《备考指南 理科数学》课件-第2章 第2讲

函数概念与基本初等函数第二章第2讲函数的单调性与最值【考纲导学】1．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．函数的单调性(1)单调函数的定义：f(x1)<f(x2)

f(x1)>f(x2)

上升下降(2)单调区间的定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是__________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做函数y＝f(x)的单调区间．增函数减函数区间D

2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的x∈I，都有_________；存在x0∈I，使得f(x0)＝M.对于任意的x∈I，都有__________；存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值f(x)≤M

f(x)≥M

1．(2018年巴彦淖尔模拟)下列函数中，定义域是R且为增函数的是(

)A．y＝3－x B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝|x|【答案】B【答案】D【答案】A4．函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是__________．【答案】(－∞，0)判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．(

)(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(

)(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)内是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)×

(6)×课堂考点突破2确定函数的单调性(区间)由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．【规律方法】(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．(3)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．确定函数的最值【答案】D

【规律方法】(1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法．(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．【答案】C

函数单调性的应用【考向分析】函数单调性结合函数图象以及函数其他性质的应用是近几年高考命题的热点．试题常以选择题、填空题的形式出现，考查比较函数值大小、求最值、解含“f

”符号的不等式等问题，试题难度中档．常见的命题方向：(1)比较大小；(2)解不等式；(3)求参数范围；(4)求函数的值域与最值．比较大小【答案】B

解不等式【答案】C

求参数范围求函数的值域与最值【规律方法】函数单调性应用问题的常见类型及解题策略：(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f

”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．课后感悟提升31个防范——函数单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接.2条结论——函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰(单谷)”函数一定存在最大值(最小值).4种方法——函数单调性的判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性.1．(2017年新课标Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(

)A．(－∞，－2)

B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)

D．(4，＋∞)【答案】D

【解析】由x2－2x－8＞0得x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)，令t＝x2－2x－8，则y＝lnt，x∈(－∞，－2)时，t＝x2－2x－8为减函数；x∈(4，＋∞)时，t＝x2－2x－8为增函数；y＝lnt为增函数，故函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．故选D．2．(2017年山东)若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域