高中数学选修2-2 第二章 推理与证明(A卷)

高中数学选修2-2第二章推理与证明（A卷）试卷

一、选择题（共22题；共100分）

1.下面几种推理过程是演绎推理的是（）

A.在数列｛0”｝中，a1=1,an=-（an_iH——）（nEN"），山其归纳出｛a“｝的通项

公式

B.由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

C.两条直线平行，同旁内角互补，如果匕4和乙B是两条平行直线的同旁内角，则

+乙8=180°

D.某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人

【答案】C

【考点】合情推理与演绎推理

【解析】A选项，在数列｛an｝中，Q]=I,an=+」一）（nWN"），由其归纳

2Gft-i

出｛a,i｝的通项公式，是归纳推理.

B选项"由平面三角形的性质，推测空间四面体性质”是类比推理；

C选项选项是演绎推理，大前提是"两条直线平行，同旁内角互补"，小前提是"匕力与乙B是两条平行直

线的同旁内角"，结论是=180°”

D选项中：某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人,

是归纳推理；

综上得，C选项正确.

2.下面几种推理中是演绎推理的是（）

A.由金，银，铜，铁可导电，猜想：金属都可以导电

B.猜想数列5,7,9,11,...的通项公式为0n=2九+3

C.由正三角形的性质得出正四面体的性质

D.半径为r的圆的面积S=JI",则单位圆的面积S=7T

【答案】D

第1页共11页

【考点】合情推理与演绎推理

【解析】选项A是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理；

选项B是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理；

选项C是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，是类比推理；

选项D中半径为r圆的面积S=TTP2＞是大前提，单位圆的半径为1，是小前提,单位圆的面积S=兀为

结论.故选D.

3.三角形的面积S'=；（〃+b+e）7・：o,b，C为其边长，r为内切圆的半径，利用类比推理可以得出四

面体的体积为（）

1

AV=—abc（a,b,c为底面边长）

1

B.l/=一sh（s为底面面积，h为四面体的高）

1

C.V=-（Si+S2+S3+S4）r（Si,52,S3,54分别为四个面的面积，r为内切球的半径）

1

D.V=­（ab+bc+ac）h（a,b,c为底面边长，力为四面体的高）

3

【答案】C

【考点】合情推理与演绎推理

【解析】设四面体的内切球的球心为。，则球心0到四个面的距离都是r,根据三角形面积的求解方法（分

割法），将。与四面体的四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以。为顶点，分别以四个面为底面的4

个三棱锥体积的和，

1

…V=—（Si+Sz+Ss+S^r.

c

4.顺次列出的规律相同的20个数中的前四个数依次是2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,第15个数是（）

A.15B.29C.16D.31

【答案】B

【考点】合情推理与演绎推理

【解析】前四个数依次是2x1—1,

2x2-1,

2x3-1,

2x4-1,

所以第15个数是2x15-1=29.

第2页共11页

5.古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,,这些数叫做三角形数，因为这些数（除1外）对应的

点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n个三角形数为（）

A.n

Bm+D

2

C.n2-1

D论T）

2

【答案】B

【考点】合情推理与演绎推理

【解析】观察图形可知，这些三角形数的特点是第。个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上"，于

是第"个三角形数为1+2++邦=驾工.

6.有一段演绎推理："直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线b（Z平面a,直线

aU平面a,直线b〃平面a,则直线b//直线a"的结论是错误的，这是因为（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

【答案】A

【考点】合情推理与演绎推理，直接证明与间接证明

【解析】该演绎推理的大前提是：若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；

小前提是：已知直线b//平面0，直线。U平面a；

结论是：直线/?//直线a；

该结论是错误的，因为大前提是错误的，

正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行

故选：A.

