《备考指南 理科数学》课件-第6章 第2讲

数列第六章第2讲等差数列及其前n项和【考纲导学】1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．等差数列的概念(1)如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________．公差通常用字母d表示．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝________.2

同一个常数公差a1＋(n－1)d

(n－m)d

3．等差数列的有关性质已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和．(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq.(2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是______数列；当d＜0时，{an}是________数列；当d＝0时，{an}是________．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．递增递减常数列md

大小1．设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于(

)A．14 B．21C．28 D．35【答案】C2．(2018年宜昌模拟){an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若an＝2020，则n等于(

)A．671

B．672

C．673 D．674【答案】D3．(2018年北京模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a10＝4，则S13＝(

)A．13 B．14C．26 D．52【答案】C4．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．3．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(

)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(

)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(

)(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(

)×√√××

课堂考点突破2等差数列基本量的运算【答案】(1)A

(2)B

【规律方法】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【跟踪训练】1．(2018年榆林模拟)等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50.(1)求通项公式{an}；(2)求前n项和Sn，并求S3.等差数列的判定与证明【规律方法】等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．等差数列的性质及应用【答案】(1)A

(2)60

【答案】(1)B

(2)130

课后感悟提升31个技巧——利用等差数列的性质巧妙设项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．2个思想——方程思想和函数思想(1)等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.(2)等差数列{an}中，an＝an＋b(a，b为常数)，Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．4种方法——等差数列的判断方法(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法；(4)前n项和公式法．1．(2018年新课标Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(

)A．－12

B．－10

C．10

D．12【答案】B2．(2018年北京)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式