安徽省安庆市2025届高三下学期模拟考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽省安庆市2025届高三下学期模拟考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2i2−i(i为虚数单位)，则|z|=A.5 B.255 C.2.已知集合A={x|0<x<a+1}，B={x|x2−3x+2<0}，若B⊆A，则实数aA.(−∞,0] B.(−∞,2] C.[1,+∞) D.(1,+∞)3.若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于原点成中心对称，则A.π8 B.π4 C.3π84.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2a5=2a4A.33 B.31 C.17 D.155.已知平面向量a，b，b=(−1,−1)，则“a⋅b=−1”是“a在b方向上的投影向量为A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.函数f(x)=a⋅2−|x|+b的图象经过原点，且无限接近直线y=2A.函数f(x)不具有奇偶性 B.a=2

C.函数f(x)的值域为(−∞,2) D.函数f(x)的单调递增区间为[0,+∞)7.设事件A，B为两个随机事件，P(A)≠0，P(B)≠0，且P(A|B)=P(B|A)，则A.P(B|A)=P(B|A) B.P(B|A)=P(A|B)8.已知曲线C：y2−x3=1，直线l：y=kx+1，若lA.k=−39 B.k=−3 C.k=3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某市为了了解一季度居民的用水情况，随机抽取了若干居民用户的水费支出(单位：元)进行调查，将所得样本数据分为4组：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，整理得频率分布直方图如图所示，则A.样本中水费支出位于区间[50,60]的频率为0.03

B.按分层抽样，从水费支出位于区间[20,30)和[50,60]的用户中共抽取16户，则应从水费支出在[20,30)的用户中抽4户

C.水费支出的中位数的估计值为45

D.若从该市全体居民用户中随机抽取5户，以事件发生的频率作为概率，则水费支出位于区间[30,50)的用户数的估计值为310.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，BBA.存在点P，使得PB1⊥BC1

B.直线PB1与平面BB1C1C所成的最大角为45°

C.若P，A，B1，11.若实数x1，x2满足ex1=2−A.0<x1<12 B.x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆C1：x2+y2+4x−4y−1=0与圆C2：x2+13.数列{an}满足a1=1，an+1=14.将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入下图3×3方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的概率为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)Deepseek席卷全球引发了AI浪潮．某中学为丰富学生个性化学习生活，组织成立Deepseek应用学生社团组织，成立数据运用、模型设计、场景分析、迁移学习等四个学生社团并计划招募成员．由于报名人数超过计划数，将采用随机抽取的方法确定最终成员．下表记录了四个社团的招募计划人数及报名人数．社团计划人数报名人数数据运用50100模型设计60m场景分析n160迁移学习160200甲同学报名参加这四个学生社团，记ξ为甲同学最终被招募的社团个数，已知P(ξ=0)=140，(1)求甲同学至多获得三个社团招募的概率；(2)求甲同学最终被招募的社团个数的期望．16.(本小题15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB−asinA=asin(1)证明：B=2A；(2)若角C为锐角，且a=1，△ABC的面积为b24，求边长b17.(本小题15分)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E为AD中点，F在CD边上，且CF=2DF，将△DEF沿EF翻折至△PEF，得到五棱锥P−ABCFE，M为PB中点．(1)求证：EM//平面PCF；(2)若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线AM与平面PCF所成角的正弦值．18.(本小题17分)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点F也是椭圆x2p+y23=1(1)求抛物线C的方程；(2)求证：抛物线C在A，B两点处的切线互相垂直；(3)设M为线段AB的中点，以线段AM为直径的圆交抛物线C在A处的切线于点P，试判断|AB|⋅|AF||AP|19.(本小题17分)定义在同一数集I上的函数f1(x)，f2(x)，……，fn(x)……，按一定顺序排成一列，称为数集I上的函数列，记为{f(1)若{fn(x)}满足fn(x)=1n(2)定义在(0,+∞)上的函数列{fn(x)}满足xf′n①若x0∈(0,1)，设Sn(x0)=②若x∈(0,+∞)，证明：fn(x)−f参考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.C

6.D

7.B

8.A

9.BD

10.AC

11.ABD

12.9

13.6

14.17015.解：(1)由于事件“甲同学至多获得三个社团招募”与事件“ξ=4”是对立的，

∴甲同学至多获得三个社团招募的概率是1−Pξ=4=1−110=910．

(2)设甲同学被数据运用、模型设计、场景分析、迁移学习招募依次记作事件A，B，C，D．

由题意可知，P(ξ=0)=P(A B C D)=(1−50100)×(1−60m)×(1−n160)×(1−160200)=140；

ξ01234P173131E(ξ)=0×14016.(1)由正弦定理得，sin2B−sin2A=sinAsinC

因为sin(B+A)⋅sin(B−A)=(sinBcosA)2−(cosBsinA)2=sin2B−sin2A，

故sin(B+A)⋅sin(B−A)=sinA⋅sinC，

于是sin(B−A)=sinA>0．

又A，B∈(0,π)，故0<B−A<π，所以B−A=A或B−A=π(舍去)，

所以B=2A．

(2)由S=17.解：(1)取BC中点Q，连接EQ，MQ，

因为在矩形ABCD中，AE/​/BC，AE=12BC，

所以AE//BQ且AE=BQ，

所以四边形ABQE为平行四边形，所以EQ//AB，又FC/​/AB，所以EQ//FC，

因为EQ⊄平面PCF，FC⊂平面PCF，

所以EQ//平面PCF，

在△PBC中，M，Q分别为PB，BC的中点，所以MQ//PC，

因为MQ⊄平面PFC，PC⊂平面PCF，

所以MQ/​/平面PCF，

因为EQ∩MQ=Q，EQ⊂平面EMQ，MQ⊂平面EMQ，

所以平面EMQ//平面PCF，

因为EM⊂平面EMQ，

所以EM/​/平面PCF;

(2)取EF中点O，连接OP，如图所示，

因为在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，CF=2DF，

所以在RtΔPEF中，PE=PF=2，PO⊥EF，且PO=2，

因为平面PEF⊥平面ABCFE，且平面PEF∩平面ABCFE=EF，PO⊂平面平面PEF

所以PO⊥平面ABCFE，

以O为坐标原点，OP所在直线为z轴，并过O点分别作与BC平行的直线为x轴，与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得：

P(0,0,2)，A(3,−1,0)，B(3,5,0)，C(−1,5,0)，F(−1,1,0)，M(32,52,22)，

所以PF=(−1,1,−2)，CF=(0,−4,0)，

设平面PCF的法向量为n=(x,y,z)，

有−x+y−2z=0−4y=0，所以x=−18.解：(1)由题知(p2)2=3−p，解得：p=2，所以抛物线C的方程为x2=4y．

(2)设直线AB的方程为y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由y=kx+1x2=4y⇒x2−4kx−4=0，则x1x2=−4，

对y=14x2求导得y′=12x，设抛物线C在A，B两点处的切线斜率分别为k1，k2，

则k1k2=12x1×19.解：(1)由fn′(x)=xn−1，得fn′(2)=2n−1，显然f′n+1(2)fn(2)=2，又f1′(2)=1，

故{fn′(2)}为首项为1，公比为2的等比数列．