2025届高考物理二轮复习第二部分思想方法2估算与近似计算练习含解析

PAGE8-思想方法2估算与近似计算[方法概述]物理估算题，一般是指依据肯定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对所求物理量的数量级或物理量的取值范围，进行大致的、合理的推算。物理估算是一种重要的方法，有的物理问题，在符合精确度的前提下可以用近似的方法便捷处理；有的物理问题，由于本身条件的特别性，不须要也不行能进行精确计算。在这些状况下，估算就很好用。其特点是在“理”不在“数”，它要求考生在分析和解决问题时，要擅长抓住问题的本质特征和影响结果的主要因素，忽视次要因素，从而使问题简捷地解决，快速获得合理的结果。(1)估算时常常用到的近似数学关系：①角度θ很小时，弦长近似等于弧长。②θ很小时，sinθ≈θ，tanθ≈θ，cosθ≈1。③a≫b时，a＋b≈a，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≈eq\f(1,b)。(2)估算时常常用到的一些物理常识数据：解题所需数据，通常可从日常生活、生产实际、熟知的基本常数、常用关系等方面获得，如成人体重约600N，汽车速度约10～20m/s，重力加速度约为10m/s2……[典型例题]典例1(2024·江苏七市二模)引体向上是中学生体育测试的项目之一，引体向上运动的吉尼斯世界纪录是53次/分钟。若一个一般中学生在30秒内完成12次引体向上，该学生此过程中克服重力做功的平均功率最接近于()A．5WB．20WC．100WD．400W解析学生体重约为50kg，每次引体向上上升的高度约为0.5m，引体向上一次克服重力做功为W＝mgh＝50×10×0.5J＝250J，全过程克服重力做功的平均功率为eq\x\to(P)＝eq\f(nW,t)＝eq\f(12×250J,30s)＝100W，故C正确，A、B、D错误。答案C名师点评本题考查重力做功与功率，但难点是考查学生的估算实力和生活常识，中学生的体重大约为50kg，引体向上每次上升的高度大约为0.5m。典例2(2024·北京高三期末)杭州市正将主干道上的部分高压钠灯换成LED灯，已知高压钠灯功率为400W，LED灯功率为180W，若更换4000盏，则一个月可节约的电能约为()A．9×103kW·hB．3×105kW·hC．6×105kW·hD．1×1012kW·h解析依据生活常识可知路灯每天工作约10h，则一个月可节约的电能最接近W＝Pt＝(0.4kW－0.18kW)×4000×10h×30≈3×105kW·h，故B正确，A、C、D错误。答案B名师点评本题主要考查功与功率的关系以及同学们的估算实力和生活常识，一天24小时开灯时间约为10小时，一个月大约30天，选项中数值相差很大，只需估算即可。典例3已知地球中心到月球的距离约为地球半径的60倍，试估算地球的平均密度(取一位有效数字，G＝6.7×10－11N·m2/kg2)。解析设r为月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径，R为地球半径，则r＝60R，T为月球绕地球做匀速圆周运动的周期，约为28天，即T＝28×24×3600s＝2.4×106s。又因万有引力供应向心力：eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r把r＝60R代入上式并整理得eq\f(M,R3)＝eq\f(4π2×603,GT2)，故地球平均密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π×603,GT2)＝eq\f(3×3.14×603,6.7×10－11×2.4×1062)kg/m3≈5×103kg/m3。答案5×103kg/m3名师点评(1)利用月、地距离，联想到月球绕地球运行可近似地看做匀速圆周运动这一物理情景，提出问题的物理过程和实质。(2)选定适用的物理规律：向心力＝万有引力，即eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)。(3)明确向心力、万有引力概念，引入常识性的物理量及挖掘出隐含的数据。典例4某种油的密度ρ＝0.8×103kg/m3，把一滴体积为1.2×10－3mL的这种油滴在水面上，可以形成最大面积为2m2的油膜，阿伏加德罗常数NA＝6.0×1023mol－1。(1)把分子看成球形估算它的直径；(2)估算这种油的摩尔质量(保留一位有效数字)。解析(1)由于形成的油膜最大面积为S＝2m2，油膜厚度可以认为就等于一个分子的直径d，由d＝eq\f(V,S)，得油分子的直径d＝eq\f(1.2×10－9,2)m＝6×10－10m。(2)上问中虽然把油分子看成球形，但每个油分子的占有空间是以d为棱的立方体，每个油分子占有体积为d3，油的摩尔体积V摩＝NAd3，依据ρ＝eq\f(m,V)，得油的摩尔质量M＝ρV摩＝ρNAd3＝0.8×103×6.0×1023×(6×10－10)3kg/mol≈0.1kg/mol。答案(1)6×10－10m(2)0.1kg/mol名师点评对于微观量的估算应留意的几点：(1)理解微观量和宏观量之间的关系。在微观量的估算中，物质的量往往是所求问题的关键。阿伏加德罗常数和物质的量是联系微观量和宏观量的关键量。(2)记住重要的物理常数，例如NA＝6.02×1023mol－1,1mol任何志向气体在标准状态下的体积都约为22.4L等。(3)驾驭下列公式：①分子质量m分子＝eq\f(M摩,NA)；②分子的摩尔体积V摩＝eq\f(M摩,ρ)；③一个(固体或液体)分子的体积V分子＝eq\f(V摩,NA)＝eq\f(M摩,ρNA)。典例5如图所示，U＝1.5V，R1＝1kΩ，R2＝10Ω，R3＝5kΩ，RA＝20Ω，试估算电流表的读数。解析由于(R3＋RA)≫R2，所以并联部分电阻的阻值约为R2，则并联部分电压为U并＝eq\f(R2,R1＋R2)U≈eq\f(R2,R1)U＝1.5×10－2V，又由于R3≫RA，所以IA≈eq\f(U并,R3)＝eq\f(1.5×10－2,5×103)A＝3×10－6A。答案3×10－6A名师点评利用一些数学近似公式进行估算，可大大地简化其计算过程，提高解题速度。在平常学习过程中要熟识一些常用的近似计算公式，并且在解题中能做些应用和训练，可提高应用数学公式解决物理问题的实力。在物理估算中，常用的一些数学近似公式如下：当θ很小时，sinθ≈tanθ≈θ，cosθ≈1；T＝2πeq\r(\f(L,g))中π≈eq\r(g)；当a≫b时，a＋b≈a，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≈eq\f(1,b)；当a≈b时，eq\r(ab)≈eq\f(a＋b,2)。借用上述公式进行物理估算，常常会收到意想不到的效果。配套作业1．在雷雨云下沿竖直方向的电场强度约为104V/m。已知一半径为1mm的雨滴在此电场中不会下落，取重力加速度大小为10m/s2，水的密度为103kg/m3。则雨滴携带的电荷量的最小值约为()A．2×10－9CB．4×10－9CC．6×10－9CD．8×10－9C答案B解析雨滴受力平衡时，电场力和重力大小相等，此时电场力最小，则雨滴带电荷量最小，有mg＝Eq，而m＝ρV＝eq\f(4πr3,3)·ρ，联立两式得q＝eq\f(4πρgr3,3E)＝eq\f(4×3.1×103×10×1×10－33,3×104)C≈4×10－9C，故选B。2．(2024·山东高三高考模拟)2024年4月10日，包括中国在内，全球多地天文学家同步公布人类史上首张黑洞照片，照片中是室女座巨椭圆星系M87的黑洞照片，这是黑洞存在最干脆的视觉证据。黑洞的发觉是由全球200多位科学家，历时十年、从全球四大洲8个观测点共同合作完成的成果，这也表明当今世界合作才会共赢，单边主义只会越走越窄。黑洞是一个特别致密的天体，会形成强大的引力场，连光也无法逃脱。某黑洞中心天体的质量是太阳的50亿倍，太阳质量为2×1030kg，光在真空中的传播速度c＝3×108m/s，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2。已知天体的近地卫星的环绕速度为v，则在该天体表面放射卫星脱离该天体束缚的最小放射速度为eq\r(2)v。请估算该黑洞最大半径的数量级为()A．109mB．1010mC．1011mD．1013m答案D解析设该黑洞的可能半径为R，质量为M，近地卫星的质量为m，近地卫星的环绕速度为v，则eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)，v＝eq\r(\f(GM,R))，由题给条件可知，则eq\r(2)v>c，即eq\r(\f(2GM,R))＞c，即有R＜eq\f(2GM,c2)，所以该黑洞的最大半径：Rmax≈eq\f(2GM,c2)＝eq\f(2×6.67×10－11×50×108×2×1030,3×1082)m≈1.5×1013m，故D正确，A、B、C错误。3．在地球上空，一个质量为m的火箭，靠竖直向下喷出气体的反冲使火箭停在空中不动，从火箭中喷出气体的速度等于v，则火箭发动机的功率约为()A．0B．mgvC．mgeq\f(v,2)D．2mgv答案C解析设M为每秒喷出的气体质量，则每秒气体的动量改变为Mv，这就是火箭受到的反作用力，它必需与重力平衡，故Mv＝mg，M＝eq\f(mg,v)。气体每秒得到的动能为E＝eq\f(1,2)Mv2＝eq\f(1,2)mgv，所以火箭的功率为eq\f(1,2)mgv。此计算为近似值，因为它忽视了喷气后火箭质量的改变。4.(多选)如图所示，两等量异号的点电荷相距为2a。M与两点电荷共线，N位于两点电荷连线的中垂线上，两点电荷连线中点到M和N的距离都为L，且L≫a。略去(eq\f(a,L))n(n≥2)项的贡献，则两点电荷的合电场在M和N点的强度()A．大小之比为2，方向相反B．大小之比为1，方向相反C．大小均与a成正比，方向相反D．大小均与L的平方成反比，方向相互垂直答案AC解析两点电荷在M、N两点的合场强分别为EM＝eq\f(kq,L－a2)－eq\f(kq,L＋a2)＝kqeq\f(L＋a2－L－a2,L－a2L＋a2)≈eq\f(4kqa,L3)，EN＝eq\f(2kq,L2＋a2)·eq\f(a,\r(L2＋a2))≈eq\f(2kqa,L3)，所以eq\f(EM,EN)＝2，在M点的合场强方向由＋q确定，沿两点电荷连线从－q指向＋q；在N点的合场强方向由平行四边形定则知，平行于两点电荷连线从＋q指向－q。故A、C正确。5．如图所示，带电量分别为4q和－q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d。若杆上套一带电小环C，带电体A、B和C均可视为点电荷。(1)求小环C的平衡位置；(2)若小环C带电量为－q，将小环拉离平衡位置一小位移x(|x|≪d)后静止释放，试证明小环C将做简谐运动。(提示：当α≪1时，eq\f(1,1＋αn)≈1－nα)答案见解析解析(1)设C的电荷量为Q，位于AB连线的延长线上距离B为l处时达到平衡，由eq\f(4kqQ,d＋l2)＋eq\f(－kqQ,l2)＝0得l1＝d，l2＝－eq\f(1,3)d(舍去)即小环C的平衡位置在B的右方离开B为l＝d的地方。(2)当小环带电量为－q时，向右拉离平衡位置一小位移x后它所受到的合力为FC＝eq\f(－4kq2,2d＋x2)＋eq\f(kq2,d＋x2)＝eq\f(－4kq2,4d2(1＋\f(x,2d))2)＋eq\f(kq2,d2(1＋\f(x,d))2)利用近似关系eq\f(1,1＋αn)≈1－nα(α≪1)，上式可化简为FC＝eq\f(－kq2,d2)(1－eq\f(x,d))＋eq\f(kq2,d2)(1－eq\f(2x,d))＝－eq\f(kq2,d3)x说明小环受到的合力大小与位移x成正比，方向与其相反(即指向左方)，所以小环C将做简谐运动。6.如图所示，透亮的柱形元件的横截面是半径为R的eq\f(1,4)圆弧，圆心为O，以O为原点建立直角坐标系xOy。一束单色光平行于x轴射入该元件，入射点的坐标为(0，d)，单色光对此元件的折射率为n＝eq\f(2\r(3),3)。(1)当d多大时，该单色光在圆弧面上恰好发生全反射？(2)当d→0时，求该单色光照耀到x轴上的位置到圆心O的距离。(不考虑单色光经圆弧面反射后的状况；θ很小时，sinθ≈θ)答案(1)eq\f(\r(3)R,2)(2)(4＋2eq\r(3))R解析(1)如图a所示，当光射到圆弧面上的入