《备考指南 理科数学》课件-第8章 第6讲

立体几何第八章第6讲空间向量及其运算【考纲导学】1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．6．理解直线的方向向量与平面的法向量．7．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念①空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量．②相等向量：方向______且模______的向量．③共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相__________的向量．④共面向量：________________的向量．(2)空间向量中的有关定理①共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb.大小方向相同相等平行或重合平行于同一个平面②共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.③空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.2．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a1b1＋a2b2＋a3b3

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线平行，只需证明直线的方向向量共线即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(

)(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(

)(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(

)(4)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角．(

)√×××课堂考点突破2空间向量的线性运算共线定理、共面定理的应用空间向量数量积的应用如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．【跟踪训练】3．如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值．课后感悟提升31种意识——基底意识用向量解决立体几何问题应树立“基底”意识．2种方法——基向量法和坐标法用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解．3个注意点——利用向量解决立体几何问题应注意的问题(1)注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误；(2)注意向量夹角与两直线夹角的区别；(3)注意向量共线与两直线平行与重合的区别．1．(2014年广东)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成