《 备考指南 数学 》课件-第3章 第4讲

函数概念与基本初等函数第三章第4讲二次函数与幂函数栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式ax2＋bx＋c(a≠0)

a(x－h)2＋k(a≠0)

a(x－x1)(x－x2)(a≠0)

(2)二次函数的图象与性质R

2.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数_______________叫做幂函数，其中x是_________，α是______．(2)5个常见幂函数的图象与性质y＝xα(α∈R)

自变量

常数

{x|x≥0}

奇函数

(－∞，0)

(0，＋∞)

(－∞，0)

(0，＋∞)

【特别提醒】1．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内；2．如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【常用结论】1．幂函数y＝xα在第一象限内的两个重要结论(1)恒过点(1,1)；(2)当x∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．【答案】C【答案】A3．(2021年日照月考)已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为

(

)A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3【答案】D4．(多选)已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值可能是 (

)A．－4 B．0C．4 D．20【答案】ABC5．函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0,3]上的最大值为________；最小值为________．【答案】6

22．两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法，特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系、讨论二次方程根的大小等．【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×重难突破能力提升2 (1)(2021年辽宁实验中学模拟)已知幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm2－2在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是 (

)A．－1 B．3C．－1或3 D．1或－3幂函数的图象和性质【答案】(1)B

(2)B【解题技巧】1．对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．(2)(2021年襄阳一模)已知定义在R上的幂函数f(x)＝xm(m为实数)过点A(2,8)，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(m)，则a，b，c的大小关系为 (

)A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜a【答案】(1)B

(2)A

已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式．二次函数的解析式【解题技巧】求二次函数解析式的策略【变式精练】2．(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________.(2)已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝________.示通法既要重视二次函数图象的基本知识，又要重视其中蕴含的数学思想如数形结合、分类讨论思想．二次函数的图象与性质考向1二次函数的图象及应用

一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是 (

)【答案】C

考向2二次函数的性质及应用

设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．【答案】[0,2]【解析】依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a>0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.考向3二次函数中的恒成立问题

(2021年北京模拟)已知不等式x2＋ax＋4≥0的解集为R，则a的取值范围是 (

)A．[－4,4] B．(－4,4)C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)【答案】A

【解析】(1)不等式x2＋ax＋4≥0的解集为R，所以Δ＝a2－4×1×4≤0，解得－4≤a≤4.故选A．【答案】ABD

【解题技巧】1．解决二次函数图象与性质问题时的注意点(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．【变式精练】3．(1)(2021年海南模拟)已知函数f(x)＝x2－mx＋5在(2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围为 (

)A．[4，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，4] D．(－∞，2](2)(2021年东北两校模拟)对于任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，那么x的取值范围是 (

)A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)C．(1,2) D．(3，＋∞)(3)(2021年荆州一模)若函数f(x)＝ax2－2x＋1在(0，＋∞)上有零点，则实数a的取值范围是 (

)A．a≤0 B．a≤1C．a≥0 D．a≥1【答案】(1)C

(2)B

(3)B素养微专直击高考3

已知函数f(x)＝x2－ax，若对任意a∈R，存在x0∈[0,2]，使得|f(x0)|≥k成立，则实数k的最大值是________.科学思维能力——求含参二次函数最值不要忽视对称轴典例精析思维卡壳点想不到把|f(x)|＝|x2－ax|转化为g(x)＝x2与h(x)＝ax图象上横坐标相同的点的纵向距离应对策略抓住二次函数图象对称轴的位置进行分析此时f(x)在[0,2]上单调递增，于是|f(x)|max＝f(x)max＝f(2)＝4－2a.所以k≤4－2a对任意的a≤0