《备考指南 理科数学》课件-第10章 第2讲

统计与统计案例第十章第2讲用样本估计总体【考纲导学】1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(平均数、标准差)，并给出合理解释．4．会用样本的频率分布估计总体的分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．频率分布直方图和茎叶图(1)作频率分布直方图的步骤：①求极差(即一组数据中________与________的差)；②决定______与______；③将数据______；④列______________；⑤画________________．最大值最小值组距组数分组频率分布表频率分布直方图(2)频率分布折线图和总体密度曲线：①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的______，就得到频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时______________增加，______减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．(3)茎叶图的优点：茎叶图的优点是可以______原始数据，而且可以______记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．中点所分的组数组距保留随时2．样本的数字特征最多最中间平均数相等1．(2018年合肥模拟)将小王6次数学考试成绩制成茎叶图如图所示，则这些数据的中位数是(

)A．81

B．83

C．84.5D．无中位数【答案】C【答案】D3．(2018年太原模拟)已知统计某校1000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实数a的值是(

)A．0.020

B．0.018

C．0.025

D．0.030【答案】A4．(2018年枣庄模拟)一组样本数据按从小到大的顺序排列为：－1,0,4，x，y,14，已知这组数据的平均数与中位数均为5，则其方差为________．1．在使用茎叶图时，一定要注意看清楚所有的样本数据，弄清楚这个图中的数字特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．2．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：①最高的矩形的中点即众数；②中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(

)(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．(

)(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(

)(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．(

)(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(

)(6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√

(6)×课堂考点突破2频率分布直方图

(2016年四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．【解析】(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5，解得a＝0.30.(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为30×0.12＝3.6(万)．(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，所以2≤x＜2.5.由0.50(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．【规律方法】(1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.(2)对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据．【跟踪训练】1．(2018年长沙模拟)某县扶贫办公室从一乡镇1000名贫困人口中，按照男女贫困者比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名贫困者，记录他们的年龄，将年龄分成6组：[30,40)，[40,50)，…，[80,90]，通过对年龄统计得到如下频率分布直方图：茎叶图及其应用

某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．【易错警示】在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．【跟踪训练】2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x＋y的值为________．【答案】13样本的数字特征【考向分析】样本的数字特征是每年高考的热点，且常与频率分布直方图、茎叶图等知识综合考查．常见的考向：(1)与频率分布直方图交汇命题；(2)与茎叶图交汇命题；(3)与优化决策问题交汇命题．(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？【解析】(1)由(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1，得x＝0.0075，所以直方图中x的值为0.0075.(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．【规律方法】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．课后感悟提升32个异同——众数、中位数和平均数的异同，标准差和方差的异同(1)众数、中位数和平均数的异同：众数中位数平均数相同点都是描述一组数据集中趋势的量不同点与这组数据中的部分数据有关，出现在这些数据中不一定在这些数据中出现．奇数个时，在这组数值中出现；偶数个时，为中间两数平均值不一定在这些数值中出现(2)标准差和方差的异同：相同点：标准差和方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．不同点：方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，标准差则不然．2个区别——直方图与条形图的区别不要把直方图错以为条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率；直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，这是密度．连续随机变量在某一点上是没有频率的．1．(2017年新课标Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(

)A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差．故选B．2．(2018年新课标Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是(

)A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.A项，种植收入37%×2a－60%a＝14%a＞0，故建设后种植收入增加，A项错误；B项，建设后其他收入为5%×2a＝10%a，建设前其他收入为4%a，所以10%a÷4%a＝2.5＞2，B项正确；C项，建设后养殖收入为30%×2a＝60%a，建设前养殖收入为30%a，所以60%a÷30%a＝2，C项正确；D项，建设后养殖收入与第三产业收入总和为(30%＋28%)×2a＝58%×2a，经济收入为2a，所以(58%×2a)÷2a＝58%＞50%，D项正确．故选A．3．(2018年江苏)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】904．(2018年新课标Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)频数13249265日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数151310165(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；(3)估计该家庭使用