江西省鹰潭市2025届高三下学期一模数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江西省鹰潭市2025届高三下学期一模数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∈Zy=ln−x2−x+2A.−2,0 B.−1,0 C.−1,0 D.−2,−12.已知i是虚数单位，复数z满足(2−i)z=3−i，那么z的虚部是(

)A.15 B.75 C.753.已知向量a=2,6，b=m,−1，若a+A.3 B.3 C.−3 D.4.已知sinα−β=16，sinαA.79 B.19 C.−15.已知直线l1：mx+y+m=0和l2：x−my−3=0相交于点P，则点P的轨迹方程为(

)A.x−12+y2=4 B.x+126.已知1+2xn=a0+a1x+a2A.81 B.242 C.243 D.807.过椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的点M作圆x2+y2=b2的两条切线，切点分别为P，A.12 B.33 C.8.数列an满足a1=a①存在正整数i1,i2,⋅⋅⋅,②存在m∈N∗，使得am，a③存在常数t，使得对任意n∈N∗，都有an，t④其中所有证确结论的是(

)A.②③ B.③④ C.①②④ D.①③④二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知变量x和变量y的一组成对样本数据xi,yii=1,2,⋅⋅⋅,n的散点落在一条直线附近，x=1ni=1nxi，yA.当r>0时，成对样本数据成线性正相关；

B.当r越大时，成对样本数据的线性相关程度越强；

C.xn+1=x，yn+1=y时，成对样本数据xi,yii=1,2,⋅⋅⋅,n,n+1的相关系数r′满足r′=r；

10.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为棱A1D1，BC的中点，P为正方形A1B1A.存在点P，使得直线A1B1与平面MNP垂直

B.平面MNP把正方体分割成的两个几何体的体积相等

C.QB⋅QD1的取值范围为−3,+∞；

D.若动点Q11.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：x2+y23=16x2y2被称为“四叶玫瑰线”(如图所示)，PA.曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；

B.曲线C经过5个整点(即横纵坐标均为整数的点)；

C.存在一个以原点为中心、边长为22的正方形，使曲线C在此正方形区域内(含边界)．

D.y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数fx=2x2+1,x≤0f13.若正实数a，b满足条件：ea+b=ea+b(e是自然对数的底数)，则ab的最大值是14.如图：在▵ABC中，M，N，P三点分别在边AB，BC，CA上，则▵AMP，▵BMN，▵CNP的外接圆交于一点Q，称点Q为密克点.运用上述结论解决如下问题：在梯形ABCD中，∠B=∠C=60∘，AB=4，AD=2，M为CD边的中点，动点P在BC边上，▵ABP与▵CMP的外接圆交于点Q(异于点P)，则BQ的最小值为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数fx=exsinx(e是自然对数的底数(1)当x∈0,2π时，求不等式g(2)若函数ℎx=fx−x−π16.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1(1)求证：BC⊥AA(2)侧棱CC1上是否存在点D，使得直线AD与平面A1BC所成角的正弦值为17.(本小题15分)预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物(数量较大)进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据(单位；只)：发病没发病合计接种疫苗71825没接种疫苗19625合计262450(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？(2)从该地区此动物群中任取一只，记A表示此动物发病，A表示此动物没发病，B表示此动物接种疫苗，定义事件A的优势R1=PA1−PA，在事件B发生的条件下(3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为X，求随机变量X的分布列、数学期望．附：χ2=nP0.0500.0100.001x3.8416.63510.82818.(本小题17分)已知抛物线Γ的顶点为坐标原点O，焦点在y轴的正半轴上，过焦点作直线l交抛物线Γ于M，N两点，且OM⋅

