江苏省南京市、镇江市、徐州市联盟校2024-2025学年高一下学期3月学情调研数学试题（原卷版+解析版）

2024级高一下学期3月学期检测试卷数学2025.3一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.已知，是夹角为的两个单位向量，则（）A.1 B. C. D.2.已知，则（）A. B. C. D.3.要得到函数的图象，只需将的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位4.已知，，其中，的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.5.已知，则（）A. B. C. D.6.设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（）A.1 B.2 C.3 D.47.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中有一种几何图形与正六边形相关.假设正六边形代表六种不同的卦象元素，边长为20，点是正六边形边内部（包括边界）上的动点，则的最小值是（）A. B. C. D.1008.已知角，且，当取得最大值时，角（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.9.下列等式正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A. B.C.直线是图象的一条对称轴 D.能使得11.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中，，，则下列结论正确的是（）A. B.当时，C. D.当时，与的夹角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.与向量平行的单位向量的坐标为________．13.已知，是方程的两根，则__________．14已知角，满足，，且，.则________；________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知为第一象限的角，终边经过点，且.（1）求的值；（2）求的值.16.已知向量，，.（1）当，求x，y；（2），且，求向量与的夹角.17.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调增区间；（2）若，且，求的值.（3）在中，若，求取值范围.18.某养殖公司有一处正方形养殖池，边长100米.（1）如图1，P，Q分别，上，且，求证：.（2）如图2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带和，并安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元.问：①设，求的取值范围；②如何设计才能使安装智能照明装置费用最低?说明理由，并求出最低费用.（参考数值：，）19.定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.（1）若，，求最大值及对应的取值集合；（2）若向量的“积函数”满足，求的值；（3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系.

2024级高一下学期3月学期检测试卷数学2025.3一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.已知，是夹角为两个单位向量，则（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数量积的定义计算可得.【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，所以.故选：C2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的二倍角公式展开后，代入tana值即可求出.【详解】，故选B.【点睛】本题考查正切函数二倍角公式的运用，属于基础题.3.要得到函数的图象，只需将的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的图象变换关系求解.【详解】,所以要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位，故选:D.4.已知，，其中，的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】因为，，其中，的夹角为，所以在上的投影向量为，故选：D5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式和二倍角公式即可求解.【详解】.故选：.6.设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据扇形的周长为，面积为，得到，解得l，r，代入公式求解.【详解】因为扇形的周长为，面积为，所以，解得，所以，所以扇形的圆心角的弧度数是2故选：B7.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中有一种几何图形与正六边形相关.假设正六边形代表六种不同的卦象元素，边长为20，点是正六边形边内部（包括边界）上的动点，则的最小值是（）A. B. C. D.100【答案】C【解析】【分析】设与的夹角为，由向量数量积的定义可得当在方向上的投影最小时即可求解.【详解】设与的夹角为，所以，因为表示在方向上的投影，当点与点重合时，最小，此时，，所以的最小值是.故选：.8.已知角，且，当取得最大值时，角（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的两角和公式将展开化简，得到关于的表达式，再根据均值不等式求出取得最大值时的值，进而求出.详解】已知，可得：，，可得：，得：，因为，所以，，等式两边同时除以和可得：，上式可化为：，又因为，代入上式可得：

，令，则，，代入可得：，因为，所以，则.根据均值不等式对于有：，当且仅当，即，时等号成立.所以，即当时，取得最大值.

因为，且，所以.

