上海市实验学校2025届高三下学期3月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市实验学校2025届高三下学期3月月考数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.x∈A是x∈A∪B的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知两个连续型随机变量X，Y满足条件2X+Y=2，且Y服从标准正态分布．设函数Fx=P(X−2x>1)，则FA. B.

C. D.3.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点P在面ABCDA.椭圆的一部分 B.线段 C.圆的一部分 D.抛物线的一部分4.已知数列an满足an+1=1A.当a1=3时，an为递减数列，且存在常数M≤0，使得an>M恒成立

B.当a1=5时，an为递增数列，且存在常数M≤6，使得an<M恒成立

C.当a1=7时，an为递减数列，且存在常数M>6，使得二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知椭圆x24+y2a2=1与双曲线6.已知fx=x+cx，若对任意x∈0,+∞，都有fx≥f7.已知函数fx=lnx,x>13x,x≤18.在△ABC中，AB+AC=8，⟨AB,AC⟩=π3，5sinB=3sinC9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l的倾斜角为45∘，且l过点F.若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为10.已知函数fx=2cos2ωx−π6−1ω>0在0, π11.已知一组数据1，1，2，3，5，2，1的第60百分位数为m

，且随机变量X

的分布列为X0.5m

2mP0.40.30.3则EX=

12.已知z1=3sinθ+i3cos13.已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y−1=0上，且PQ⊥l1，点A−3,−3，B14.若定义在−∞,0∪0,+∞上的函数fx同时满足：①fx为奇函数；②f1=0；③对任意的x1,x2∈15.晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面在如图(1)所示的体心立方晶胞中，原子A与B(可视为球体)的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子B与8个原子A均相切，已知该晶胞的边长(图(2)中正方体的棱长)为23，则当图(1)中所有原子(8个A原子与1个B原子)的体积之和最小时，原子A的半径

16.在数列an中，若存在两个连续的三项ai，ai+1，ai+2与aj，aj+1，aj+2相同(i≠j)，则称an是“3阶可重复数列”.已知给定项数为m(m∈N,m≥4)的数列an，其中a三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题13分)如图，在四棱锥A−BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠BCD=90∘，DE//BC，且DE=CD=CA=2，BC=4，M是AD的中点，N是(1)求证：CM⊥平面ADE；(2)求直线CM与平面DEN所成角的正弦值．18.(本小题15分)已知m=(bsinx，acosx)，n=(cosx，−cosx)，f(x)=m⋅n(1)求a和b的值；(2)若关于x的方程f(x)+log3k=0在区间[0,2π19.(本小题16分)某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示．(1)由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第60百分位数；(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自70,80和[80,90)的概率；(3)现已知直方图中考核得分在70,80内的平均数为75，方差为6.25，在[80,90)内的平均数为85，方差为0.5，求得分在70,90内的平均数和方差．20.(本小题17分)已知抛物线E:y2=4x，直线l:x=my+3交抛物线E(1)若线段AB中点M的纵坐标为2，求直线l的方程；(2)若抛物线E上存在两点C,D关于直线l轴对称，求m的取值范围．(3)若存在定点P，使以AB为直径的圆上的任意点Q，都满足PQ:OQ=2:3(O为原点)21.(本小题17分)已知常数p>1，定义在0,+∞的函数fx(1)求函数fx(2)若函数gx=ax−x1p(i)求实数a的值；(ii)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=fx和y=gx共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．参考答案1.A

2.D

3.D

4.B

5.1

6.9

7.ln28.19

9.210.7211.2

12.7−13.314.−∞,−2∪15.616.11

17.(1)证明：因为AC⊥平面BCDE，DE⊂平面BCDE，所以AC⊥DE，由∠BCD=90∘，DE//BC知，又CD∩AC=C，CD,AC⊂平面ACD，所以DE⊥平面ACD，因为CM⊂平面ACD，所以DE⊥CM，因为CD=CA，M是AD的中点，所以CM⊥AD，又AD∩DE=D，AD,DE⊂平面ADE，所以CM⊥平面ADE．(2)AC⊥平面BCDE，∠BCD=90∘，以以CD，CB，CA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C0,0,0，D2,0,0，E2,2,0，A0,0,2，B0,4,0故CM=(1,0,1)，DE=(0,2,0)，设平面DEN的法向量n=(x,y,z)则n⋅DE=2y=0n⋅设直线CM与平面DEN所成角为θ，则sinθ=即直线CM与平面DEN所成角的正弦值3

18.(1)由题意，函数f(x)==b由f(π6)=2因为f′(x)=bcos2x+asin2x，又f′(0)=2(2)由(1)得f(x)=因为x∈[0,2π3]所以−12≤sin(2x−又因为方程f(x)+log3k=0所以f(x)=−log3k所以0≤−log3k≤3，所以127≤k≤1，所以实数k的取值范围为

19.解：(1)由题意得：10×(0.01+0.015+0.020+t+0.025)=1，解得t=0.03，设第60百分位数为x，则0.01×10+0.015×10+0.02×10+0.03×(x−80)=0.6，解得x=85，即第60百分位数为85；(2)由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有5×820=2人，设为A、B，在[80,90)的有5×1220=3人，设为a则样本空间为Ω={(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)},n(Ω)=10．设事件M=

“两人分别来自[70,80)和[80,90)

”，则M={(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c)},n(M)=6，因此P(M)=n(M)所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为35

(3)由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40×10×0.02=8个，落在区间[80,90)内的数据有40×10×0.03=12个，记在区间[70,80)的数据分别为x1,x2,⋯,x在区间[80,90)的数据分别为为y1,y2,⋯,y这20个数据的平均数为z，方差为s2

由题意，x=75,y=85,sx2根据方差的定义，s=由8可得s===2故得分在[70,90)内平均数为81，方差为26.8．

20.(1)设Ax联立y2=4xx=my+3，化简得y1+y由于yM=y故直线l的方程为x=y+3；(2)设Cb若m=0，则l:x=3，易得此时不合题意；若m≠0，由于C,D关于直线l轴对称，故kCD故a+b=−4m，所以CD中点的纵坐标为将其代入l:x=my+3中可得x=1，又x=1=b24结合a+b=−4m，故化简可得b2由于关于b的方程要有两个不相等的实数根，所以Δ′=16故m2>1，即综上所述，m∈−∞,−1(3)设Qx,y，Ps,t，由题意可得整理得x2+y又点Q在以AB为直径的圆上，则x+3s2由y1+y则x1则M2m2即有−3s=2则4m化简得m2m2+2=0，故m=0即m=0，定点P−1,0

21.(1)由题意可知：f′x由f′x>0得x>p11−p可知fx在区间0,p1所以函数fx的最小值为f(2)(i)由题意可知：g′x①当a≤0时，g′x<0,gx在区间0,+∞②当a>0时，由g′x>0得x>(pa)p1−p可知gx在区间0,(pa)p故g(x因为fx和gx有相同的最小值，则即pp1−p−(ii)证明：因为fx在0,p1gx在0,pp1−p内单调递减，在①当b<pp1−p−p②当b=pp1−p−p11−p时，y=b③当b≥0时，fx在区间0,p11−p递减，所以所以y=b与y=fx最多1个交点；同理y=b与y=gx最