7.用数学归纳法证明当n为正奇数时，/+）产能被x+y整除，后•第二步是（）

A.设n=2k+l时正确，再推n=2k+3正确

B.设n=2k-l时正确，再推n=2k+l时正确

C.设n=k时正确，再推n=k+2时正确

D.设〃二二二式人?1）正确，再推n=k+2时正确

第3页共11页

【答案】B

【考点】数学归纳法

【解析】【解析】根据证明的结论，”为正奇数，故第二步的假设应写成：假设77=21一1伏

时命题正确，

即当k=2左一1（左eN*）时，工2k-1+y2k~l能被x+y整除，再推n=2k+1正确；故选B-

8.仔细观察下面。和•的排列规律：

o»oo»ooo»oooo»ooooo»oooooo«•••

若依此规律继续下去，得到一系列的。和・，那么在前120个。和•中，•的个数是（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】C

【考点】合情推理与演绎推理

【解析】进行分组。・|。。・|。。。・|。。。。・|。。。。。・|。。。。。。・「：则前n组两种圈的总数是

加)=2+3+4—...—(n+l)=易知/14)=119：415)=135,故n=14.

1—

9.用数学归纳法证明〃1+々+苏++々2#1=--------（加1）〃.在验证”=1时，左端计算

a

所得项为（）

A.l+o

B.l+a+a2

C.l+a+a2+a3

D.l+o+a2+a3+o4

【答案】C

【考点】数学归纳法

【解析】将n=1代入。2O+1得〃，故选c.

10.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明："设a>b>c,S.a+b+c—0,求证:yjb2-ac^^a

最终的索因应是（）

A.a-b>0

B.a-c>0

C.（a—h）（a—c）>0

D.（a—b）（a—c）<0

【答案】D

【考点】直接证明与间接证明

第4页共11页

【解析】要证，p—只需证〃一acV3aa+b+c=O,/.b=—a—c,只需证(一a—c)?

-ac<3a2,

只需证(c—o)(c+2a)V0,只需证(c—a)(c+o—b—c)VO,只需证(c—0(。一b)>0,故选C.

ii•若azbeR，则下面四个式子中恒成立的是()

A.IgQ+a：)>0

Ba2+b2^2^-b-l)

cJ+MbNZb?

aa+l

D.—<-----

bb+1

【答案】B

【考点】直接证明与间接证明

【解析】在A中，a=0时，IgQ+a：)=0,因此不成立；

在B中，因为

/+/-2(〃-6-1)=(，-2々+1)+(/+26+1)=(“-1)2+(6+1)220恒

成立；

在c中，〃=6=0时不成立；

在D中，取〃>6>0，可知不成立.

12.用反证法证明命题："a,b£N,ab可被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除"时，假设的内容

应为()

A.a,b都能被5整除

B.a,b都不能被5整除

Co,b不都能被5整除

D.a不能被5整除

【答案】B

【考点】直接证明与间接证明

【解析】“至少有一个"的否定是"一个也没有"，即"a,b都不能被5整除

63

13.用数学归纳法证明1+2+-—+〃3=Lilli-,则当〃=2+1时，左端应在0=k的基础上加()

47b»

A./+l

第5页共11页

B.(A-+1)3

r(A+l)s+(左+以

一7

D.(A73+l)+(A-3+2)+---+(Ar+l)3

【答案】D

【考点】数学归纳法

【解析】当n=k时，左边=1+2+3++ks，

当n=k时，左边=1+2+3+…+d+(胪+1)+(炉+2)+…+(k+1)2，

所以观察可知，增加的项为(上3+1)+(斤三+2)+—・+(k+iy.

14.对于不等式亚+冏W%+1(%WN*)，某学生的证明过程如下：

(1)当n=l时，J]2+iV1+]，不等式成立.

(2)假设%=上(力eN)时，不等式成立，即“2+?(>+],则"1<+1时，

J伏+1)2+伏+1)=护+3上+2<//+37+2)+(1+2)=依+2>=(^+1)+1

当n=k+l时，不等式成立，上述证法()

A.过程全都正确B.n=l验证不正确C.归纳假设不正确

D.从n=k到n=k+l的推理不正确

【答案】D

【考点】数学归纳法

【解析】

【解析】#=1的险证及归纳假设都正确，但从月=左到打=左+1的推理中没有使用归纳1

式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故选D.

15.己知a,b,ce(o,1).则在(l-a)b,(l-b)c,(l-c)a中()

1

A.不能同时大于一

4

B.都大于-

4

第6页共11页

1

C.至少有一个大于一

4

1

D.至多有一个大于一

4

【答案】A

【考点】直接证明与间接证明

1

【解析】方法一假设(1—a)b,(1—b)c,(1—c)a都大于一

4

■.-a,b,c都是小于：L的正数，

1-a,1-b,1—c都是正数.

