理科数学-2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷）（答案+评分标准+评分细则）

2021年高三5月大联考（新课标HI卷）

理科数学-答案+评分标准+评分细则

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

123456789101112

CDCBBADCBBCA

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（--,1）14.1215.72116.®©

7

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（-）必考题：共60分。

17.：12分）

【解析】（1）因为数列｛。力是各项均为正数的等比数列，所以公比4>（）,（1分）

因为内%=的，所以6=64,所以勾=8,=2夜.（2分）

由题易知外％是公比为的等比数列，所以疯，卮,H是公比为9的等比数列.（3分）

因为g+血+阮=7&，所以2及（1+夕+；）=7及，

所以9+：='|，所以2/一5夕+2=0,所以d=2,%=3.（4分）

4rt4n

所以当4=2时，«n=a4<=8x2-=2-',（5分）

当9=3时，4=。应1=8、（》1=击・（6分）

注：①没有写出公比4>0,下面计算默认在夕>。下进行，而且计算正确不扣分；

②只正确求出通项的一种情况，扣1分。

⑵因为数列｛可｝是递增数列，所以4=2”7,所以3"log?〃”=（〃-1）3”.（7分）

所以'=0x31+1x32+2x3,-2）3"」+（〃-1）3",（8分）

3S”=0x3?+1x33+2x34+・..+（〃-2）3"+（〃-1）3向，（9分3

两式相减得-2S”=32+33+3,+…+3；（〃-1）3向（10分）

="三］（〃一］）3向，（11分）

止空+吧空=（2〃3）3””+9（

“424

在：①没看清题意中数列｛6｝是递增数列，分两种情况分别正确求出前〃项和扣I分:

②最后写出5„时不化简不扣分；

③整个题目没有得分点时，能正确写出等差数列的q或S.公式给I分。

18.(12分)

【解析】（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A,

贝11204)=1*[6(3)2、(1—}|+《($3乂(1—$。]=噂.(5分)

(2)设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X,X可取0,1,2,3.

3

则X〜8(3,m)，

F(X-0)_C；(―)°x(l--)3——：P(X-1)-^(—),x(l--)2--；

310101000310101000

P(X=2)=(―)2x(1--)*=—；P(X=3)=C^(—)3x(1-—)°=—,(9分)

310101000310101000

所以随机变量X的分布列如下：

X0123

P34344118927(10分)

TOGO1000Tooo1000

343441I8Q27939

E(X)=0x——+lx——+2x——43x——=—.(^E(X)=3x—=—)(12分)

1000100010001000101010

注：①求尸（X=A）M=0,1,2,3这4个概率时，全对才得2分，不全对时，只要有1个对得1分；求4个

概率时只写式子，不化简算出具体结果，扣1分；

②写出P（X=A）=G•（常•（1-而产,k=O,1,2,3,不具体算出这4个概率值，扣1分;

③分布列中只要有错均不得分；

④不说明X〜8（3,4），后面计算完全正确，不扣分。

19.112分）

【解析】（1）因为氏A分别是上、下底面的圆心，四边形瓦G”是圆柱的轴截面，（1分）

所以所〃E4且所=£4,（2分）

如图，连接8N,

因为M,N是下底面半圆周上的三等分点，所以MN〃石4且MN=E4,13分）

所以FB〃MN旦FB=MN,所以四边形是平行四边形，所以FM〃BN,（4分）

因为户平面FAN,BNu平面PAN,（5分）

所以KW〃平面RVV.（6分）

注：利用尸M〃8N证〃平面B4N时，没写清条件根0平面FAN,BNu平面BAN扣1分。

（2）如图，以A为坐标原点，下底面内A”的垂线为x轴，AH所在的直线为丁轴，A8所在的直线为z

轴，建立空间直角坐标系A-A>，Z.(7分)

因为圆柱的底面半径为2,高为4,所以4(0,0,0),M(G,—l,0),N(G，l，0)，P(0,0,2),F(0,—2,4),(8分)

所以放=(0,0⑵一(6,-1,0)=(-6[2)，砺=(0,-2,4)-(6,一1,0)=(-6,-1,4),

丽=(十,1,0)-(相,-1,0)=(0,2,0).(9分)

设平面FPW的法向量为/=(',如马)，平面NPM的法向量为%=*2，%Z2)，

所以M户风=(-6,1,2)・(大,,,马)=一、与百+yt+2马=0,

A/F-M1=(-x/3,-l,4)-(x1,ypzl)=->/3x1-J)+4z)=0,

令百=石时，则y=l，4=l,所以4=(%,%,“=(6,1,1).(10分)

同理，MP-w=(-^,1,2)•(x,y,z)=-+y+2z=0,MNn=(020)(xyz)=2y=0,

2222V3X2222992i2t22

令&=G时，则y2=°，Z2=g，所以〃2=(W，y2，Z2)=(6,0,'|).(11分)

设平面FPM与平面NPM所成的锐二面角为0,

3

、存X\/5+0+-q8大

所以COS®=|COS〈/,〃，|=|22-R-------==2.|=^^-,即平面产;切与平面NPM所成的锐二面

川冈布F35

角的余弦值为宏空.(12分)

35

fe：①第（2）问中只在图中正确画出空间坐标系，没有解答过程，给1分;