(1)求抛物线Γ的标准方程；(2)如图，过抛物线Γ上的三个不同点A，B，C(B在A，C之间)，作抛物线的三条切线，分别两两相交于点D，E，F.是否存在常数λ，使得DA⋅FC=λ(3)当点C的横坐标为4时，以C为直角顶点，作抛物线的两个内接Rt▵CPQ及Rt▵CRT(抛物线的内接三角形是指三角形的三个顶点都在抛物线上)，求线段PQ，RT的交点坐标．19.(本小题17分)设a为正数，若以a为首项的等比数列an满足：a1+1，a2+2，a3+3(1)若G型数列an存在并且唯一，求a(2)若an=a2n−1，n∈N∗，其中(i)求a的值；(ii)令bn=an−1an，n∈N∗，探究参考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.C

6.B

7.C

8.D

9.ACD

10.BD

11.AD

12.9

13.1414.215.解：(1)易知gx令gx≥0，解得−π又x∈0,2π，所以gx(2)由题可知，ℎ′当x∈0,π4∪π2所以函数ℎx在0,π4和π所以函数ℎx的极大值为函数ℎx的极小值为ℎ

16.解：(1)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，取BC的中点在▵A1ABAB=AC∠由A1B=A由A1E⊥BCAE⊥BC(2)在▵ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，则AE=CE=BE=在▵A1AB中，∵AB=AA1=2，在等腰▵A1BC，∵A在▵AEA1中，由余弦定理得：cos∠在平面AEA1内过E作Ez⊥AE，则Ez⊥平面ABC，于是直线EA，EB，以E为原点，直线EA，EB，Ez分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在平面AEA1内过A1作A则A1H⊥平面ABC则A122,0,2则A1B=设平面A1BC的法向量为则m取平面A1BC的一个法向量设CD=tCC则AD=AC+CD=2得cosAD整理得6t2−13t+6=0，解得t=23或t=32

17.解：(1)根据列联表可得χ2所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关．(2)由于1−PA∣B所以R2=PR2由列联表中的数据可得PB∣A=726，(3)由题可知，抽取的24只没发病的动物中接种疫苗和没接种疫苗的动物分别为18人和6人，所以从没发病的动物中随机抽取1只，抽取的是接种了疫苗的概率为1818+6则由题意可知X=0,1,2,3，且X∼B3,PX=0=CPX=2=C所以随机变量X的分布列为X0123P192727所以随机变量X的数学期望为EX

18.解：(1)设抛物线Γ的标准方程为x2=2pyp>0，直线MN联立x2=2pyy=kx+p2，消去设Mx1,x122p所以OM⋅ON=x1x2所以抛物线C的标准方程为x

(2)存在常数1，使得DA⋅设Ax1,y1，B则在点A处的坐切线方程为y−y1=在点B处的坐切线方程为y−y2=由y=14xx1同理可得Ex1+DA=x1DE=x3所以DA⋅DE⋅可得DA⋅FC=DE(3)(解法一)因为Rt▵CPQ、Rt▵CRT是抛物线的两个内接三角形，所以直线CP，CQ，CR，CT的斜率存在且不为0，当点C的横坐标为4时，代入42=8y得所以C4,2设PxP,yP，QxQ设kCP=k，则kCQ=−1与x2=8y联立得x2−8kx+32k−16=0，则yP=kx同理可得Q−所以直线PQ的方程为y−8整理得y=k−1k设kCR=ℎ，则kCQ=−1所以直线RT的方程为ℎ−1由ℎ−1ℎ所以PQ，RT的交点坐标为−4,10．(解法二)当点C的横坐标为4时，代入42=8y得y=2设PxP,yP，Q联立x2=8ym即8ny−2所以k直线PQ的方程为mx−4+ny−2即直线PQ恒过定点−4,10，同理直线RT也过定点−4,10，所以PQ,RT的交点坐标为−4,10．

19.解：(1)设数列an的公比为q因为a1+1，a2+2，化简得：aq2−4aq+3a−1=0(∗)，又故方程(∗)有两个不等的实根，再由数列an存在并且唯一知，方程(∗)必有一个实根为0将q=0代入方程(∗)得a=13，检验当a=13时，方程(∗)可化为q2−4q=0，