《 备考指南 数学 》课件-第4章 第1讲

一元函数的导数及其应用第四章

第1讲导数的概念及其运算栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一个确定的值这个确定的值f′(x0)2.函数f(x)的导函数函数___________________________为函数f(x)的导函数．3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝_________f(x)＝sinxf′(x)＝_________f(x)＝cosxf′(x)＝_________f(x)＝exf′(x)＝exαxα－1cosx－sinxaxlnaf′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__________，即y对x的导数等于______的导数与______的导数的乘积．yu′·ux′y对uu对x【特别提醒】1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．3．在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆．【常用结论】1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”．【答案】C【答案】C【答案】CD【答案】1【答案】5x－y＋2＝01．求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．2．(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同． (

)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)． (

)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． (

)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． (

)(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×重难突破能力提升2(1)(2021年亳州二中期中)f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为

(

)A．1 B．eC．2e D．0导数的运算(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，记f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N*)，若f(x)＝xsinx，则f5(x)＋f2021(x)＝

(

)A．－5sinx－xcosx B．5sinx－xcosxC．－5sinx＋xcosx D．5sinx＋xcosx【答案】(1)B

(2)D【解题技巧】1．求导公式或求导法则中，要注意“＋”“－”的变化，如(cosx)′＝－sinx.2．对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．【答案】(1)B

(2)A导数的几何意义考向1求切线方程

(2020年Ⅰ卷)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．【答案】2x－y＝0考向2求切点坐标

(2021年贵阳模拟)设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)为奇函数，且函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．【答案】(0,0)【解析】因为f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，所以f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax，所以a＝1，f′(x)＝3x2＋1，3x＋1＝1，x0＝0，f(x0)＝0，所以切点P(x0，f(x0))的坐标为(0,0)．【答案】A【解题技巧】1．求切线方程的方法(1)求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程．2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上．【答案】(1)(1,3)或(－1,3)

(2)2x－y＝0

(3)8

已知函数f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围．几何意义的综合应用于是，当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)

t＋3

t＋1

要使g(x)有3个零点，则t＋3>0且t＋1<0，解得－3<t<－1.所以t的取值范围是(－3，－1)．【解题技巧】解决本题第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程，可将问题等价转化为关于x0的方程有三个不同的实根，构造函数后，利用函数的单调性求极值，通过数形结合方法找到t满足的条件即可．【变式精练】3．过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有 (

)A．3条 B．2条C．1条 D．0条【答案】A素养微专直击高考3若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．【考查角度】导数的几何意义．【核心素养】逻辑推理、数学运算．【易错分析】由于题目中没有指明点O(0,0)的位置情况，容易忽略点O在曲线y＝x3－3x2＋2x上这个隐含条件，进而不考虑O点为切点的情况．易错警示——求曲线的切线方程典例精析【解题技巧】1．求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x