，则a+2b与3a-b不共线，

这与(a+2b)//(3a-b)矛盾，故a,b共线,

所以k~3X(-2)=0,解得k=-6.

答案：-6

8.设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反，且|b|=10,则向量b的

坐标为.

解析:法一不妨设向量b的坐标为(-3叫4m)(m<0),

则Ib|=J(-3m)2+(4m)2=10,

解得m=-2(m=2舍去)，

故b二(6,-8).

法二与a方向相反的单位向量是

a555

故於10(|,-3=(6,-8).

答案:(6,-8)

9.如图，已知在△OCB也A是CB的中点,D是将晶分成2：1的一个内

分点,DC和0A交于点E,设后二a,法二b.

(1)用a和b表示向量儿，病；

(2)若后=X0Af求实数X的值.

解：⑴由题意知,A是BC的中点,且亦《诵由平行四边形法则,

得茄+辰二20k

所以OC=2O4-OB=2a-b,

DC=OC~OD=(2a-b)-|b=2a-jb.

(2)由题意知,EC//DC,故设EOxDC.

因为R=儿二(2a-b)-Xa=(2-X)a-b,Z)C=2a-|b.

所以(2-入)a-b=x(2a/b).

3

因为a与b不共线，由平面向量基本定理,

=2%,%=-,.

得15解得］:故入I

A=|.5

B级综合运用练

10.己知在RtAABC中,ZBAC=90°,AB=1,AC=2,D是4ABC内一点，且

NDAB=60°,设G=入n+2晶（入，UWR）,则4等于（A）

A.—B.—C.3D.