《备考指南 理科数学》课件-第8章 第5讲

第八章第5讲[A级基础达标]1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是()A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β【答案】C【解析】对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b.故选C．2．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P－ABC各个面中直角三角形的个数为()A．4 B．3C．2 D．1【答案】A【解析】由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC．又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB．所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形．故四面体P－ABC中共有4个直角三角形．3．(2018年嘉峪关模拟)如图，A－BCDE是一个四棱锥，AB⊥平面BCDE，且四边形BCDE为矩形，则图中互相垂直的平面共有()A．4组 B．5组C．6组 D．7组【答案】C【解析】因为AB⊥平面BCDE，所以平面ABC⊥平面BCDE，平面ABD⊥平面BCDE，平面ABE⊥平面BCDE.又因为四边形BCDE为矩形，所以BC⊥平面ABE，则平面ABC⊥平面ABE.同理可得平面ACD⊥平面ABC，平面ADE⊥平面ABE.故图中互相垂直的平面共有6组．故选C．4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【答案】C【解析】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．5．如图所示，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体P－ABC中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.又DF∥BC，则DF⊥平面PAE.又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．因DF⊥平面PAE，DF⊂平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC．因平面PAE∩平面PDE＝PE，且PE与平面ABC不垂直，所以平面PDE与平面ABC不垂直．故D错误．6．(2018年吉首校级模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是()A．MD⊥MB B．MD⊥PCC．AB⊥AD D．M是棱PC的中点【答案】B【解析】在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面是菱形，所以BD⊥PA，BD⊥AC．因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC．所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD．而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．故选B．7．如图所示，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．【答案】AB，BC，ACAB【解析】因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC．因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC．又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB．8．如图所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积．【解析】(1)证明：由已知得△ABC≌△DBC，所以AC＝DC．又G为AD中点，所以CG⊥AD．同理BG⊥AD．而CG∩BG＝G，所以AD⊥平面BGC．又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.(2)在平面ABC内作AO⊥CB交CB延长线于O.由平面ABC⊥平面BCD知AO⊥平面BDC．又G为AD中点，所以G到平面BDC的距离h是AO长度的一半．在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝eq\r(3)，所以VD－BCG＝VG－BCD＝eq\f(1,3)·S△DBC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)BD·BC·sin120°·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).[B级能力提升]9．设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【答案】B【解析】A的逆命题为：当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β.由线面垂直的性质知c⊥β，故A正确；B的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c.由三垂线逆定理知b⊥c，故C正确；D的逆命题为：当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α.由线面平行判定定理可得c∥α，故D正确．10．(2018年大庆模拟)如图甲所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么在四面体A－EFH中必有()A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面【答案】A【解析】根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，所以AH⊥平面EFH，A正确；因为过A只有一条直线与平面EFH垂直，所以B不正确；因为AG⊥EF，EF⊥AH，所以EF⊥平面HAG，所以平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，所以C不正确；因为HG不垂直于AG，所以HG与平面AEF不垂直，D不正确．故选A．11．(2018年天津模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在()A．直线AC上 B．直线AB上C．直线BC上 D．△ABC内部【答案】B【解析】如图，因为∠BAC＝90°，所以AC⊥AB．又因为BC1⊥AC，而BC1，AB为平面ABC1内的两条相交直线，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1.又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内过点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．故选B．12．(2018年梅河口模拟)在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，AD＝1，E为棱BC上一点，且平面ADE⊥平面BCD，则DE＝________.【答案】eq\f(13,5)【解析】如图所示，过点A作AF⊥DE，因为平面ADE⊥平面BCD，所以AF⊥平面BCD，所以AF⊥BC．因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC．又AF∩AD＝A，所以BC⊥平面ADE.所以BC⊥AE.因为AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，所以AE＝eq\f(4×3,\r(32＋42))＝eq\f(12,5).因为DA⊥平面ABC，所以AD⊥AE.所以DE＝eq\r(AD2＋AE2)＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))2)＝eq\f(13,5).13．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．【答案】①④【解析】由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以AE⊥PB，①正确；因为平面PAD⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD，所以直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，所以∠PDA＝45°，所以④正确．14．(2018年南昌模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AC，AB⊥BC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝2eq\r(2)，D为线段AC的中点，将△CBD沿BD折叠至△EBD，使得平面EDB⊥平面ABC且PC交平面EBD于点F.(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；(2)求三棱锥P－EBC的体积．【解析】(1)证明：因为PA⊥AC，PA＝2，AC＝2eq\r(2)，所以PC＝2eq\r(3).又因为PB＝2eq\r(2)，BC＝2，所以PB2＋BC2＝PC2，则BC⊥PB．又因为AB⊥BC，AB∩PB＝B，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥PA．又PA⊥AC，AC∩BC＝C，所以PA⊥平面ABC．又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD．在Rt△ABC中，由BC＝2，AC＝2eq\r(2)，可得AB＝2.又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC．而PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，则平面BDE⊥平面PAC．(2)因为平面EDB⊥平面ABC，平面EDB∩平面ABC＝BD，ED⊥BD，所以ED⊥平面ABC．又PA⊥平面ABC，所以PA∥DE.所以点E在平面PAC内．所以VP－EBC＝VE－PBC＝VB－APEC－VP－ABC．因为SAPEC＝SAPED＋SEDC＝eq\f(1,2)(eq\r(2)＋2)×eq\r(2)＋eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)