②利用左手系正确作答也相应绐分。

20.：12分）

【解析】（1）由题可知，当点M与椭圆E的上顶点或下顶点重合时，△兄晒的面积最大，（2分）

设片（-c,0）,6（c,0）,因为△耳晒的面积的最大值为2,所以bc=2,g/sinN用收=2,（3分）

又cos/Eg=-|<0,所以c>〃，sin/6M用=《，则解得々=6，（4分）

由一:一，结合c>。，可得。，所以椭圆E的标准方程为±+）a=l.（5分）

注：①直接利用上或下顶点与两焦点连线构成的三角形，计算面积作为最大值不扣分；

②没有得分点时，能正确写出面积公式S二g|隼鸣给1分。

（2）设直线AB的方程为〉二工一，，A（N，y）,4（看,必），

由1”>1及四边形ABCD的面积为㈣可知点A,8位于V轴同侧，（6分）

9

且西土当上以二即+占一占|=竺叵，（7分）

29

2

将尸XT代入3+9=],消去y可得而_10行+5产_5=0，（8分）

则%+占=包，%七=^^，KJ=100r2-24（5r2-5）=120-20r>0,即lv/<6,（9分）

3〜6

所以+超11%一W部-4x^~~^l=I。即，（10分）

整理可得尸-6/+8=0,解得尸=2或r=4,即/=±四或，=±2,（II分）

所以直线A8的方程为），=x+&或产x-夜或y=x+2或y=x-2.112分）

注：①直接按A,3位于V轴同侧进行计算，没作说明不扣分；

②正确计算出直线AB的方程，但漏掉对」的讨论扣1分；

③关于/的方程正确，求解时漏掉一个答案，只写f=土&或只写八±2,直线方程也相应只写出

一个，扣1分；

④将y=x一代入?+y2=i时，消去x进行计算时，也按相应步骤给分。

21.112分）

【解析】(1)当。=0时，/(x)=lr)A+--6,(1分)

X

则ra)=L1—=5=rW-5.(2分)

XXX

因为函数f(x)的定义域为(0,y),所以f>o恒成立.

当xe(0,5)时，r(x)<0,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,5)；(3分)

当xt(5,+oo)时，r(x)>0,所以函数/(%)的单调递增区间为(5,*o),(4分)

所以当k5时，函数/(x)有极小值，为〃5)=ln5-5,/(x)无极大值.15分)

注：①不写定义域，后面解答正确不扣分；

②没有注意定义域为9,”)，从而把单调递减区间写成(3,5)或写成位5)扣1分；

③没有说明fW无极大值不扣分。

(2)由题可得〃(x)=f(x)(x)=lnx+(a-l)x+,一2。一6,定义域为

x

则〃，a)=J■十〃一1一三=生巫二二，(6分)

XXx一

设p(x)=(a-\)x2+x-5,

当a—1=0,即〃=1时，p(x)=x—5,

所以当xe(2,4)时，p(x)<0,即疗(外<0,所以函数〃(用在(2,4)上单调递减，(7分)

所以函数〃(外在(2,4)上不存在极小值，不符合题意；(8分)

当即时，函数p(x)=(a-l)f+4-5的图象是开口向上的抛物线，

易知函数p(x)的图象的对称轴方程为工=初二，且」<0,函数p(x)的图象过点(0,-5),

所以函数〃(幻在(2,4)上单调递增，(9分)

_〃⑵=4(4一1)一3<0177

若函数〃(外在(2,4)上存在极小值，则’।八，解得(10分)

当。一IvO,即avl时，函数p(x)=faT)x2+工-5的图象是开口向下的抛物线，

易知函数P@)的图象的对称轴方程为“=且"一;>0,函数P@)的图象过点(0，-5),

2(1-a)2(1-a)

若函数心)存在极小值，则4=1+20(。-1)>0,解得|Q#

此时M2)=4(a-l)-3=4a-7<0,p(4)=16(a-l)-l=16a-17<0,且------>10>4,

2(1-a)

所以当xe(2,4)时，〃(%)<0,所以函数〃(1)在(2,4)上不存在极小值.(11分)

177177

综上，可得故实数。的取值范围为(―).(12分)

164164

注：①对a=l,a>lMVl三种情况的讨论，每种情况完全正确给2分;

②没有综合三种情况写出实数a为取值范围扣1分。

（-）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[诜修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）由题可得曲线的普通方程为小+），-2=0,（1分）

所以曲线G的极坐标方程为岛cos8+psin6-2=（）,（2分）

由题可得曲线C2的普通方程为/+&-1）2=1,（3分）

&U2+/-2y=0,所以曲线G的极坐标方程为22-2psin9=0,（4分）

即夕=2sin6.（5分）

=

12）方法一：设M（q,a）,N（p2,a）,则Ggcosa+gsina-2=0,p22sina,（6分）

2

因为N是线段OM的中点，所以乃=2夕,，所以下-------：-=4sina,（7分）

所以2\/5sinacosa=1-Zsin?a，即75sin勿=cos2a，（8分）

所以tan2a=—,（9分）

3

因为工＜a〈冗，所以九v2av2兀，所以2a=",所以a=N.（10分）

2612

方法二：射线/：8=。（夕＞0弓＜。＜九）的直角坐标方程为：y=tanax,x＜0,

fy=tana-x22tan«

所以由Rc八得知（在------，下-------）.（6分）

[J3x+y-2=05/3+tanaV3+tana

2

[y=tana-x2tana2tanorx/»,八、

由2,八，i得N（*-----———「）.（7分）

[x~+（y-1）~=11+tana1+tana

由N是线段OM的中点得=下」——，（8分）

\+tanaV3+tana

所以tan?a+2J5tana-1=0»

所以tana=—x/5±2.（9分）

因为]＜av兀，所以tanau-VJ-Z，所以（10分）

注：①整个题目没有得分点时，能正确写出互化公式.中P=庐耳中的一个给1分:

[y=psin^厂v）

②写出曲线G的极坐标方程为/-20sine=O,不化简扣1分；

⑤第（2）由直角坐标方程求解时给分情况见方法二。

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）