2024-2025学年河南省南阳一中高三（下）第14次限时训练数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省南阳一中高三（下）第14次限时训练数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=11−i，则z的共轭复数的虚部为(

)A.−12 B.−12i 2.已知a是直线2x−y+1=0的一个方向向量，若a=(m,1)，则实数m的值为(

)A.12 B.−12 C.23.已知角α、β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与圆O交于点A(1,22).动点P以A为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点B，点P运动的轨迹长为3π4，当角β的终边为射线OB时，A.42−77 B.7−424.若非零向量a,b满足|a|=2|b|=8，且向量a−b与向量aA.−24 B.24 C.83 5.如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上按顺时针方向绕点O匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数.这个函数的图象大致是(

)A.B.

C.D.6.设x，y∈R，且0<x<y<1，则(

)A.x2>y2 B.sinx>siny

C.7.若函数f(x)=logax+loga+1xA.(0,5−12) B.(8.已知F1，F2分别是椭圆x28+y24=1的左、右焦点，P，A，B为椭圆上三个不同的点，直线PA的方程为x=2，且∠APB的平分线经过点Q(1,0)，设△AF1A.3 B.4 C.5 D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=−sinx+sin3x，则下列说法正确的是(

)A.此函数的周期为π B.此函数图象关于直线x=π2对称

C.此函数在区间[0,2π]上有6个零点 D.此函数在区间10.已知数据x1，x2，…，x6的平均数为10，方差为1，且y1A.数据y1，y2，…，y6的方差为4

B.数据x1，x2，…，x6，y1，y2，…，y6的平均数为17

C.数据x1，x2，…，x6，10的平均数为10，方差大于1

D.若数据x1，11.一个圆柱表面积为S，体积为V，则下列四组数对中，可作为数对(S,V)的有(

)A.(6,1) B.(5,1) C.(5π,π) D.(4π,π)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x2+x+y)5的展开式中，x13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c=2a=2，sinA+bsinB=2sinC−bsinA，则sinA=______．14.已知[x]表示不超过x的最大的整数，如[π]=3，[−1.3]=−2，若方程x2−x−1=0的正实数根为m，则[m12四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E为PD的中点．

(1)证明：CD//平面PAB；

(2)求二面角E−AC−P的余弦值．16.(本小题12分)

某地区为了检测某种农业有机肥料的效果，农业专家播撒肥料到200块试验田中，一段时间后测量土地的某项肥力指标，按[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组，绘制成如下频率分布直方图.试验后发现，产生土地肥力的为160块，其中该项指标不小于60的有110块.假设各块试验田播撒肥料后是否产生肥力相互独立．

(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及α=0.01的独立性检验，判断能否认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关；指标值合计小于60不小于60产生肥力未产生肥力合计(2)为了检验有机肥第二次播撒的有效性，对第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行第二次播撒，结果又有20块试验田产生肥力.用频率估计概率，求一块试验田播撒2次有机肥产生肥力的概率P．

参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中α0.1000.0500.0100.005x2.7063.8416.6357.87917.(本小题12分)

已知函数f(x)=lnx−x+1x−1．

(1)求值：f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(2023)+f(12023)；

(2)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论：

(3)18.(本小题12分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为23，且经过点(2,53)．

(1)求E的方程；

(2)过F1且不垂直于坐标轴的直线l交E于A，B19.(本小题12分)

对任意的非空数集A，定义：Ω(A)={π(X)|X⊆A,X≠⌀}，其中π(X)表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果X={x}，规定π(X)=x．

(1)若A1={12,1,4}，A2={2,3,5}，请直接写出集合Ω(A1)和Ω(A2)中元素的个数；

(2)若A={a1,a2,a参考答案1.A

2.A

3.C

4.D

5.A

6.D

7.B

8.C

9.BD

10.AB

11.ACD

12.30

13.314.321

15.证明见解答；

5316.解：(1)由频率分布直方图可知，在[0,20)指标范围内的有0.00250×20×200=10块，在[20,40)指标范围内的有0.00625×20×200=25块，在[40,60)指标范围内的有0.00875×20×200=35块，在[60,80)指标范围内的有0.025×20×200=100块，在[80,100)指标范围内的有0.00750×20×200=30块，

所以指标值小于60的有10+25+35=70块，不小于60的有200−70=130块，

补全2×2列联表如下：指标值合计小于60不小于60产生肥力50110160未产生肥力202040合计70130200零假设H0：播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60无关，

则χ2=200×(50×20−20×110)270×130×160×40≈4.945>3.841，

依据小概率α=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即能认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不超过0.01；

(2)200块试验田中，第一次未产生肥力的有40块，第二次又有20块产生肥力，

所以播撒2次有机肥后产生肥力的有17.解：(1)由解析式可得f(x)定义域为x∈(0,1)∪(1,+∞)，

f(x)+f(1x)=lnx−x+1x−1+ln1x−1x+11x−1=lnx−x+1x−1−lnx−1+x1−x=0，

∴f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+⋯+f(2023)+f(12023)=0×2022=0；

(2)函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，记为区间D，f(x)=lnx−1−2x−1在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，

证明如下：设∀x1，x2∈D，

则f(x1)−f(x2)=(lnx1−1−2x1−1)−(lnx2−1−2x2−1)=lnx1x2+2(x1−x2)(x1−1)(x2−1)，

①当0<x1<x2<1时，0<x1x2<1，

∴lnx1x2<0，2(x1−x2)(x1−1)(x2−1)<0，

∴f(x1)−f(x218.解：(1)因为e2=c2a2=a2−b2a2=49，所以5a2=9b2，

因为点(2,53)在椭圆上，所以4a2+259b2=1．

即4a2+255a2=1，解得a2=9，所以b2=5，

所以椭圆E的方程为x29+y25=1．

(2)由(1)得F1(−2,0)，依题意设l：x=my−2(m≠0)，

由x29+y25=1,x=my−2消去x，得(5m219.解：(1)∵Ω(A1)={12,1,2,4}，Ω(A2)={2,3,5,6,10,15,30}，

∴Ω(A1)中有4个元素，Ω(A2)中有7个元素．

(2)最大值即：集合A的非空子集有25−1=31个，因此Ω(A)中最多有31个元素．

可能的构造如下：A={2,3,57,11}，

则集合A中人员两个不同子集元素的乘积不同．

最小值：如A={1,2,4,8,16}，则Ω(A)最少有11个元素．

即集合A中的元素成等比数列即可．

(3)Ω(A)中最少有13个元素．如A={18,14,12,1,2,4,8}，

Ω(A)={164,132,116,18,14,12,1,2,4,8,16,32,64}.

证