《 备考指南 数学 》课件-第9章 第5讲

第九章第5讲[A级基础达标]1．(2021年长沙一模)若椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为()A．eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,\r(2))＝1 B．eq\f(x2,2)＋y2＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1【答案】C2．(2021年菏泽期末)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，|PF2|＝|F1F2|且∠F1PF2＝60°，则C的离心率为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)【答案】D3．(2021年中卫一模)已知斜率为k1(k1≠0)的直线l与椭圆x2＋eq\f(y2,9)＝1交于A，B两点，线段AB的中点为C，直线OC(O为坐标原点)的斜率为k2，则k1·k2＝()A．－3 B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,9) D．－9【答案】D4．(2021年浙江月考)已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上一动点P到两个焦点F1，F2的距离之积为q，则q取最大值时，△PF1F2的面积为()A．eq\f(\r(3),2) B．1C．eq\r(3) D．2【答案】C5．(2021年临汾模拟)过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”．在椭圆eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,16)＝1中，过点M(4eq\r(3)，0)的所有“好弦”的长度之和为()A．120 B．130C．240 D．260【答案】C6．(2021年邢台月考)(多选)关于椭圆3x2＋4y2＝12有以下结论，其中正确的有()A．离心率为eq\f(1,2)B．长轴长是2eq\r(3)C．焦点在y轴上D．焦点坐标为(－1,0)，(1,0)【答案】AD【解析】将椭圆方程化为标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，所以该椭圆的焦点在x轴上，故C错误；焦点坐标为(－1，0)，(1,0)，故D正确；因为a＝2，所以长轴长是4，故B错误；因为a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝1，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故A正确．故选AD．7．(2021年江苏泰州中学期末)(多选)已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(3)－1,2)【答案】BC【解析】由题意可得左、右焦点和上、下顶点可能构成直角三角形，这时b＝c，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2)；或者长轴的点和短轴的点和一个焦点可能构成直角三角形，如图所示，这时AFeq\o\al(2,2)＝AB2＋BFeq\o\al(2,2)，即(a＋c)2＝a2＋b2＋a2，整理可得e2＋e－1＝0，可得e＝eq\f(\r(5)－1,2).故选BC．8．(2021年宁波月考)已知过椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦点F的直线交C于A，B两点，若|AF|＋2|BF|≤k恒成立，则k的最小值为________．【答案】3eq\r(2)＋1【解析】由椭圆的方程可得a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，所以a＝eq\r(2)，c＝1，|AF|＋2|BF|＝|AF|＋|BF|＋|BF|＝|AB|＋|BF|，因为|AB|的最大值为2a＝2eq\r(2)，|BF|＝a＋c＝eq\r(2)＋1，所以|AF|＋2|BF|≤2eq\r(2)＋eq\r(2)＋1＝3eq\r(2)＋1，所以k的最小值为3eq\r(2)＋1.9．(2021年临沂一模)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝0，|PF1|＝eq\f(4,3)，|PF2|＝eq\f(14,3)，则C的标准方程为________；若过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A，B关于点M对称，则l的方程为__________．【答案】eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝12x－3y＋6＝0【解析】因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝eq\f(4,3)＋eq\f(14,3)＝6＝2a，所以a＝3，又在直角三角形PF1F2中，|F1F2|＝eq\r(|PF2|2－|PF1|2)＝eq\r(20)＝2eq\r(5)，所以c＝eq\r(5)，则b＝2，故椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),9)＋\f(y\o\al(2,1),4)＝1，,\f(x\o\al(2,2),9)＋\f(y\o\al(2,2),4)＝1，))两式作差可得eq\f(x1－x2x1＋x2,9)＋eq\f(y1－y2y1＋y2,4)＝0，又由已知可得点M为AB的中点，即x1＋x2＝－3，y1＋y2＝2，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2,3)，即kAB＝eq\f(2,3)，所以直线l的方程为y－1＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，即2x－3y＋6＝0.10．(2020年Ⅱ卷)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝eq\f(4,3)|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．解：(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝eq\r(a2－b2).不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为eq\f(b2,a)，－eq\f(b2,a)；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝eq\f(2b2,a)，|CD|＝4c.由|CD|＝eq\f(4,3)|AB|得4c＝eq\f(8b2,3a)，即3×eq\f(c,a)＝2－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2，解得eq\f(c,a)＝－2(舍去)或eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).所以C1的离心率为eq\f(1,2).(2)由(1)知a＝2c，b＝eq\r(3)c，故C1：eq\f(x2,4c2)＋eq\f(y2,3c2)＝1.设M(x0，y0)，则eq\f(x\o\al(2,0),4c2)＋eq\f(y\o\al(2,0),3c2)＝1，yeq\o\al(2,0)＝4cx0，故eq\f(x\o\al(2,0),4c2)＋eq\f(4x0,3c)＝1.①由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得eq\f(5－c2,4c2)＋eq\f(45－c,3c)＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3.所以C1的标准方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1，C2的标准方程为y2＝12x.[B级能力提升]11．