《备考指南 理科数学》课件-第8章 第3讲

第八章第3讲[A级基础达标]1．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则()A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A【解析】直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件．故选A．2．(2018年西安二模)下列命题正确的是()①三点确定一个平面；②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面．A．①③ B．①④C．②④ D．②③【答案】C【解析】在①中，不共线的三点确定一个平面，故①错误；在②中，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故②正确；在③中，如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线与另一个平面相交、平行或在另一个平面内，故③错误；在④中，如果两个平面平行，那么由面面平行的性质得其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，故④正确．故选C．3．(2018年钦州三模)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是()A．A1C1与B1C成60°角 B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角 D．A1C1⊥AD【答案】A【解析】如图，因为AC∥A1C1，所以∠ACB1即为A1C1与B1C所成的角，在正△AB1C中易得，∠ACB1＝60°，故A正确；选项B，由正方体的性质易得D1C1∥AB，故错误；选项C，可得DC∥D1C1，∠AC1D1即为AC1与DC所成的角，在Rt△AC1D1中，∠C1D1A＝90°，AD1≠D1C1，故AC1与DC不可能成45°角，故错误；选项D，易得∠D1A1C1为A1C1与AD所成的角，在等腰直角三角形D1A1C1中易得∠D1A1C1＝45°，故A1C1与AD不可能垂直，故错误．故选A．4．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c【答案】C【解析】若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C．5．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面【答案】A【解析】连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面．所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,7)【答案】B【解析】连接DF，则AE∥DF，所以∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a，则D1D＝a，DF＝D1F＝eq\f(\r(5),2)a，所以cos∠D1FD＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2－a2,2·\f(\r(5),2)a·\f(\r(5),2)a)＝eq\f(3,5).7．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________．【答案】平行或异面【解析】空间中两条直线的位置关系有三种：相交，有且只有一个公共点；平行，没有公共点；异面，没有公共点．由此可知，如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是平行或异面．8．(2018年渭南二模)已知m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)【答案】②③【解析】在①中，若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n相交、平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则由线面垂直的性质得m⊥n，故②正确；在③中，若m⊥α，n∥β且α∥β，则由线面垂直的性质得m⊥n，故③正确；在④中，若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故④错误．故答案为②③.9．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱锥P－ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．【解析】(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱锥P－ABC的体积为V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq\f(3,4).[B级能力提升]10．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形，④不正确．11．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定【答案】D【解析】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA．若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C．若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．因此l1与l4的位置关系不能确定．12．(2018年永州三模)三棱锥A－BCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2,3)【答案】D【解析】取DN中点O，连接MO，BO，因为三棱锥A－BCD的所有棱长都相等，M，N别是棱AD，BC的中点，所以MO∥AN，所以∠BMO是异面直线BM与AN所成角(或其补角)．设三棱锥A－BCD的所有棱长为2，则AN＝BM＝DN＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，MO＝eq\f(1,2)AN＝eq\f(\r(3),2)＝NO＝eq\f(1,2)DN，BO＝eq\r(BN2＋NO2)＝eq\f(\r(7),2)，所以cos∠BMO＝eq\f(BM2＋MO2－BO2,2BM·OM)＝eq\f(3＋\f(3,4)－\f(7,4),2×\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\f(2,3).所以异面直线BM与AN所成角的余弦值为eq\f(2,3).故选D．13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长的最小值为________．【答案】1【解析】由PQ∥平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知点Q在A1D1，B1C1中点的连线MN上，故PQ的最小值为PM＝eq\f(1,2)AA1＝1.14．如图所示，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________________________________________________________________________．【答案】eq\f(\r(3),6)【解析】取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HF綊eq\f(1,2)AD．所以∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．在△GHF中，可求得HF＝eq\r(2)，GF＝GH＝eq\r(6)，所以cos∠HFG＝eq\f(2＋6－6,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),6).15．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．【解析】(1)如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC，所以C1C⊥底面ABC，所以C1C⊥AC．又因为EC＝2FB＝2，所以OM∥EC∥FB且OM＝eq\f(1,2)EC＝FB．所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF