2025版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程教案文含解析新人教A版

PAGEPAGE1§9.3圆的方程最新考纲考情考向分析驾驭确定圆的几何要素，驾驭圆的标准方程与一般方程.以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)概念方法微思索1.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？提示eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))2.已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的什么条件？提示由题意可知，⊙C与y轴相切于原点时，圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，0))，而D可以大于0，所以“E＝F＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的充分不必要条件.3.如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)依据题意，选择标准方程或一般方程.(2)依据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组.(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.4.点与圆的位置关系有几种？如何推断？提示点和圆的位置关系有三种.已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一思索辨析1.推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(√)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)方程x2＋2ax＋y2＝0肯定表示圆.(×)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)(5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆.(×)题组二教材改编2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2答案D解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3.以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A.(x－3)2＋(y＋1)2＝1B.(x－3)2＋(y－1)2＝1C.(x＋3)2＋(y－1)2＝1D.(x＋3)2＋(y＋1)2＝1答案A4.圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________.答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即eq\r(a＋12＋1)＝eq\r(a－12＋9)，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝eq\r(2＋12＋1)＝eq\r(10)，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.题组三易错自纠5.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是()A.(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)B.(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)C.(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)D.(－∞，－2eq\r(3))∪(2eq\r(3)，＋∞)答案B解析将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋(y－1)2＝eq\f(m2,4)－2.由其表示圆可得eq\f(m2,4)－2>0，解得m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2).6.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A.－1<a<1 B.0<a<1C.a>1或a<－1 D.a＝±4答案A解析∵点(1,1)在圆内，∴(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－1<a<1.7.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A.(x－2)2＋(y－1)2＝1B.(x－2)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1D.(x－3)2＋(y－1)2＝1答案A∴eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍去).∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A.题型一圆的方程例1(1)已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,4)答案C解析方法一(待定系数法)依据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0).由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋12＝r2，,2－a2＝r2，,a2＋－12＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,4)，,r2＝\f(25,16)，))所以圆E的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16).方法二(待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,1－E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－\f(3,2)，,E＝0，,F＝－1，))所以圆E的一般方程为x2＋y2－eq\f(3,2)x－1＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16).方法三(几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－eq\f(1,2)＝2(x－1)上.又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0)).则圆E的半径为|EB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,4)))2＋0－02)＝eq\f(5,4)，所以圆E的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16).(2)已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为______________________________.答案x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0解析设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将P，Q两点的坐标分别代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10.②))又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，即(x1＋x2)2－4x1x2＝36，得D2－4F＝36，④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.思维升华(1)干脆法：干脆求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.跟踪训练1已知圆心在x轴上，半径为eq\r(5)的圆位于y轴右侧，且截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，则圆的方程为__________.答案(x－2eq\r(5))2＋y2＝5解析依据题意，设圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝5(a>0)，则圆心到直线x＋2y＝0的距离d＝eq\f(|a＋2×0|,\r(12＋22))＝eq\f(\r(5),5)a.又该圆截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，所以可得12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)a))2＝5，解得a＝2eq\r(5).故圆的方程为(x－2eq\r(5))2＋y2＝5.题型二与圆有关的轨迹问题例2已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解(1)方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).方法二设A由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).思维升华求与圆有关的轨迹问题时，依据题设条件的不同常采纳以下方法：①干脆法：干脆依据题目供应的条件列出方程.②定义法：依据圆、直线等定义列方程.③几何法：利用圆的几何性质列方程.④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满意的关系式.跟踪训练2设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.解如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，线段MN的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).因为平行四边形的对角线相互平分，所以eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2)，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y－4，))又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与轨迹相交于两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5))).题型三与圆有关的最值问题例3已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值.解设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即eq\f(|2＋－3－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq\r(2)－1或t＝－eq\r(2)－1.∴x＋y的最大值为eq\r(2)－1，最小值为－eq\r(2)－1.引申探究1.在本例的条件下，求eq\f(y,x)的最大值和最小值.解eq\f(y,x)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，eq\f(y,x)的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.解得k＝－2＋eq\f(2\r(3),3)或k＝－2－eq\f(2\r(3),3)，∴eq\f(y,x)的最大值为－2＋eq\f(2\r(3),3)，最小值为－2－eq\f(2\r(3),3).2.在本例的条件下，求eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值.解eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq\r(x＋12＋y－22)，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1,2)的距离为eq\r(34)，∴eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值为eq\r(34)＋1，最小值为eq\r(34)－1.思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般依据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题跟踪训练3已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上随意一点，且点Q(－2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值.解(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2eq\r(2).又|QC|＝eq\r(2＋22＋7－32)＝4eq\r(2)，∴|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2)，|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).(2)可知eq\f(y－3,x＋2)表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直线MQ与圆C有交点，∴eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2)，可得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，∴eq\f(y－3,x＋2)的最大值为2＋eq\r(3)，最小值为2－eq\r(3).(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，∴eq\f(|2－7＋b|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2)，∴b＝9或b＝1.∴y－x的最大值为9，最小值为1.1.若a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，\f(3,4)))，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2<a<eq\f(2,3).又a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，\f(3,4)))，∴仅当a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，故选B.2.已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A.x2＋y2＝2 B.x2＋y2＝eq\r(2)C.x2＋y2＝1 D.x2＋y2＝4答案A解析AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝eq\r([1－－1]2＋－1－12)＝2eq\r(2)，∴圆的方程为x2＋y2＝2.3.以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0,2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为()A.(x－1)2＋(y－1)2＝5B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝5C.(x－1)2＋y2＝5D.x2＋(y－1)2＝5答案A解析由题意得，点(a,1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径r.∴eq\f(|2a－1＋4|,\r(22＋－12))＝eq\f(|2a－1－6|,\r(22＋－12))，解得a＝1.∴r＝eq\f(|2×1－1＋4|,\r(22＋－12))＝eq\r(5)，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.4.(2024·锦州调研)圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()A.x2＋y2＋10y＝0 B.x2＋y2－10y＝0C.x2＋y2＋10x＝0 D.x2＋y2－10x＝0答案B解析依据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.5.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A.(x＋2)2＋(y－2)2＝4B.(x－2)2＋(y＋2)2＝4C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝4D.(x－2)2＋(y－2)2＝4答案B解析依据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1,1)，半径为2，若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－1,a＋1)＝－1，,\f(a－1,2)－\f(b＋1,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，))则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.6.圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()A.1＋eq\r(2) B.2C.1＋eq\f(\r(2),2) D.2＋2eq\r(2)答案A解析将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋1＝eq\r(2)＋1，故选A.7.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________.答案(－2，－4)5解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满意表示圆的条件，故舍去.当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆.8.已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________.答案(0，－1)解析圆C的方程可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝－eq\f(3,4)k2＋1，所以当k＝0时，圆C的面积最大，此时圆心C的坐标为(0，－1).9.若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________.答案(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4)解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m).又因为圆与直线y＝1相切，所以eq\r(22＋m2)＝|1－m|，解得m＝－eq\f(3,2).所以圆C的方程为(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4).10.平面内动点P到两点A，B的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A(－2,0)，B(2,0)，λ＝eq\f(1,2)，则此阿波罗尼斯圆的方程为____________.答案x2＋y2＋eq\f(20,3)x＋4＝0解析由题意，设P(x，y)，则eq\f(\r(x＋22＋y2),\r(x－22＋y2))＝eq\f(1,2)，化简可得x2＋y2＋eq\f(20,3)x＋4＝0.11.已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值.解方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可变形为(x－3)2＋(y－3)2＝4，则圆C的半径为2.(1)(转化为斜率的最值问题求解)eq\f(y,x)表示圆上的点P与原点连线的斜率，明显当PO(O为原点)与圆C相切时，斜率最大或最小，如图所示.设切线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于圆C的半径，可得eq\f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(9±2\r(14),5).所以eq\f(y,x)的最大值为eq\f(9＋2\r(14),5)，最小值为eq\f(9－2\r(14),5).(2)(转化为截距的最值问题求解)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，明显当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示.由圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，可得eq\f(|3＋3－b|,\r(12＋12))＝2，即|b－6|＝2eq\r(2)，解得b＝6±2eq\r(2)，所以x＋y的最大值为6＋2eq\r(2)，最小值为6－2eq\r(2).12.在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为2eq\r(2)，在y轴上截得的线段长为2eq\r(3).(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为eq\f(\r(2),2)，求圆P的方程.解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r，则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P点的坐标为(x0，y0)，则eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即|x0－y0|＝1.∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.①当y0＝x0＋1时，由yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1，得(x0＋1)2－xeq\o\al(2,0)＝1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1，))∴r2＝3.∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.②当y0＝x0－1时，由yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1，得(x0－1)2－xeq\o\al(2,0)＝1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝－1，))∴r2＝3.∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.13.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.答案74解析设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋2.xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)为圆上任一点到原点距离的平方，∴(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.14.已知动点P(x，y)满意x2＋y2－2|x|－2|y|＝0，O为坐标原点，则eq\r(x2＋y2)的最大值为________.答案2eq\r(2)解析eq\r(x2＋y2)表示曲线上的随意一点(x，y)到原点的距离.当x≥0，y≥0时，x2＋y2－2x－2y＝0化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×eq\r(2)＝2eq\r(2)，当x<0，y<0时，x2＋y2＋2x＋2y＝0化为eq\