当取得最大值时，角.故选：D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.9.下列等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用二倍角公式判断A、B，利用和差角公式判断C、D.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确.故选：CD10.已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A. B.C.直线是图象的一条对称轴 D.能使得【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的图象，先求得的解析式，然后逐项判断.详解】由，得，则，因为函数的图象过点，所以，则，又，则，故A错误；又函数的图象过点，则，解得，故B正确；所以，而，所以直线是图象的一条对称轴，故C正确；由，得，因为函数的最小正周期为，所以在上的值域，与在上的值域相同，则，故D正确；故选：BCD.11.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中，，，则下列结论正确的是（）A. B.当时，C. D.当时，与的夹角为【答案】ACD【解析】【分析】首先求出，再根据所给定义及数量积的运算律、夹角公式计算可得.【详解】依题意，对于A：因为，所以，所以，故A正确；对于B：当时，则，所以，所以与不垂直，故B错误；对于C：，所以，所以当时取得最小值，且，故C正确；对于D：由C可知，当时，，所以，设与的夹角为，则，又，所以，所以与的夹角为，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.与向量平行的单位向量的坐标为________．【答案】【解析】【分析】设单位向量坐标为，根据向量共线公式及求模公式，化简计算，即可得答案.【详解】设与向量平行的单位向量的坐标为，由题意得，解得或，故答案为：13.已知，是方程的两根，则__________．【答案】##【解析】【分析】将所求式利用两角和的正弦与两角差的余弦公式展开，然后根据商数关系弦化切，最后结合韦达定理即可求解.【详解】解：因为，是方程的两根，所以，所以，故答案为：.14.已知角，满足，，且，.则________；________.【答案】①.②.【解析】【分析】由题意，利用两角差的正弦公式求，先求得，再根据的范围求解.【详解】因为角，满足，，且，.所以，，所以，，因为，所以，则，所以，，因为，且，所以，则，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知为第一象限的角，终边经过点，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义求解；（2）由（1）得到，代入求解【小问1详解】因为为第一象限的角，终边经过点，且，所以，解得，【小问2详解】由（1）知：，所以，.16.已知向量，，.（1）当，求x，y；（2），且，求向量与的夹角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量相等构造方程求得；（2）先利用平面向量共线的坐标表示求解向量，再利用向量的夹角公式计算即得.【小问1详解】依题意，即，解得所以.【小问2详解】由向量，，所以由，得，解得，所以，所以，所以，又，所以.17.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调增区间；（2）若，且，求的值.（3）在中，若，求的取值范围.【答案】（1）最小正周期为；单调增区间（2）（3）【解析】【分析】（1）利用诱导公式、正弦的二倍角公式以及辅助角公式化简，再由正弦函数的性质即可求解；（2）由已知可得，根据的范围和同角三角函数的基本关系可得，由两角差的正弦函数求解即可；（3）由可得，根据三角恒等变换结合三角函数的性质求解即可.【小问1详解】，最小正周期为，令，，所以，，所以函数的单调递增区间为；【小问2详解】，因为，所以，所以所以；【小问3详解】因为，所以，因为，所以，，因为，所以，所以，所以的取值范围为.18.某养殖公司有一处正方形养殖池，边长为100米.（1）如图1，P，Q分别在，上，且，求证：.（2）如图2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带和，并安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元.问：①设，求的取值范围；②如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低?说明理由，并求出最低费用.（参考数值：，）【答案】（1）证明见解析（2）①；②当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元，理由见解析【解析】【分析】（1）延长到，使，连接，根据三角形的边角关系即可证明；（2）①由已知当点与点重合时，最小，当点与点重合时，最大，即可求解；②先表示出，然后通过三角换元，令，由此可得关于的函数，利用函数单调性求解出的最小值，则结果可知.【小问1详解】延长到，使，连接，因为为正方形，所以，，所以与全等，所以，，因为，所以，即，所以与全等，所以，所以，所以，又，所以；【小问2详解】①因为，所以，当点与点重合时，最小，，所以，，当点与点重合时，最大，，所以，所以的取值范围为；②设，由①知，，，，设，因为，所以，又，所以，因为在上单调递增，所以当时，最小，此时，即，所以的最小值为，因为在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，所以当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元.19.定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.（1）若，，求最大值及对应的取值集合；（2）若向量的“积函数”满足，求的值；（3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系.【答案】