《备考指南 理科数学》课件-第13章 第4讲

选考部分第十三章第4讲不等式的证明栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断1a>b

1

2．综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过__________而得出命题成立．综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__________，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立．这是一种__________的思考和证明方法．推理论证充分条件执果索因3．反证法先假设要证的命题__________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的________，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明假设______，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．4．放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地______或______，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．不成立推理相反不正确放大缩小5．数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤：(1)证明当________时命题成立；(2)假设当________(k∈N*且k≥n0)时命题成立，证明________时命题也成立．综合(1)(2)可知，结论对于任意n≥n0且n0，n∈N*都成立．6．柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．n＝n0

n＝k

n＝k＋1

1．若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则m与n的大小关系为_______________．【答案】n≥m

比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论．其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号．个别题目也可用柯西不等式来证明．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”．(

)(2)若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(

)【答案】(1)×

(2)√课堂考点突破2用分析法证明不等式【规律方法】当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．用综合法证明不等式【证明】(1)(ax＋by)2－(ax2＋by2)＝a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy.因为a＋b＝1，所以a－1＝－b，b－1＝－a.又a，b均为正数，所以a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy＝－ab(x2＋y2－2xy)＝－ab(x－y)2≤0，当且仅当x＝y时等号成立．所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.【规律方法】(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间的关系，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．柯西不等式的应用课后感悟提升31个关系——综合法与分析法的内在联系综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程．3个依据——放缩法证明不等式的理论依据主要有(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．注意：放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出．1．(2017年新课标Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.求证：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.【证明】(1)因为(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2＋b2)2≥4，所以(a＋b)(a5＋b5)≥4.2．(2017年江苏)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，求证：ac＋bd≤8.【证明】由柯西不等式得(ac＋b