九上第一章特殊的平行四边形(分类复习)

九上第一章特殊的平行四边形(分类复习).九上第一章特殊的平行四边形(分类复习).九上第一章特殊的平行四边形(分类复习).一：分类复习22021/1/4一：分类复习2021/1/42有一组的叫做邻边相等平行四边形ADCB∵四边形是平行四边形

∴四边形是菱形菱形一：菱形2021/1/43菱形的性质菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。菱形的四条边相等菱形是轴对称图形，也是中心对称图形菱形具有平行四边形的一切性质；2021/1/44ABCDO（1）菱形具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质(4)菱形是轴对称图形，也是中心对称图形2021/1/451、菱形两条对角线、长分别是6和8，求菱形的周长和面积。CBDA

O分析：你有什么发现？2021/1/46菱形的面积公式CBDA

OE2021/1/47在任意四边形中，对角线⊥，且1810。问四边形的面积是多少？

ABCD=S△ABD+S△BCDS=·+·=··()=·=×10×18=90解：DAOBC答：四边形的面积是90。2021/1/482、如图，菱形花坛的周长为80m，∠＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.1m2）BAOC2021/1/492021/1/410练一练1.菱形的定义:是菱形2.菱形的性质:①菱形的四条边，②菱形的对角线，并且每一条对角线一组对角.3.下列说法不正确的有(填番号)①菱形的对边平行且相等.②菱形的对角线互相平分③菱形的对角线相等.④菱形的对角线互相垂直.⑤菱形的一条对角线平分一组对角.⑥菱形的对角相等.4.菱形的面积公式:①②.5.菱形既是图形，又是图形.有一组邻边相等的平行四边形2021/1/4119.菱形中是两条对角线的交点，已知＝54，求两对角线、的长。CBDA

O解：∵四边形ABCD是菱形

∴OA=OC，OB=ODAC⊥BD

∵Rt△AOB中OB2+OA2=AB2AB=5cm，AO=4cm∴OB=3cm∴BD=2OB=6cmAC=2OA=8cm2021/1/412菱形常用的判定方法：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.有四条边相等的四边形是菱形.2021/1/4135534345555有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形有四条边相等的四边形是菱形。3344┍2021/1/414

1.判断下列说法是否正确？为什么？(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．√╳╳╳2021/1/4152.□的对角线与相交于点O，

（1）若，则□是形；

（2）若，则□是形；

（3）若∠是直角，则□是形；

（4）若∠∠，则□是形。ABCDO菱矩矩菱2021/1/4163.下列命题中正确的是（）A.一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形C4.对角线互相垂直且平分的四边形是（）A.矩形B.一般的平行四边形C.菱形D.以上都不对C5.下列条件中，不能判定四边形为菱形的是（）⊥与互相平分,且⊥⊥C2021/1/4171.如图，是△的角平分线，∥交于点∥交于点F.试问四边形是菱形吗？说明你的理由。习题巩固：ABCDEF123四边形是菱形理由：∵∥∥∴四边形是平行四边形∵∥∴∠2=∠3∵是△的角平分线∴∠1=∠2∴∴□是菱形2021/1/418ABCDOE2.如图，矩形的对角线相交于点O，∥∥.求证：四边形是菱形2021/1/4193.如图，△中，的垂直平分线交于点D，交于点O，∥交于点E，连接、.求证：四边形是菱形BCADOEMN2021/1/420如图，△中，∠900，∠600，垂直平分，垂足为D，交于E，又点F在的延长线上，且，求证：四边形是菱形。ABCDEF2021/1/421如下图在△中，∠＝90°，⊥于D，平分∠，交于G，交于C，⊥于F，四边形是菱形吗2021/1/4222.如图，已知在□中，2，E、F在直线上，且，证明⊥.ABFNDMEC习题巩固：连接2021/1/423矩形的性质ABCD矩形的对边平行且相等.角对角线边矩形的对角线相等.矩形的对角线互相平分.矩形的四个角都是直角.矩形的对角相等.对称性矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.二：矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.2021/1/4241.填空：（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是.（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、。（3）已知矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为，，，。有一个角是直角平行四边形60°60°120°120°55练习2021/1/4252.下列说法错误的是（）A.矩形的对角线互相平分。B.矩形的对角线相等。C.有一个角是直角的四边形是矩形。D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）A.2对B.4对C.6对D.8对CB2021/1/4264.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使,（2）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是＿＿＿＿＿，根据的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4）说明窗框合格，这时窗框是＿＿＿＿，根据的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿BACEDGFH1234平行四边形两组对边分别相等的矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形四边形是平行四边形2021/1/4275.用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面,则每块长方形地砖的长和宽分别是()A.48,12B.48,16;C.44,16D.45,15.60cmD2021/1/428矩形的判定方法：1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。2、对角线相等的平行四边形是矩形。3、有三个角是直角的四边形是矩形。对于1、2两种判定方法是在平行四边形的前提下来判断的，而3是直接在四边形的前提下判断的。2021/1/4291、下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）（2）四个角都相等的四边形是矩形；（）（3）对角线相等的四边形是矩形；（）（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（5）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（6）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．()√××√√√2021/1/430应用2021/1/431应用新知要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或者对角线相等。2021/1/4321、下列说法正确的是（）．（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形2、满足下列条件（）的四边形是矩形.（A）有三个角相等（B）有一个角是直角（C）对角线相等且互相垂直（D）对角线相等且互相平分2021/1/4333、已知：如图，在平行四边形中，E为中点，三角形是等边三角形，求证：四边形是矩形。2021/1/4342021/1/435定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。2021/1/436对角线：相等互相垂直平分

每条对角线平分一组对角。边:对边平行四边相等角：四个角都是直角图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.=菱形性质矩形性质正方形的性质2021/1/437平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角1、正方形菱形2、一内角是直角矩形3、一组邻边相等正方形正方形的判定方法：(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）定义法菱形法矩形法2021/1/438①四条边相等，四个角都是直角②对角线互相垂直、平分且相等四边形正方形以四边形为基础：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。2021/1/439对边平行且相等每条对角线平分一组对角对角线相等对角线互相垂直对角线互相平分四个角都是直角对角相等四条边都相等性质正方形菱形矩形平行四边形图形小结√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√2021/1/4405种识别方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结2021/1/441√√√×(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形（）(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）(3)如果一个菱形的对角线相等，则它一定是正方形（）(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，则它一定是正方形（）(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形（）√判断题:2021/1/442（6）正方形一定是矩形．（）（7）正方形一定是菱形．（）（8）菱形一定是正方形．（）（9）矩形一定是正方形．（）(10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形．（）√√√××（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴()(13)四个角都相等的四边形是正方形()(14)四条边都相等的四边形是正方形()×××2021/1/443正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角互补.D、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等. BD选择题:2021/1/4443、下列命题正确的是（）A、四个角都相等的四边形是正方形B、四条边都相等的四边形是正方形C、对角线相等的平行四边形是正方形D、对角线互相垂直的矩形是正方形D2021/1/4454．四个内角都相等的四边形一定是（）A、正方形B、菱形C、矩形D平行四边形

5．在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是：（）

A．＝＝＝，⊥B．∥∠A＝∠CC．＝＝＝D．＝

CA2021/1/4466．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（）A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形

A7、如图：正方形的周长为15，则矩形的周长为。ABCDEGF7.52021/1/447

8.已知：正方形对角线、相交于点O，且＝2，则,正方形的面积.2246369.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，面积S=________.则边长AB＝______,

2021/1/44810、已知四边形是平行四边形，对角线、相交于点O。⑴若，则四边形是（）⑵若，则四边形是（）⑶若∠900，则四边形是（）⑷若，则四边形是（）⑸若，且，则四边形是（）菱形矩形矩形矩形正方形2021/1/449如图，在正方形中，点E在对角线上，则，和相等吗？为什么？ABCDE解：.因为对角线所在的直线是正方形的对称轴，而点E在对称轴上，点B为点D关于的对称点，所以2021/1/450例1、如图，正方形中，、相交于O，∥且分别交、于M、N，求证：＝。证明：∴－＝－∴＝∴∠＝∠1＝∠3＝∠＝45°又∵∥∠1＝∠2＝∠3＝45°∴＝∵四边形是正方形即：∴△≌△∴2021/1/451例2、直角三角形中，平分∠交于D，⊥，⊥。求证：四边形是正方形。ABCDEF∴四边形是正方形（)∴()⊥，⊥∵平分∠∴四边形为矩形()而∠90°∴∠90°，∠90°证明：∵⊥，⊥有三个角是直角的四边形是矩形角平分线的定理有一组邻边相等的矩形是正方形2021/1/4521、如图，在上取一点C，以、为正方形的一边在同一侧作正方形和连结、延长交于H。求证：(1)△≌△(2)⊥练习1：，∠1=∠2，2：由1得：∠3=∠，又∠∠，∠∠90°∴∠180°—∠3—∠90°2021/1/4532、如图(6)，△的外面作正方形和，连结、，交点为N。

求证：∠＝∠证明：∵四边形和四边形是正方形。

∴＝＝∠1＝∠2＝90°

又∵∠＝∠1＋∠＝90°＋∠

∠＝∠2＋∠＝90°＋∠

∴∠＝∠

∴△≌△()∴∠＝∠2021/1/4543、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？D`C`B`A`DCBAABCDEFG4、如图，点E、F在正方形的边、上，，探索图中与的关系。2021/1/455ABDCFE5、如图，在正方形中，E在的延长线上，且，交于F，则求∠的度数。2021/1/4566、已知：如图矩形,对角线、相交于点O，平分∠交于点E，连接，若∠150，求∠的度数。OABCDE2021/1/4577、在正方形中，10，P是上任意一点，⊥于点E，⊥于点F，求的值。ABCDEPF因为是正方形若对角线、交于点O

则的一半=5∠45°⊥

又∵⊥⊥

∴四边形为矩形∴

在三角形中∠45°

∴

∴5

2021/1/4588、如图，正方形的边长为8，M在上，且2，N是上一个动点，求的最小值。ABCDMN在中取P,使2,连,则是的最小值

证明:

因为是正方形,所以平分角

而8-2=6

所以垂直平分

所以

所以

在同一条直线时最小

所以是的最小值

的最小值√(²²)=√(8²+6²)=102021/1/4598、如图，正方形的边长为8，M在上，且2，N是上一个动点，求的最小值。ABCDMN2021/1/4609、已知，如图在△中，，⊥，垂足为点D，是△外角∠的平分线，⊥垂足为点E，①求证：四边形是矩形。②当△满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由。ABCEMND2021/1/46110、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形与是正方形，连接、（1）观察、猜想与之间的大小关系，并说明理由。（2）正方形在绕点C旋转过程中，与之间的关系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC2021/1/46211、如图，M为正方形边的中点，E是延长线上一点，⊥，且交∠的平分线于点N。（1）求证：（2）若将上述条件中的“M是的中点”改为“M为上任意一点”，其它条件不变，问结论是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP●●2021/1/463思考题：如图正方形的对角线相交于点O，O又是另一个正方形的一个顶点，若正方形绕点O旋转，在旋转的过程中.探究二:若正方形与正方形两