山东省济南市2025届高三下学期3月模拟考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页山东省济南市2025届高三下学期3月模拟考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|log2x<1}，B={x|x<1}，则A∩B=A.(−∞,1) B.(0,1) C.(−∞,2) D.(0,2)2.设复数z满足1+z2−i=i(i为虚数单位)，则z=(

)A.2i B.−2i C.−2+2i D.−2−2i3.若直线l1:(m−2)x+3y+3=0与直线l2:2x+(m−1)y+2=0平行，则A.4 B.−4 C.1或−4 D.−1或44.若数列{an}各项均为正数，则“{an}A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.抛物线y=x2+2x+2的焦点坐标为A.(−1,32) B.(−1,54)6.已知函数f(x)=e−x−1,x≤0,1−exA.(−∞,1) B.(1,+∞) C.(−∞,−3) D.(−3,+∞)7.已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为(

)A.π B.2π C.4π D.8π8.已知0<α<β<π2，则(

)A.sinα−sinβ<α−β B.α−β<tanα−tan二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.为了验证牛的毛色(黑色、红色)和角(有角、无角)这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到χ2≈2.727，根据小概率值为α的独立性检验，则附：P(0.1000.0500.010k2.7063.8416.635A.若α=0.100，则认为“毛色”和“角”无关

B.若α=0.100，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%

C.若α=0.010，则认为“毛色”和“角”无关

D.若α=0.010，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%10.已知F1，F2分别是椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点，O为坐标原点，PA.|OH|+|HF2|=2 B.|OH|>1

C.△OHF2内切圆半径的最大值为11.已知递增数列{an}的各项均为正整数，且满足aaA.aa1=3 B.an>n 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为

.(用数字作答)13.函数f(x)=|sinx|+cosx的最小值为14.已知正四面体ABCD的棱长为22，动点P满足PA2+PB2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为78，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为12.(1)求智能客服的回答被采纳的概率;(2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数.求X的分布列、期望及方差．16.(本小题15分)

如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2，点P在线段BE上．

(1)求证：平面ACP⊥平面ABF;(2)当直线AP与平面BCE所成角的正弦值为32114时，求17.(本小题15分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，O为坐标原点，过C的右焦点的直线l(1)求C的方程;(2)过P作直线x=1的垂线，垂足为N．(ⅰ)证明：直线QN过定点;(ⅱ)求△OQN面积的最小值．18.(本小题17分)已知a，b∈R，函数f(x)=ex(1)当a=0时，求f(x)的极值;(2)若f(x)存在零点．(ⅰ)当b=0时，求a的取值范围;(ⅱ)求证：a2+19.(本小题17分)

如图，已知给定线段B1C1长为2，以B1C1为底边作顶角为θ(0∘<θ≤90∘)的等腰三角形A1B1C1，取△A1B1C1的腰A1B1的三等分点B2，C2(B2靠近A(1)用θ表示出△A2(2)当θ=60∘时，证明：{△An(3)若{△AnBnCn}答案解析1.【答案】B

【解析】因为集合A={x|log2x<1}={x|0<x<2}，B={x|x<1}，2.【答案】A

【解析】解：因为1+z2−i=i，

所以3.【答案】D

【解析】解：∵直线l1:(m−2)x+3y+3=0与直线l2:2x+(m−1)y+2=0平行，

∴(m−2)⋅(m−1)=3×2，解得m=−1或4，

经验证，合题意．

故4.【答案】C

【解析】解：充分性：数列{an}各项均为正数，若数列{an}是等比数列，an=a1·qn−1，lnan=lna1+(n−1)lnq，则数列{lnan5.【答案】B

