《备考指南 理科数学》课件-第11章 第8讲

计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章第8讲二项分布与正态分布【考纲导学】1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布，能解决一些简单的实际问题；3．了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．条件概率(1)定义设A，B为两个事件且P(A)>0，称P(B|A)＝______为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．(2)性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝__________________.P(B|A)＋P(C|A)

P(A)P(B)

P(B)

P(A)

P(A)P(B)

3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在_______条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝_____________________.(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作_______________，并称p为__________．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率P(X＝k)＝__________________(k＝0,1,2，…，n)．相同P(A1)P(A2)…P(An)

成功概率X～B(n，p)

上方x＝μx＝μ1⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着________的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ______，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ______，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．μ越小越大甲乙(3)正态分布的定义及表示：如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝_______________，则称随机变量X服从正态分布，记作___________________．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝____________；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝__________；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝___________.X～N(μ，σ2)

0.68260.95440.9974【答案】B【答案】B3．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为(

)A．0.960

B．0.864

C．0.720

D．0.576【答案】B1．相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(

)(2)相互独立事件就是互斥事件．(

)(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(

)(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(6)×课堂考点突破2条件概率【跟踪训练】1．(2018年南宁模拟)袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次，则事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率为________．相互独立事件的概率

在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，“求X≥2”的事件概率．【规律方法】(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．独立重复试验与二项分布【规律方法】(1)已知二项分布，求二项分布列，可判断离散型随机变量是否服从二项分布，再由二项分布列公式求概率，列出分布列．(2)已知随机变量服从二项分布，求某种情况下概率，依据题设及互斥事件弄清该情况下所含的所有事项，再结合二项分布公式即可求解．正态分布

已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(

)(附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56%

B．13.59%C．27.18%

D．31.74%【答案】B【规律方法】(1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)．【跟踪训练】4．(2018年哈尔滨模拟)某校共有500名高三学生，在一次考试中全校高三学生的语文成绩X服从正态分布N(110，σ2)(σ＞0)，若P(100≤X≤110)＝0.3，则该校高三学生语文成绩在120分以上的人数大约为(

)A．70

B．80

C．90

D．100【答案】D课后感悟提升31个技巧——抓住关键词求解相互独立事件的概率在应用相互独立事件的概率公式时，要找准关键字句，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”“恰有一个发生”的情况，要结合对立事件的概率求解．1．(2015年新课标Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(

)A．0.648

B．0.432

C．0.36

D．0.312【答案】A【解析】记Ai＝{投中i次}，其中i＝1,2,3，B表示该同学通过测试，故P(B)＝P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)＝C×0.62×0.4＋C×0.63＝0.648.2．(2017年新课标Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在