(2021年北京师大实验中学月考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的任意一点，且满足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＞0，则椭圆离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))【答案】B【解析】F1(－c,0)，F2(c,0)，设P(x0，y0)，则eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－c－x0，－y0)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(c－x0，－y0)，因为eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＞0，所以(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＞0，所以－c2＋xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＞0，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＞c2，因为点P为椭圆上的任意一点，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)表示椭圆上的点到原点的距离的平方，所以(xeq\o\al(2,0)＋y0)min＝b2＞c2，所以a2－c2＞c2，所以eq\f(c2,a2)＜eq\f(1,2)，所以e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).故选B．12．(2021年南通期末)已知椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y＝1交于点A，B，点M为AB的中点，直线MO(O为原点)的斜率为eq\f(\r(2),2)，则eq\f(b,a)＝________；又OA⊥OB，则2a＋b＝________.【答案】eq\r(2)2eq\r(2)【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将A，B的坐标代入椭圆的方程可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax\o\al(2,1)＋by\o\al(2,1)＝1，,ax\o\al(2,2)＋by\o\al(2,2)＝1，))整理可得a(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋b(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，所以eq\f(a,b)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝0，即eq\f(a,b)＋eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝0，即eq\f(a,b)＋(－1)×eq\f(\r(2),2)＝0，所以eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax2＋\r(2)ay2＝1，,y＝－x＋1，))消去y可得(a＋eq\r(2)a)x2－2eq\r(2)ax＋eq\r(2)a－1＝0，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝4－2\r(2)，,x1x2＝\f(\r(2)a－1,a＋\r(2)a)，))y1y2＝(－x1＋1)(－x2＋1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝eq\f(\r(2)a－1,a＋\r(2)a)＋2eq\r(2)－3，因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，所以eq\f(2\r(2)a－2,a＋\r(2)a)＋2eq\r(2)－3＝0，所以a＝2(eq\r(2)－1)＝2eq\r(2)－2，b＝4－2eq\r(2)，所以2a＋b＝2eq\r(2).13．(2021年中山期末)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则椭圆在其上一点A(x0，y0)处的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2))).(1)求椭圆C的方程；(2)设F为椭圆C的右焦点，直线l与椭圆C相切于点P(点P在第一象限)，过原点O作直线l的平行线与直线PF相交于点Q，问：线段PQ的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．解：(1)由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(1,a2)＋\f(\f(1,2),b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得a＝eq\r(2)，b＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F(1,0)，设P(x0，y0)，显然0＜x0＜eq\r(2)，则eq\f(x\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)＝1，直线l的方程为eq\f(x0x,2)＋y0y＝1，即x0x＋2y0y＝2，xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)＝2，过原点且与直线l平行的直线l1的方程为x0x＋2y0y＝0.①当x0＝1时，y0＝eq\f(\r(2),2)，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2))).直线l的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(\r(2),2)y＝1，即x＋eq\r(2)y＝2，故过原点且与直线l平行的直线l1的方程为x＋eq\r(2)y＝0.直线PF的方程为x＝1，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(2)y＝0，,x＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－\f(\r(2),2)，))故Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(2),2)))，故|PQ|＝eq\r(2)；②当x0≠1，则直线l的方程为x0x＋2y0y＝2，且xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)＝2，过原点与直线l平行的直线l1的方程为x0x＋2y0y＝0，kPF＝eq\f(y0,x0－1)(x0≠1)，直线PF的方程为y＝eq\f(y0,x0－1)(x－1)(x0≠1)，即y0x－(x0－1)y－y0＝0，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0x－x0－1y－y0＝0，,x0x＋2y0y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2y\o\al(2,0),2－x0)，,y＝\f(－x0y0,2－x0)，))故Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2y\o\al(2,0),2－x0)，\f(－x0y0,2－x0))).故|PQ|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(2y\o\al(2,0),2－x0)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(x0y0,2－x0)))2)＝eq\r(\f(4x0－12＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),2))),2－x02))＝eq\r(\f(2x0－22,2－x02))＝eq\r(2)，故线段PQ的长度为定值eq\r(2).综上，线段PQ长度为定值eq\r(2).[C级创新突破]14．(2021年德州模拟)(多选)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论正确的是()A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小【答案】ABD【解析】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，故A正确；当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知其速度更慢，故B正确；eq\f(a－c,a＋c)＝eq\f(1－e,1＋e)＝eq\f(2,1＋e)－1，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，故C错误；根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，故D正确．故选ABD．15．(2021年东北三省三校一模)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率是eq\f(1,2)，椭圆C过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，