(l-b)+C1

同理------:——>-,

(l-a)+b(l-b)+c(l-c)+a3

三式相加，得------——+-——-——+-——-——>-,

7777

Jv///

nQ

即一》一,矛盾.

,1

所以(1一a)b,(1—b)c,(1—c)a不能都大于一.

4

1

方法二假设三个式子同时大于一，

4

即

三式相乘得(1—a)b(l—b)c(l—c)a>(-)3.0

4

因为所以也。<_。)jl-a+a)vj-a+a]=-

k2JI2J4

第7页共11页

同理0<b(l-b)4—,0<c(l-c)<—.

44

所以(1—a)a(l—b)b(l—c)cs(1尸.②

4

因为①与②矛盾，所以假设不成立.

16.在平面直角坐标系中，方程工+3=1表示x,y轴上的截距分别为a,b的直线，类比到空间直角坐

标系中，在x,y,z轴上截距分别为a,b,c(ab"O)的平面方程为()

X.V.Z

a~bT+Tb~e~I—ca

xv.vz.zx.

c.-1t--F*—|-----=1

abbeca

D.ax+b+cz=1

【答案】A

【考点】合情推理与演绎推理

【解析】在平面直角坐标系中，方程工+3=1表示的图形是一条直线，具有特定性质："在x轴，y轴

上的截距分别为a,b".类比到空间坐标系中，在x,y,z轴上截距分别为a,b,c(ab«O)的平面方程为

工+,+==1.故选A.

abc

17.将所有正偶数按如图方式进行排列，则2016位于()

第

1x・

f丁:24

第2X.

T

rr81012

第-:6

3z丁

f

第

一:14161820

4z2224

[fT:2628303234363840

A第30行B.第31行C.第32行D.第33行

【答案】C

【考点】合情推理与演绎推理

第8页共11页

【解析】由于题意可得：第n行的最后一个数为2[n(n+1)].

令n=31，最后一个数为1984令n=32>最后一个数为2112.

2016位于第32行.

18.用数学归纳法证明3、+1+520+1(但刖能被8整除时，当n=k+l时，3%+1)+1+5阳+1)+1可变形

()

A.56X34A-+1+25(3U+1+52/C+1)

B.34/C+1+52/C+1

C.34x34k+l+52x52^+l

D.25(34k+l+52^+l)

【答案】A

【考点】数学归纳法

【解析】当n=k+l时,34<k+l)+1+52<k+l)+l=34x34k+H-25x52k+l=56x34k+l+25(34k+H-52k+l),

两个表达式都能被8整除.

19.在平面几何里，有勾股定理："设八一工5。的两边AB,AC互相垂直，则IABr+IAC『=IBC『".拓展到

空间，类比平面几何的勾股定理，"设三棱锥A-BCD的三个侧面匕，两两相互垂直,

则可得"()

^.\AB\2+\AC\2+\AD\2=\BC\2+\CD\2+\BD\2

B-'S^-ACD'母=S<BCD

C-S，_ABC++$二皿=5二BCD

D.\AB\2X\AC\2X\AD\2^\BC\2X\CD\2X\BD\2

【答案】c

【考点】合情推理与演绎推理

【解析】由边对应着面，边长对应着面积，

如图所示.由类比可得

S,一+S'_，CD+S'_=S._BCD-

20.我国南北朝数学家何承天发明的"调日法〃是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设

bd,、.、一.、b+d

实数x的不足近似值和过剩近似值分别为一和一(《b：cdw、)，则------是x的更为精确的不

aca+e

第9页共11页

足近似值或过剩近似值我们知道,T=3.14159---,若令—<R<---,则第一次用"调日法"后

:1015

163116

得一是不的更为精确的过剩近似值，即一<万<一，若每次都取最简分数，那么第四次用"调日

5105

法”后可得兀的近似分数为（）

70

A.——

■

63

B.——

20

78

C.——

2A

109

D.------

35

【答案】A

【考点】合情推理与演绎推理

，・

［解析］—•-------一

4，UM-----------；---------------—•-----------►

••，

163116

第一次用"调日法"后得丁是H的更为精确的过剩近似值，即—<7T<—:

105

474716

第二次用“调日法"后得——是n的更为精确的过剩近似值，E不---<<—；

15155

6347