【解析】解：对于抛物线y=x2+2x+2，通过配方可得(x+1)2=y−1，

可以看作是将x2=y向左平移1个单位，向上平移1个单位得到．

对于x2=y，2p=1，则p=12，焦点坐标为(0,14)，

6.【答案】A

【解析】解：当x=0时，f(0)=0；

当x>0时，−x<0，fx=1−ex，f−x=ex−1=−fx，

当x<0时，−x>0，fx=e−x−1，f−x=1−e−x=−fx，

所以函数f(x)为奇函数，由指数函数的单调性可知函数f(x)在R上为减函数，

7.【答案】B

【解析】解：设圆台上下底面半径分别为r，R(R>r)，

设展开图中大半圆半径为R1，小半圆半径为R2，

因为圆台侧面展开图是半个圆环，

所以圆台的母线长l=R1−R2，且2πR=πR1，2πr=πR2，

由此可得R1=2R，R2=2r，那么母线长l=2R−2r=2(R−r)．

已知圆台侧面积S8.【答案】D

【解析】解：对于A，设，

则f′x=1−cosx>0，

所以fx在(0,π2)上单调递增．

因为0<α<β<π2，

所以fα<fβ，即α−sinα<β−sinβ，

即α−β<sinα−sinβ，故A错误；

对于B，设，

则g′x=1−cos2x+sin2xcos2x=1−1cos2x=−sin2xcos2x<0，

所以gx在(0,π2)上单调递减．

因为0<α<β<π2，

所以gα>gβ，即α−tanα>β−tanβ，

即α−β>tanα−tanβ，故B错误；

对于C，设f(x)=sinxx，则f′(x)=xcosx−sinxx2，

设g(x)=xcosx−sinx，

则g′(x)=cosx−xsinx−cosx=−xsinx，

∵0<x<π2，

∴g′(x)=−xsinx<0，即函数g(x)在(0,π2)上单调递减，

∴g(x)<g(0)=0，

∴f′(x)<0，即函数f(x)在(0,π2)上单调递减，

∵0<α<β<π29.【答案】BC

【解析】解：对于AB，若α=0.100，

因为χ2≈2.727>2.706，

所以认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，

故A错误，B正确；

对于CD，若α=0.010，

因为χ2≈2.727<6.635，

所以认为“毛色”和“角”无关，

故10.【答案】ACD

【解析】解：对于A，因为O，H分别是F1F2,PF2的中点，

所以OH是△PF1F2的中位线，即OH=12PF1，

所以OH+HF2=12PF1+12PF2=a=2，故A正确；

对于B，当P为短轴端点时PF1=a=2，

故当P位于第二象限时，PF1<2，

所以OH=12PF1<1，故B错误；

对于C，设∠F1PF2=α，

因为PF1+PF2=2a，

所以cosα=PF12+PF22−F1F222PF1·PF2

=PF111.【答案】ABD

【解析】解：对于A，因为aan=3n，

所以aa1=3×1=3，故A错误；

对于B，若a1=1，则aa1=a1=1，与aa1=3矛盾，

所以a1>1，

所以a2>a1⩾2，

以此类推可得an>n，故B正确；

对于C，由an>n，可得aan>an，

所以n<an<3n，所以1<a1<3．

因为{an}的各项均为正整数，所以a1=2．

所以aa1=a2=3，aa2=a3=6，

因为{an}为递增数列，

所以a5>a3=6，故C错误；

对于D，由a1=2，a2=312.【答案】30

【解析】解：由A55A13.【答案】−1

【解析】解：由f(x+2π)=|sin(x+2π)|+cos(x+2π)=|sinx|+cosx=f(x)，

所以2π为函数f(x)的一个周期，

当0≤x≤π时，当sinx≥0时，

f(x)=sinx+cosx=2sin(x+π4)，

由0≤x≤π得π4≤x+π4≤5π4，

所以sin(x+π4)∈[−22,1]，

所以f(x)∈[−1,14.【答案】2

【解析】解：如图将正四面体ABCD补成正方体并建立空间直角坐标系，

因为正四面体的棱长为22，

所以正方体的棱长为2，

则A0,0,0,B2,0,2,C2,2,0,D0,2,2，

设Px,y,z，

因为PA2+PB2=PC2+PD2，

所以x2+y15.【答案】解：(1)设A=“智能客服的回答被采纳”，B=“输入问题表达不清晰”，

由题意可知，P(B)=15，P(B)=1−15=45，P(A|B)=12，P(A|B=78,

P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=15×12+45×78=45．

智能客服的回答被采纳的概率为45χ0123P1124864

所以，E(x)=0×1125+1×12125+2×48125【解析】详细解答和解析过程见【答案】16.【答案】解：(1)证明：因为平面ADEF⊥平面ABCD，

平面ADEF∩平面ABCD=AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，

所以AF⊥平面ABCD．

因为AC⊂平面ABCD，

所以AF⊥AC．

过A作AH⊥BC于H，则BH=1，AH=3，CH=3，

所以AC=23，则AB2+AC2=BC2，

所以AC⊥AB．

因为AB∩AF=A，AB，AF⊂平面ABF，

所以AC⊥平面ABF．

又因为AC⊂平面ACP，

所以平面ACP⊥平面ABF．

(2)以A为坐标原点，AB，AC，AF的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,23,0)，E(−1,3,2)，BE=(−3,3,2)，BC=(−2,23,0)．

设BP=λBE，λ∈[0,1]，

则BP=(−3λ,3λ,2λ)，所以P(2−3λ,3λ,2λ)，

故AP=(2−3λ,3λ,2λ).

设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量，

则BE·n=0BC·【解析】详细解答和解析过程见【答案】17.【答案】解：(1)因为C的离心率为2，

所以a=b，c=2a，

因为当l⊥x轴时，PQ=22，

所以不妨令P(2a,2)，

代入C中得，2a2a2−2b2=1，

所以a2=b2=2，则C:x22−y22=1．

(2)(i)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则N(1,y1)，

因为l斜率不为0，所以设l:x=my+2，

与C:x2−y2−2=0联立得(m2−1)y2+4my+2=0，

所以m2−1≠0，△=8m2+8>0，

y1+y2=−4mm2−1，y1y2=2m2−1，

因为x2≠1则直线NQ的方程为y=y2−y1x2−1(x−1)+y1【解析】详细解答和解析过程见【答案】18.【答案】解：(1)a=0时，f(x)=ex−bx，则f′(x)=ex−b，

当b≤1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，既无极大值也无极小值．

当b>1时，x∈[0,lnb)时，f′(x)<0，，函数f(x)单调递减，

x∈(lnb,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

函数f(x)的极小值是b−blnb，无极大值．

(2)(i)当b=0时，因为函数f(x)存在零点，故ex=ax有解，若x=0，此时无解，

所以x>0，g(x)=ex−ax有解，g′(x)=ex−a2x=2exx−a2x，

 ①若a≤0，g(x)单调递增，g(x)>g(0)=1此时不存在零点;

 ②若a>0，令ℎ(x)=2exx−a，ℎ(0)=−a<0，ℎ(a2)=ea2a−a>0，

由零点存在定理可知存在x0∈(0,a2)，ℎ(x0)=0，

所以g(x)在(0,x0)上为减函数，在(x0,+∞)上为增函数，

故g(x)min=ex0−ax0=a2x0−ax0≤0，解得x0≥12，

故【解析】详细解答和解析过程见【答案】19.