江西省部分学校2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题（含答案）

江西省部分学校2024−2025学年高三下学期第二次联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．集合，若，则可能是（

）A． B． C．3 D．2．在复平面内，复数绕原点逆时针旋转得，则复数的虚部为（

）A． B．1 C． D．3．若双曲线的一条渐近线（过第一､三象限）的斜率小于，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知向量在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．的展开式中的系数是2000，则实数的值为（

）A．4 B． C．2 D．6．已知数列满足的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（

）A． B． C． D．7．在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（

）A．2 B． C． D．8．设函数，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．1二、多选题（本大题共3小题）9．已知事件发生的概率分别为，则（

）A．若与互斥，则B．若与相互独立，则C．若与相互独立，则D．若与相互独立，则10．2025年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化，某处灯光的亮度变化可以近似用三角函数来描述，这个三角函数的图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．是偶函数C．的图象关于点对称D．若在上有且仅有两个极值点，则11．已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（

）A．若点在正方形边及其内部，则点到直线距离的最大值为B．若点在正方形边及其内部，且，则点的轨迹长度为C．若向量，则的最小值为D．若向量，平面截正方体所得的截面面积的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知抛物线：（其中为常数）过点，则抛物线的焦点到准线的距离等于.13．若满足，则的最小值为.14．袋中装有6个相同的球，分别标有数字，从中一次性随机取出两个球，设两球标号为和，并记.将球放回袋中，重复上述操作，得到和.记，其中，则的概率为.四、解答题（本大题共5小题）15．记的内角的对边分别为，已知.(1)若，求；(2)若的面积为，求角的大小.16．如图，四棱锥中，，平面平面.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.17．已知函数.(1)当时，证明：；(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.18．已知数列分别是等比数列和等差数列，是数列的前项和.若.(1)求和及；(2)设是等比数列，对任意的，当时，有恒成立.（i）当时，求证：；（ii）设数列求数列的前项和.19．如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)记曲线与轴的左、右交点分别为，若是曲线上不同于的任意两点.（i）若点，点位于轴下方，直线交轴于点，A设和的面积分别为，且，求线段的长度；（ii）若直线过点，直线与交于点，求的最大值.参考答案1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】ACD10．【答案】ACD11．【答案】BCD12．【答案】13．【答案】14．【答案】15．【答案】(1)(2)16.（1）方法一：取的中点为，取的中点为，并连接，如图所示.因为为等边三角形，故.又平面平面，且平面平面，平面，故平面，而平面，从而.又，故，又，且为的中点，故有.又，且平面，故平面，平面，从而，又，且平面，故平面，又平面，故平面平面.方法二：取的中点为，并连接，如图所示.因为为等边三角形，故，又平面平面，且平面平面，平面，故平面，而平面，从而，又，故，从而可得.在和中，由，得，解得，故由，知，又，且平面，故平面，又平面，故平面平面.（2）方法一：在平面中，过作于，作于，设，如图，易有解得即为的中点.设，因为为等边三角形，故易有.又，且平面平面，平面,故平面，故易有二面角的平面角为，如图所示.在中，，故，故，即二面角的平面角的余弦值为.方法二：取的中点为，连接，并过作，因为，且平面平面，平面平面，平面,故平面，又，故以分别为轴，为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示.由题可知：，设，则解得即.因为平面，故平面的法向量可取，设平面的法向量为，则可取即，故，由图易知二面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.17．（1）函数的定义域为，当时，.要证，只需证：当时，.令，则.当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，，即时，，得证.（2），令，①当时，在上无极值点，不符合题意；②当时，，即在上单调递减，且.取，其中.显然，，则.由根的存在性定理可知，存在唯一的，使得.当时，，即；当时，，即.此时在区间上有且仅有一个极值点，满足题意.综上，.18．（1），则，所以公比为，从而，又，则，公差为，从而.（2）（i）由题意对任意时恒成立，则；又对任意时恒成立，则，综上，.（ii）由（i）知，，猜想，否则，若数列的公比，当足够大时，无法保证恒成立；若数列的公比，当足够大时，无法保证恒成立，所以，.19．（1）设，由，得，曲线的方程为.（2）（i）方法一：由（1）可得，连接，且，，直线的方程为，由得或，又点位于轴下方，.方法二：，而，所以，因为，则点到直线的距离为，所以点为平行于直线且距离为的直线与椭圆的交点，设该直线为，由直线，则，得，所以，或（舍），联立又点在轴下方，解得，从而